20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Hàm số liên tục (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Chọn đáp án đúng
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại một điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó là liên tục tại ba điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó là liên tục tại hai điểm của khoảng đó.
B
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.
Hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Hàm số f(x) liên tục tại x = −1.
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−3; 1).
B
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta thấy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).
f(x0) không tồn tại.
A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
f(x) liên tục trên (−∞; 1).
f(x) liên tục trên (−∞; +∞).
f(x) liên tục trên (−1; +∞).
f(x) liên tục trên (−∞; 0) và (0; +∞).
D
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) không xác định tại x = 0. Do đó f(x) liên tục trên (−∞; 0) và (0; +∞).
(1; 2).
(−1; 2).
(−∞; 2).
(1; +∞).
A
Hàm phân thức \(y = \frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}\) liên tục trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1); (1; 2) và (2; +∞).
\(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
y = x3 + x + 1.
\(y = \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}\).
D
Do hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}\) không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Hàm số liên tục tại x = 2.
Hàm số gián đoạn tại x = 2.
f(4) = 2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 2\).
A
Tập xác định D = ℝ.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right) = 4\);
f(2) = 4 Þ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại x = 2.
Hàm số liên tục trên ℝ.
Hàm số gián đoạn tại x = 3.
Hàm số gián đoạn tại x = 0.
Hàm số gián đoạn tại x = 1.
C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 2021} \right) = 2021\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số gián đoạn tại x = 0.
Hàm số nào dưới đây liên tục trên tập ℝ.
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}\).
f(x) = x2 + 2x + 1.
\(f\left( x \right) = \sqrt {4 - {x^2}} \).
C
Ta có f(x) = x2 + 2x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên tập ℝ.
m = −1.
m = 4.
\(m = \frac{1}{2}\).
m = −3.
A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }} = - \frac{5}{2}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)\).
Để hàm số liên tục tại x0 = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên \(m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}}\).
a) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).
b) Hàm số f(x) liên tục tại x = −2.
c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.
d) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \frac{a}{b}\) với a, b Î ℤ; \(\frac{a}{b}\) tối giản thì a2 + b2 = 25.
a) Tập xác định ℝ\{±2}.
Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −2); (−2; 2) và (2; +∞).
Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).
b) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = −2.
c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.
d) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}\].
Suy ra a = 3; b = 4. Do đó a2 + b2 = 25.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Đúng;d) Đúng.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = 4{x^2} - x + 1\). Khi đó:
a) Ta có \(f(1) = 2\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Hàm số \(g\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( 1 \right){\rm{. }}\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng;d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}\;\;khi\;x > 2\\\frac{{1 - x}}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 2\end{array} \right.\). Khi đó
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{4}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{4}\).
c) Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 = 2.
d) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 2).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{1 - x}}{4} = - \frac{1}{4}\).
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}\].
c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số f(x) liên tục tại x = 2.
d) Với x < 2 thì \(f\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{4}\) nên hàm số liên tục trên khoảng (−∞; 2).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Sai;d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}\;\;khi\; < 2\\m{x^2} - 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 2\end{array} \right.\) (m là tham số).
a) Khi m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
b) Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi m = 1.
c) f(2) = 4m – 3.
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
a) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1\).
b) c) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1\);
f(2) = 4m – 3.
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow 4m - 3 = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Đúng;d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\). Khi đó:
a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \].
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4\).
c) Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
d) Hàm số y = f(x) liên tục trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \]
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và x – 1 > 0 khi x → 1+.
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3\).
c) Hàm số không xác định tại x = 1 nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 = 1.
d) Hàm số y = f(x) liên tục trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Hãng taxi Xanh SM đưa ra giá cước dựa trên số quãng đường di chuyển cho bởi hàm T(x) đồng khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
\(T\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1500\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 < x \le 1\\a + \left( {x - 1} \right).14000\;\;\;\;\;khi\;1 < x \le 20\\b + \left( {x - 20} \right).12000\;\;khi\;x > 20\end{array} \right.\). Biết rằng tiền cước được cho bởi hàm liên tục khi đó \(\frac{b}{a}\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Với x Î (0; 1) thì T(x) = 15000 liên tục trên (0; 1).
Với x Î (1; 20) thì T(x) = a + (x – 1).14000 liên tục trên (1; 20).
Với x Î (20; +∞) thì T(x) = b + (x – 20).12000 liên tục trên (20; +∞).
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} T\left( x \right) = T\left( 1 \right) \Rightarrow a = 15000\).
Để hàm liên tục tại x = 20 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {20} \right) \Rightarrow b = 15000 + 14000.19 = 281000\).
Vậy \(\frac{b}{a} = \frac{{281}}{{15}} \approx 18,7\).
Trả lời: 18,7.
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}\;\;khi\;x \ne 1\\m - 2024\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại x = 1.
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} = 1\].
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) Û m – 2024 = 1 Û m = 2025.
Trả lời: 2025.
Biết hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x + b\;\;khi\;x \le - 1\\x + a\;\;\;\;khi\;x > - 1\end{array} \right.\) liên tục tại x = −1. Tìm a – b.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + a} \right) = a - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + b} \right) = - 3 + b\); f(−1) = b – 3.
Vì hàm số liên tục tại x = −1 nên a – 1 = −3 + b Û a – b = −2.
Trả lời: −2.
Tìm giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}\;khi\;x \ne - 2\\m\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x = - 2\end{array} \right.\) liên tục trên tập xác định của chúng.
Hàm số f(x) liên tục với ∀x ≠ 2.
Do đó f(x) liên tục trên ℝ Û f(x) liên tục tại x = 2 Û \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) (1).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\); f(2) = m.
Khi đó (1) Û 3 = m Û m = 3.
Trả lời: 3.
Một chất điểm chuyển động với tốc độ được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}10 + a\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 \le t \le 5\\{t^2} - 5t + 10\;khi\;t > 5\end{array} \right.\), trong đó v(t) được tính theo đơn vị m/s và t được tính theo giây. Tìm a để hàm v(t) có liên tục tại điểm t = 5.
Ta có v(5) = 10 + a; \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} \left( {10 + a} \right) = 10 + a\); \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} \left( {{t^2} - 5t + 10} \right) = 10\).
Để hàm số v(t) liên tục tại điểm t = 5 khi và chỉ khi 10 + a = 10 Û a = 0.
Trả lời: 0.
