19 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 1-2: Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số

Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.

Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7

Công thức đúng với n = 1

Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1

Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6(k+1) +1

Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1

Đáp án D

u10 = 102 – 4.20 – 2 =58

Đáp án C

un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1

= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2

Đáp án là D

u1 = 1

u2 = 1 + 12

u3 = 1 + 12 + 22

u4 = 1 + 12 + 22 + 32

...

 Đáp án A

$\begin{array}{l}{v}_1=3=3^{2^0}\\ v_2=3^2=3^{2^1}\\ v_3=3^4=3^{2^2}\\ v_4=3^8=3^{2^3}\\ \mathrm{...}\\ v_n=3^{2^{n-1}}\end{array}$

Suy ra:$v_{11}=3^{2^{10}}=3^{1024}$

Đáp án là B

un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3

⇒(un) bị chặn dưới bởi 3

(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn

Đáp án là B

$z_{n+1}=1+(4n+1){.2}^{n+1}$

$z_n=1+(4n-3){.2}^n$  

Xét hiệu

$z_{n+1}-z_n=1+(4n+1){.2}^{n+1}-\left(1+(4n-3){.2}^n\right)$

$=\left(8n+2\right){.2}^n-\left(4n-3\right){.2}^n$

$=(4n+5){.2}^n>0$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra $\left(z_n\right)$ tăng, hơn nữa $z_n\ge z_1=3\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy $\left(z_n\right)$  tăng và bị chặn dưới.

Chọn đáp án D.

Ta sẽ chứng minh T(n,x) là số nguyên

Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, Ta có:

Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1

Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n≥1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên

=T(1,x).T(n,x) – T(n-1,x).

Theo giả thuyết quy nạp, Ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên

Chọn C

Chọn B

Ta có

 $$\begin{gathered} u_2= u_1=2 \\ {u}_3= 2u_2=2.2 = 4 \\ {u}_4= 3u_3=3.4 = 12 \\ {u}_5=4 u_4=4.12 = 48 \end{gathered}$$

Chọn D

Chọn  C

Ta có:  $u_{2n}= \frac{{\left(2n\right)}^2}{3^{2n}} = \frac{4n^2}{9^n}$

Chọn B

Dự đoán ta được $u_n=3^n$

 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được công thức trên.  

Vậy $u_n=3^n$

Chọn B$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=u_1=1\\ u_{n+1}=4u_n-4u_{n-1}\end{array}\right.với mọi n\ge 1$

Ta chứng minh phương án C đúng .

Ta có:

$$\begin{gathered} 4.(2^n- n. 2^{n-1}) - 4. (2^{n-1}- (n-1). 2^{n-2} \\ = 4.2^n- 4n . 2^{n-1}- 4.2^{n-1}+\hspace{0.17em}4(n-1). 2^{n-2} \\ = 2.2^{n+\hspace{0.17em}1}- 2n. 2^n- 2^{n + 1}+\hspace{0.17em}(n-1), 2^n \\ = 2^{n+\hspace{0.17em}1}- (n-1).2^n \end{gathered}$$

$\Rightarrow u_n= 2^n - n. 2^{n-1}$

Chọn C

Ta có:

$\hspace{0.17em}{u}_n=\cos \left(\frac{2n+1}{2}\mathrm{\pi }\right)= \cos (\frac{\pi }{2}+\hspace{0.17em}n\pi )=0$

∀n≥1 nên ($u_n$) là dãy số không đổi

Chọn B

Từ giả thiết, suy ra: $u_n>\hspace{0.17em}0 \forall n$

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{n+1}- u_n= u_n(\frac{1}{n +1}-1)= u_n. \frac{-n}{n +\hspace{0.17em}1}< 0$

∀n≥1 nên ($u_n$) là dãy số giảm

Chọn B

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 

$u_n=n+\frac{1}{n}\ge 2. \sqrt{n. \frac{1}{n}}= 2$

$\Rightarrow \alpha = 2$

Chọn D

Ta có :$u_n=\sqrt{100+n}+\sqrt{100-n}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với bộ hai số (1;1) và $\left(\sqrt{100+n};\sqrt{100-n}\right)$

$1.\sqrt{100+n}+1.\sqrt{100-n}\le \sqrt{2.(100+n+100-n)}=20,\forall n\ge 1$

Suy ra $\alpha =20$

Chọn D