20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: A

Khối lượng trung bình của 40 túi đường là.

\(\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {3.1,6 + 5.1,8 + 23.2 + 5.2,2 + 4.2,4} \right) = 2,01\;kg\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( \begin{array}{l}3.{(1,6 - 2,01)^2} + 5.{(1,8 - 2,01)^2} + 23.{(2 - 2,01)^2}\\ + 5.{(2,2 - 2,01)^2} + 4.{(2,4 - 2,01)^2}\end{array} \right) \approx 0,04\).

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 30 lần nhảy xa của vận động viên 1 và vận động viên 2 lần lượt là

\(\overline {{x_1}} = \frac{{3,25.2 + 3,75.3 + 4,25.5 + 4,75.8 + 5,25.7 + 5,75.5}}{{30}} = 4,75\) (m).

\(\overline {{x_2}} = \frac{{3,25.1 + 3,75.2 + 4,25.6 + 4,75.7 + 5,25.10 + 5,75.4}}{{30}} = \frac{{29}}{6} \approx 4,83\)(m).

b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu là: \(R = 6 - 3 = 3\)(m).

c) Phương sai của mẫu số liệu kết quả nhảy xa của vận động viên 1 là:

\(\)\[\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{30}}\left( {2{{\left( {3,25 - 4,75} \right)}^2} + 3{{\left( {3,75 - 4,75} \right)}^2} + 5{{\left( {4,25 - 4,75} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left. {8{{\left( {4,75 - 4,75} \right)}^2} + 7{{\left( {5,25 - 4,75} \right)}^2} + 5{{\left( {5,75 - 4,75} \right)}^2}} \right)\end{array}\]

\[\,\,\,\,\, = \frac{{31}}{{60}} \approx 0,52\](m)

d)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 1 là: \({s_1} = \sqrt {0,52} \approx 0,72\)(m)

Phương sai của mẫu số liệu kết quả nhảy xa của vận động viên 2 là:

\[\begin{array}{l}{s_2}^2 = \frac{1}{{30}}\left( {1{{\left( {3,25 - 4,83} \right)}^2} + 2{{\left( {3,75 - 4,83} \right)}^2} + 6{{\left( {4,25 - 4,83} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left. {7{{\left( {4,75 - 4,83} \right)}^2} + 10{{\left( {5,25 - 4,83} \right)}^2} + 4{{\left( {5,75 - 4,83} \right)}^2}} \right)\end{array}\]

\[\,\,\,\,\, = 0,4014\](m).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 2 là: \({s_2} = \sqrt {0,4014} \approx 0,63\) (m)

Vì \({s_2} < {s_1}\) nên mẫu số liệu 2 đồng đều hơn. Do đó, thành tích nhảy xa của vận động viên 2 đồng đều hơn vận động viên 1.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[R = 120 - 70 = 50.\]

b) Số phần tử của mẫu là \[n = 30\].

Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\] mà \[3 < 7,5 < 9\]. Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[7,5\] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: \[{Q_1} = 80 + \left( {\frac{{7,5 - 3}}{6}} \right).10 = 87,5\left( {gam} \right)\].

Ta có: \[\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\] mà \[21 < 22,5 < 27\]. Suy ra nhóm \[4\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[22,5\] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: \[{Q_3} = 100 + \left( {\frac{{22,5 - 21}}{6}} \right).10 = 102,5\left( {gam} \right)\].

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 102,5 - 87,5 = 15\].

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

\[\overline x = \frac{{3.75 + 6.85 + 12.95 + 6.105 + 3.115}}{{30}} = 95\left( {gam} \right)\].

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {3.{{\left( {75 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {85 - 95} \right)}^2} + 12.{{\left( {95 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {105 - 95} \right)}^2} + 3.{{\left( {115 - 95} \right)}^2}} \right] = 120\].

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[R = 26 - 6 = 20.\]

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

\[\overline x = \frac{{5.8 + 9.12 + 3.16 + 9.20 + 4.24}}{{30}} \approx 15,73\,\left( {xe} \right)\]

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {5.{{\left( {8 - 15,73} \right)}^2} + 9.{{\left( {12 - 15,73} \right)}^2} + 3.{{\left( {16 - 15,73} \right)}^2} + 9.{{\left( {20 - 15,73} \right)}^2} + 4.{{\left( {24 - 15,73} \right)}^2}} \right] \approx 28,73\]

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[s = \sqrt {28,73} \approx 5,36\].

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai

a) Khoảng biến thiên: 31,8 – 16,8 = 15.

b) \(\overline x = \frac{{18,3.2 + 21,3.3 + 24,3.2 + 27,3.1 + 30,3.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} = 24,8\).

c) Phương sai:

\({s^2} = \frac{{{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2}.2 + {{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2}.3 + {{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2}.2 + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2}.1 + {{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} = 20,75\)d) Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {20,75} \approx 4,6\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Giá trị đại diệm của mỗi nhóm như sau:

Tổng số học sinh là: 40.

Vậy giá trị trung bình là \(\overline x = \frac{{4.18,5 + 6.23,5 + 8.28,5 + 18.33,5 + 4.38,5}}{{40}} = 30\).

Trả lời: 30.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{37.9 + 39.15 + 41.25 + 43.30 + 45.21}}{{100}} = 41,78\].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{100}}\left[ {9.{{\left( {37 - 41,78} \right)}^2} + 15.{{\left( {39 - 41,78} \right)}^2} + 25.{{\left( {41 - 41,78} \right)}^2} + 30.{{\left( {43 - 41,78} \right)}^2} + 21.{{\left( {45 - 41,78} \right)}^2}} \right]} \\ = 2,45.\end{array}\]

Trả lời: 2,45.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[\overline x = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 51,2\].

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{s^2} = \frac{{3.{{\left( {44 - 51,2} \right)}^2} + 7.{{\left( {48 - 51,2} \right)}^2} + 4.{{\left( {52 - 51,2} \right)}^2} + 3.{{\left( {56 - 51,2} \right)}^2} + 3.{{\left( {60 - 51,2} \right)}^2}}}{{20}} = 26,56\].

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[s = \sqrt {26,56} \approx 5,16.\].

Trả lời: 5,16.

Ta có \(\overline x = \frac{{5.25 + 15.8 + 25.7 + 35.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} = \frac{{35}}{3}\).

Phương sai: \[{s^2} = \frac{{{{\left( {5 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.25 + {{\left( {15 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.8 + {{\left( {25 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.7 + {{\left( {35 - \frac{{35}}{3}} \right)}^2}.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} = \frac{{5300}}{{63}} \approx 84,1\].

Trả lời: 84,1.