19 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 1-2: Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số
19 câu hỏi
Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?
Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”
Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.
Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1
Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = k
Do a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Không có bước nào sai
Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.
Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.
Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
Mạnh thu được 122 mảnh
Mạnh thu được 123 mảnh
Mạnh thu được 120 mảnh
Mạnh thu được 121 mảnh
Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7
Công thức đúng với n = 1
Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1
Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6(k+1) +1
Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1
Đáp án D
Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng:
48
60
58
10
u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Đáp án C
Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:
un+1=1+3un với n⩾1
un+1=1+3un+3n+1 với n≥1
un+1=un+3n+1 với n≥1
un+1=3un+3n+1−2 với n≥1
un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Đáp án là D
Cho dãy số (un) xác định bởi :
u1=1un+1=un+n2, n≥1
Công thức của un+1 theo n là:
1+nn+12n+16
nn+12n+16
n2n+124
1+n2n+124
u1 = 1
u2 = 1 + 12
u3 = 1 + 12 + 22
u4 = 1 + 12 + 22 + 32
...
Đáp án A
Cho dãy số (vn) xác định bởi :
v1=3vn+1=v2n, n≥1
Khi đó v11 bằng
311
31024
332
322
v1=3=320v2=32=321v3=34=322v4=38=323...vn=32n−1
Suy ra:v11=3210=31024
Đáp án là B
Cho dãy số un = n2 – 4n + 7. Kết luận nào đúng?
Dãy (un) bị chặn trên
Dãy (un) bị chặn dưới
Dãy (un) bị chặn
Các mệnh đề A,B,C đều sai
un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3
⇒(un) bị chặn dưới bởi 3
(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn
Đáp án là B
Cho dãy số zn = 1 + (4n – 3).2n
Dãy zn là dãy tăng
Dãy zn bị chặn dưới
Cả A và B đề sai
Cả A và B đều đúng
zn+1=1+(4n+1).2n+1
zn=1+(4n−3).2n
Xét hiệu
zn+1−zn=1+(4n+1).2n+1−1+(4n−3).2n
=8n+2.2n−4n−3.2n
=(4n+5).2n>0∀n∈ℕ*
Suy ra (zn) tăng, hơn nữa zn≥z1=3 ∀n∈ℕ*
Vậy (zn) tăng và bị chặn dưới.
Chọn đáp án D.
Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x)=xn+1xn
T(n,x) là số vô tỉ
T(n,x) là số không nguyên
T(n,x) là số nguyên
Các kết luận trên đều sai
Ta sẽ chứng minh T(n,x) là số nguyên
Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, Ta có:
Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1
Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n≥1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên
=T(1,x).T(n,x) – T(n-1,x).
Theo giả thuyết quy nạp, Ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên
Chọn C
Cho dãy số (un) với u1=2un+1=n.un với mọi n≥1. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un là
10
48
16
6
Chọn B
Ta có
u2= u1=2u3= 2u2=2.2 = 4u4= 3u3=3.4 = 12u5=4 u4=4.12 = 48
Cho dãy số: un=sinnπ3n+1 với mọi n≥1. Khi đó số hạng u3n của dãy un là:
13n+1
1n+1
-13n+1
0
Chọn D
Cho dãy un=n23n với mọi n≥1. Khi đó số hạng u2n của dãy un là:
2n23n
4n26n
4n29n
2n26n
Chọn C
Ta có: u2n= (2n)232n = 4n29n
Cho dãy số un: u0=1, u1=3un+1=4un-3un-1với mọi n≥1
Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:
un = 2n2 + 1
un=3n
un = 2n + 1
un =(n+5)/(n+1)
Chọn B
Dự đoán ta được un=3n
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được công thức trên.
Vậy un=3n
Cho dãy số un: u0=u1=1un+1=4un-4un-1với mọi n≥1
công thức của số hạng tổng quát của dãy số là
un =1
un=2n-n.2n-1
un=-n2+n+1
un=n2+2n+33n+1
Chọn Bu0=u1=1un+1=4un-4un-1với mọi n≥1
Ta chứng minh phương án C đúng .
Ta có:
4.(2n- n. 2n-1) - 4. (2n-1- (n-1). 2n-2 = 4.2n- 4n . 2n-1- 4.2n-1+ 4(n-1). 2n-2= 2.2n+ 1- 2n. 2n- 2n + 1+ (n-1), 2n= 2n+ 1- (n-1).2n
⇒un= 2n - n. 2n-1
Cho dãy số un: un=cos2n+12π
Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
un là dãy đơn điệu tăng
un là dãy đơn điệu giảm
un là dãy không đổi
đáp án khác
Chọn C
Ta có:
un=cos2n+12π= cos(π2+ nπ)=0
∀n≥1 nên (un) là dãy số không đổi
Cho dãy số un: u1=12; un+1=unn+1
Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
un là dãy đơn điệu tăng
un là dãy đơn điệu giảm
un là dãy không đổi
đáp án khác
Chọn B
Từ giả thiết, suy ra: un> 0 ∀ n
Ta có:
un+1-un=unn+1- un= un(1n +1-1)= un. -nn + 1< 0
∀n≥1 nên (un) là dãy số giảm
Xét dãy un: un=n+1n
khi đó số α dương lớn nhất thoả mãn un≥α ∀n≥1 là:
α=1
α=2
α=1/2
α =2
Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
un=n+1n≥ 2. n. 1n= 2
⇒α = 2
Xét dãy un: un=n+100+100-n
với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100, số α dương nhỏ nhất thoả mãn un≤α là
α=10
α=102
α=11
α=20
Chọn D
Ta có :un=100+n+100−n
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với bộ hai số (1;1) và 100+n;100−n
1.100+n+1.100−n≤2.(100+n+100−n)=20,∀n≥1
Suy ra α=20
Cho các dãy số (un), (vn), (xn), (yn) lần lượt xác định bởi:
un=n2+1, vn=n+1n, xn=2n+1, yn=nn+1
Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới
1
2
3
4
Chọn D
