20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: D

Ta có bảng sau

Ta có chiều cao trung bình:

\[\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161,4\]

Phương sai của mẫu số liệu:

\[{s^2}\,\, = \frac{1}{{500}}\left[ \begin{array}{l}25{\left( {152 - 161,4} \right)^2} + 50{\left( {156 - 161,4} \right)^2} + 200{\left( {160 - 161,4} \right)^2}\\ + 175{\left( {164 - 161,4} \right)^2} + 50{\left( {168 - 161,4} \right)^2}\end{array} \right] = 14,84\].

\( \Rightarrow \) Độ lệch chuẩn: \[s = \sqrt {14,48} \approx 3,85\].

Đáp án đúng: B

Ta có: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x = \frac{{8.42 + 12.46 + 8.50 + 10.54 + 7.58}}{{45}} \approx 49,64\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{{45}}\left[ {8.{{\left( {42 - 49,64} \right)}^2} + 12.{{\left( {46 - 49,64} \right)}^2} + 8.{{\left( {50 - 49,64} \right)}^2} + 10.{{\left( {54 - 49,64} \right)}^2} + 7.{{\left( {58 - 49,64} \right)}^2}} \right]\,\\\,\,\,\,\,\, \approx 29,03\end{array}\) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(S = \sqrt {{S^2}} \approx \sqrt {29,03} \approx 5,39\).

Đáp án đúng: C

Ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x = \frac{{7.65 + 15.75 + 8.85 + 12.95}}{{42}} \approx 80,95\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({S^2} = \frac{1}{{42}}\left[ {7.{{\left( {65 - 80,95} \right)}^2} + 15.{{\left( {75 - 80,95} \right)}^2} + 8.{{\left( {85 - 80,95} \right)}^2} + 12.{{\left( {95 - 80,95} \right)}^2}} \right] \approx 114,57\).

Đáp án đúng: A

Giá trị trung bình \(\overline x = \frac{{17,5.10 + 22,5.12 + 27,5.14 + 32,5.9 + 37,5.5}}{{50}} = 26,2\).

Đáp án đúng: D

Ta viết lại bảng ở đề bài như sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị số phút truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh là:

\[\overline x = \frac{{3.11,5 + 12.13,5 + 15.15,5 + 24.17,5 + 2.19,5}}{{56}} \approx 15,86\](phút)

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị số phút truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh là:

\[{s^2} = \frac{1}{{56}}\left[ \begin{array}{l}3.{\left( {11,5 - 15,86} \right)^2} + 12.{(13,5 - 15,86)^2} + 15.{\left( {15,5 - 15,86} \right)^2}\\ + 24.{\left( {17,5 - 15,86} \right)^2} + 2.{\left( {19,5 - 15,86} \right)^2}\end{array} \right] \approx 3,87\].

Đáp án đúng: D

Ta có bảng thống kê sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị tốc độ giao bóng trong 200 lần của một vận động viên môn quần vợt là:

\[\overline x = \frac{{18.152,5 + 28.157,5 + 35.162,5 + 43.167,5 + 41.172,5 + 35.177,5}}{{200}} = 166,65\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị tốc độ giao bóng trong 200 lần của một vận động viên môn quần vợt là:

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{200}}[18.{\left( {152,5 - 166,65} \right)^2} + 28.{\left( {157,5 - 166,65} \right)^2} + 35.{\left( {162,5 - 166,65} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,43.{\left( {167,5 - 166,65} \right)^2} + 41.{\left( {172,5 - 166,65} \right)^2} + 35.{\left( {177,5 - 166,65} \right)^2}]\\ = \frac{{12105,5}}{{200}} \approx 60,53\end{array}\]

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị tốc độ giao bóng trong 200 lần của một vận động viên môn quần vợt là: \[s \approx \sqrt {60,53} \approx 7,78\].

Đáp án đúng: D

Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu gốc và được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Đáp án đúng: C

Đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu là phương sai.

Đáp án đúng: B

Trước hết ta có \(\bar x = \frac{{15.8 + 25.18 + 35.24 + 45.10}}{{60}} = 31\).

Khi đó phương sai \({s^2} = \frac{{8.{{(15 - 31)}^2} + 18 \cdot {{(25 - 31)}^2} + 24.{{(35 - 31)}^2} + 10.{{(45 - 31)}^2}}}{{60}} = 84\).

Đáp án đúng: A

Khối lượng trung bình của 40 túi đường là.

\(\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {3.1,6 + 5.1,8 + 23.2 + 5.2,2 + 4.2,4} \right) = 2,01\;kg\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( \begin{array}{l}3.{(1,6 - 2,01)^2} + 5.{(1,8 - 2,01)^2} + 23.{(2 - 2,01)^2}\\ + 5.{(2,2 - 2,01)^2} + 4.{(2,4 - 2,01)^2}\end{array} \right) \approx 0,04\).

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 30 lần nhảy xa của vận động viên 1 và vận động viên 2 lần lượt là

\(\overline {{x_1}} = \frac{{3,25.2 + 3,75.3 + 4,25.5 + 4,75.8 + 5,25.7 + 5,75.5}}{{30}} = 4,75\) (m).

\(\overline {{x_2}} = \frac{{3,25.1 + 3,75.2 + 4,25.6 + 4,75.7 + 5,25.10 + 5,75.4}}{{30}} = \frac{{29}}{6} \approx 4,83\)(m).

b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu là: \(R = 6 - 3 = 3\)(m).

c) Phương sai của mẫu số liệu kết quả nhảy xa của vận động viên 1 là:

\(\)\[\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{30}}\left( {2{{\left( {3,25 - 4,75} \right)}^2} + 3{{\left( {3,75 - 4,75} \right)}^2} + 5{{\left( {4,25 - 4,75} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left. {8{{\left( {4,75 - 4,75} \right)}^2} + 7{{\left( {5,25 - 4,75} \right)}^2} + 5{{\left( {5,75 - 4,75} \right)}^2}} \right)\end{array}\]

\[\,\,\,\,\, = \frac{{31}}{{60}} \approx 0,52\](m)

d)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 1 là: \({s_1} = \sqrt {0,52} \approx 0,72\)(m)

Phương sai của mẫu số liệu kết quả nhảy xa của vận động viên 2 là:

\[\begin{array}{l}{s_2}^2 = \frac{1}{{30}}\left( {1{{\left( {3,25 - 4,83} \right)}^2} + 2{{\left( {3,75 - 4,83} \right)}^2} + 6{{\left( {4,25 - 4,83} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left. {7{{\left( {4,75 - 4,83} \right)}^2} + 10{{\left( {5,25 - 4,83} \right)}^2} + 4{{\left( {5,75 - 4,83} \right)}^2}} \right)\end{array}\]

\[\,\,\,\,\, = 0,4014\](m).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 2 là: \({s_2} = \sqrt {0,4014} \approx 0,63\) (m)

Vì \({s_2} < {s_1}\) nên mẫu số liệu 2 đồng đều hơn. Do đó, thành tích nhảy xa của vận động viên 2 đồng đều hơn vận động viên 1.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[R = 120 - 70 = 50.\]

b) Số phần tử của mẫu là \[n = 30\].

Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\] mà \[3 < 7,5 < 9\]. Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[7,5\] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: \[{Q_1} = 80 + \left( {\frac{{7,5 - 3}}{6}} \right).10 = 87,5\left( {gam} \right)\].

Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\] mà \[21 < 22,5 < 27\]. Suy ra nhóm \[4\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[22,5\] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: \[{Q_3} = 100 + \left( {\frac{{22,5 - 21}}{6}} \right).10 = 102,5\left( {gam} \right)\].

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 102,5 - 87,5 = 15\].

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

\[\overline x = \frac{{3.75 + 6.85 + 12.95 + 6.105 + 3.115}}{{30}} = 95\left( {gam} \right)\].

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {3.{{\left( {75 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {85 - 95} \right)}^2} + 12.{{\left( {95 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {105 - 95} \right)}^2} + 3.{{\left( {115 - 95} \right)}^2}} \right] = 120\].

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[R = 26 - 6 = 20.\]

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

\[\overline x = \frac{{5.8 + 9.12 + 3.16 + 9.20 + 4.24}}{{30}} \approx 15,73\,\left( {xe} \right)\]

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {5.{{\left( {8 - 15,73} \right)}^2} + 9.{{\left( {12 - 15,73} \right)}^2} + 3.{{\left( {16 - 15,73} \right)}^2} + 9.{{\left( {20 - 15,73} \right)}^2} + 4.{{\left( {24 - 15,73} \right)}^2}} \right] \approx 28,73\]

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[s = \sqrt {28,73} \approx 5,36\].

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai

a) Khoảng biến thiên: 31,8 – 16,8 = 15.

b) \(\overline x = \frac{{18,3.2 + 21,3.3 + 24,3.2 + 27,3.1 + 30,3.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} = 24,8\).

c) Phương sai:

\({s^2} = \frac{{{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2}.2 + {{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2}.3 + {{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2}.2 + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2}.1 + {{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} = 20,75\)d) Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {20,75} \approx 4,6\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Giá trị đại diệm của mỗi nhóm như sau:

Tổng số học sinh là: 40.

Vậy giá trị trung bình là \(\overline x = \frac{{4.18,5 + 6.23,5 + 8.28,5 + 18.33,5 + 4.38,5}}{{40}} = 30\).

Trả lời: 30.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{37.9 + 39.15 + 41.25 + 43.30 + 45.21}}{{100}} = 41,78\].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{100}}\left[ {9.{{\left( {37 - 41,78} \right)}^2} + 15.{{\left( {39 - 41,78} \right)}^2} + 25.{{\left( {41 - 41,78} \right)}^2} + 30.{{\left( {43 - 41,78} \right)}^2} + 21.{{\left( {45 - 41,78} \right)}^2}} \right]} \\ = 2,45.\end{array}\]

Trả lời: 2,45.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[\overline x = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 51,2\].

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{{3.{{\left( {44 - 51,2} \right)}^2} + 7.{{\left( {48 - 51,2} \right)}^2} + 4.{{\left( {52 - 51,2} \right)}^2} + 3.{{\left( {56 - 51,2} \right)}^2} + 3.{{\left( {60 - 51,2} \right)}^2}}}{{20}} = 26,56\].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[s = \sqrt {26,56} \approx 5,16.\].

Trả lời: 5,16.

Ta có \(\overline x = \frac{{5.25 + 15.8 + 25.7 + 35.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} = \frac{{35}}{3}\).

Phương sai: \[{s^2} = \frac{{{{\left( {5 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.25 + {{\left( {15 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.8 + {{\left( {25 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.7 + {{\left( {35 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} = \frac{{5300}}{{63}} \approx 84,1\].

Trả lời: 84,1.