Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Hàm số liên tục có đáp án
11 câu hỏi
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
B. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
C. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
D. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\).
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết ta có, hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Cho đồ thị hàm số y = f(x) trong Hình 7. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1.
B. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 3.
C. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 5.
D. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 0.
Đáp án đúng là: D
Quan sát Hình 7, ta thấy
- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1, x = 3 và x = 5 vì không tồn tại giá trị của f(x) khi x = 1, x = 3 và x = 5.
- Hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0 nên đáp án D sai.
Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 8 và cho biết hàm số đó có liên tục:
Tại x = \(\frac{5}{3}\) hay không.
Dựa vào đồ thị, ta có:
Hàm số không liên tục tại x = \(\frac{5}{3}\) vì giá trị hàm số không xác định tại x = \(\frac{5}{3}\).
Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 8 và cho biết hàm số đó có liên tục:
Trên khoảng (− ∞; 0) hay không.
Dựa vào đồ thị, ta có:
Hàm số liên tục trên khoảng(− ∞; 0).
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
\(f\left( x \right) = - {x^2} + \cos x\);
Vì hai hàm số y = – x2 và y = cos x đều liên tục trên tập xác định của chúng là ℝ nên hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + \cos x\) liên tục trên ℝ.
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
\(g\left( x \right) = 3{x^3} + 2 - \frac{3}{{x + 2}}\);
Vì hàm số y = 3x3 + 2 liên tục trên ℝ, hàm số \(y = \frac{3}{{x + 2}}\) liên tục trên hai khoảng (−∞; – 2) và (– 2; +∞) nên hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^3} + 2 - \frac{3}{{x + 2}}\)liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞).
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
\(h\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}} + \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\).
Vì hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}}\) liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞), hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\) liên tục trên hai khoảng (−∞; 2) và (2; +∞) nên hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}} + \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2), (–2; 2), (2; +∞).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\\x + a\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\end{array} \right.\).
Với a = 2, xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.
Với a = 2, ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\\x + 2\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\). Suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 khi a = 2.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\\x + a\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\end{array} \right.\).
Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.
Với x < 1 thì f(x) = x + a liên tục trên (−∞; 1).
Với x > 1 thì f(x) = x2 – x liên tục trên (1; +∞).
Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 1.
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\).
Như vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi a = −1.
Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:
Khối lượng đến 250 g | Mức cước (đồng) |
Đến 20 g | 4 000 |
Trên 20 g đến 100 g | 6 000 |
Trên 100 g đến 250 g | 8 000 |
Hãy biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp.
Từ giả thiết, ta có hàm số biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp là:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}4\,000\,\,\,khi\,\,\,0 < x \le 20\\6\,000\,\,\,khi\,\,20 < x \le 100\\8\,000\,\,\,khi\,\,100 < x \le 250\end{array} \right.\).
Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:
Khối lượng đến 250 g | Mức cước (đồng) |
Đến 20 g | 4 000 |
Trên 20 g đến 100 g | 6 000 |
Trên 100 g đến 250 g | 8 000 |
Hàm số trên có liên tục trên tập xác định hay không?
Tập xác định của hàm số trên là (0; 250].
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} f\left( x \right) = 4\,000\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} f\left( x \right) = 6\,000\).
Suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} f\left( x \right)\).
Do đó, hàm số không liên tục tại x = 20.
Vậy hàm số không liên tục trên tập xác định (0; 250].
