17 câu hỏi
\[\begin{array}{l}a = R\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\S = {a^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\]
Ba đường tròn tiếp xúc với nhau từng đôi một và tiếp xúc với các cạnh của tam giác như hình bên. Nếu mỗi đường tròn có bán kính là 3, thì chu vi của tam giác sẽ bằng bao nhiêu?
Từ tâm \[P\] và \[Q\] vẽ \[PQ\] và \[CQ\] vuông góc với cạnh \[AD\] của tam giác
Các tam giác \[APB\] và \[DQC\] là nửa tam giác đều với \[PB = QC = 3\]
\[ \Rightarrow AB = CD = 3\sqrt 3 ;BC = PQ = 6 \Rightarrow AD = 6 + 6\sqrt 3 \]
Vậy chu vi tam giác là: \[18 + 18\sqrt 3 \]
![Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 9cm,AC = 12cm\]. Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp, \[G\] là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài \[IG\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/2-1769682960.png)
Gọi \[D,E,F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với \[AB\]
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], theo định lý Pytago ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\left( {cm} \right)\]
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AD = AF;BD = BE;CE = CF\]
Do đó \[2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36\]
\[ \Leftrightarrow 2AD + 2BC = 36 \Leftrightarrow AD = 3\left( {cm} \right) \Rightarrow BD = 6\left( {cm} \right);DI = 3\left( {cm} \right)\]
Gọi \[N = BI \cap AC\], ta có: \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IG//NM\\IG = \frac{2}{3}NM\end{array} \right.\]
Ta có \[\diamondsuit IDAF\] là hình vuông, có: \[\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DI}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AN = 4,5\left( {cm} \right)\]
Mà \[M\] là trung điểm của \[AC\] nên: \[NM = AM - AN = 6 - 4,5 = 1,5\left( {cm} \right) \Rightarrow IG = 1\left( {cm} \right)\]
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và hai đường kính vuông góc \(AB,CD\). Trên bán kính \(AO\) lấy đoạn \(AI = \frac{{2AO}}{3}\), vẽ tia \(CI\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\). Tính \(R\) theo \(CE\)
Ta có \(AI = \frac{{2AO}}{3} = \frac{{2R}}{3} \Rightarrow OI = R - \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{3}\)
\(\Delta OCI\) vuông tại \(O\), ta có:
\(CI = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\frac{R}{3}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt {10} }}{3}\)
\(\Delta CED\) nội tiếp đường tròn \(O\) có cạnh \(CD\) là đường kính \( \Rightarrow \Delta CED\) vuông tại \(E\)
Hai tam giác vuông \(OCI\) và \(CED\) có \(\widehat C:chung\)
\( \Rightarrow \Delta COI \sim \Delta CED \Rightarrow \frac{{CO}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow CE = \frac{{CO.CD}}{{CI}}\)
\( = \frac{{R.2R}}{{R\frac{{\sqrt {10} }}{3}}} = \frac{{6R}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3R\sqrt {10} }}{5}\)
Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC .
Ta có AO là trung tuyến của tam giác vuông \({\rm{OA}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}}\).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn tâm O là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC vuông tại A (gt).
Theo định lí Pythagore, ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {3^2} + {4^2}\)\( \Rightarrow {\rm{BC }} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} \)\( = \sqrt {25} = 5(\;{\rm{cm}})\)
Vậy bán kính của đường tròn là \(5:2 = 2,5(\;{\rm{cm}})\).
Tam giác ABC vuông tại A (gt).
Theo định lí Pythagore, ta có: \({\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = {5^2} + {12^2}\)\( \Rightarrow {\rm{BC}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13(\;{\rm{cm}})\)
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là: \(\frac{{{\rm{BC}}}}{2} = \frac{{13}}{2}(\;{\rm{cm}})\)( nửa cạnh huyền BC)
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 17 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC , ta có: Kéo dài AH cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại D .
Khi đó \(\widehat {{\rm{BOD}}}\) và \(\widehat {{\rm{BAD}}}\) lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BD
Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{OB}} = 3\;{\rm{cm}}\) (gt) và . Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Vì đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC .
Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền \({\rm{AB}} = {\rm{BC}} = 3\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\) và góc
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều, ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}{\rm{AH}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
a) Kẻ đường cao AH của tam giác đều ABC có cạnh 3 cm ta có \({\rm{AH}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}(\;{\rm{cm}})\).
Vì đều nên trực tâm O cùng trùng với trọng tâm, khi đó \({\rm{OA}} = \frac{2}{3} \cdot {\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \) (cm)
Vậy bán kính R của đường tròn \(({\rm{O}})\) là:\({\rm{OA}} = \sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\)
b) Gọi \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) là diện tích tam giác đều ABC cạnh 3 cm , ta có: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{{{3^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Gọi S là diện tích hình tròn \(({\rm{O}})\), ta có:\({\rm{S}} = \pi \cdot {(\sqrt 3 )^2} = 3\pi \left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Do đó diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC là: \({{\rm{S}}_{{\rm{vp}}}} = \frac{1}{3}\left( {3\pi - \frac{{9\sqrt 3 }}{4}} \right) \approx 1,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Ta có tam giác ABC đều.
Gọi O là trực tâm của tam giác đồng thời là giao điểm ba đường phân giác trong.
Vậy O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC . Ta có:
Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
(Lưu ý: Có thể kết luận ngay \({\rm{AH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\) vì đều cạnh a ).
Mặt khác tam giác ABC đều nên trực tâm O cũng là trọng tâm \( \Rightarrow {\rm{OH}} = \frac{1}{3}{\rm{AH}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{6}.\)
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{6}\).
Nhận xét: Trong tam giác đều tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.
I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC nên I là giao điểm của ba đường phân giác và I đồng thời là trọng tâm của tam giác đều ABC , khi đó AH là đường trung tuyến, ta có:
\({\rm{AI}} = 2{\rm{IH}} = 2.1 = 2(\;{\rm{cm}})\)\( \Rightarrow {\rm{BI}} = {\rm{CI}} = {\rm{AI}} = 2(\;{\rm{cm}})\)
Xét tam giác BHI vuông tại H , có cạnh huyền \({\rm{BI}} = 2(\;{\rm{cm}})\), góc
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Độ dài các cạnh của tam giác đều ABC ngoại tiếp \(({\rm{I}},1)\) bằng \(2\sqrt 3 (\;{\rm{cm}})\).
Gọi OI là đường cao của tam giác AOC cân tại O , ta có OI đồng thời là đường phân giác của góc AOC hay \(\widehat {{\rm{AOI}}} = \widehat {{\rm{COI}}} = \frac{{\widehat {{\rm{AOC}}}}}{2}\).
Xét đường tròn \(({\rm{O}})\), ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) và \(\widehat {{\rm{AOC}}}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \frac{{\widehat {{\rm{AOC}}}}}{2}\) hay \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{AOI}}}\)
Hai tam giác APB và tam giác AIO đều vuông tại P và Imà \(\widehat {{\rm{ABP}}} = \widehat {{\rm{AOI}}}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {{\rm{BAH}}} = \widehat {{\rm{OAC}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau).
Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \(({\rm{I}};{\rm{r)}}\) với các cạnh AB, AC và BC của tam giác ABC.
Ta có: \({\rm{S}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AIB}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AIC}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BIC}}}}\)\( = \frac{1}{2}{\rm{ID}} \cdot {\rm{AB}} + \frac{1}{2}{\rm{IE}} \cdot {\rm{AC}} + \frac{1}{2}{\rm{IF}} \cdot {\rm{BC}}\)
Mà \({\rm{ID}} = {\rm{IE}} = {\rm{IF}} = {\rm{r}}\)\( \Rightarrow \;{\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{r}}({\rm{BC}} + {\rm{CA}} + {\rm{AB}})\)(đpcm)
Ta có đường kính đường tròn bằng với cạnh của hình vuông.
Nên bán kính mặt thớt hình tròn là \(50:2 = 25\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Diện tích bề mặt gỗ bị cắt bỏ là: \({50^2} - \pi {.25^2} \approx 536,5\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Một hoa văn hình tròn có kích thước như hình vẽ. Tính bán kính đường tròn.
Áp dụng định lý Pythagore ta có độ dài đường chéo hình chữ nhật là \(\sqrt {{{60}^2} + {{80}^2}} = 100\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\).
Vì hình chữ nhật nội tiếp đường tròn nên độ dài đường chéo hình chữ nhật là đường kính của đường tròn.
Nên bán kính đường tròn \(100:2 = 50\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Một hình có hoa văn gồm: hình vuông \(ABCD\) có bốn đỉnh nằm trên hình tròn tâm \(O\), bán kính 3 cm. Tìm tỉ số phần trăm của diện tích hình tròn và diện tích hình vuông đó.
Diện tích hình tròn là: \(\pi {.3^2} = 9\pi \left( {c{m^2}} \right)\). Áp dụng định lý Pythagore trong \(\Delta {\rm{OBC}}\) vuông tại \(O\) ta có:
. Diện tích hình vuông là: \({\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Tỉ số phần trăm của diện tích hình tròn và diện tích hình vuông là: \(\frac{{9\pi }}{{18}}.100\% \approx 157,1\% \).
Cho biết cạnh hình vuông lớn bằng 8 cm. Tính diện tích phần tô màu xanh trong hình vẽ bên:
Ta chia hình vuông ban đầu thành 4 phần bằng nhau. Bây giờ ta tính diện tích phần tô đậm nằm trong hình vuông \({O_1}\) ( \(\frac{1}{4}\) diện tích hình đã cho).
Diện tích phần tô đậm trong hình vuông \({O_1}\) là: \(S = {S_1} + {S_3} + {S_4}\).
Ta thấy: \({S_2} = {S_4} = {S_3} = {S_5}\) (Vì đều bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn bán kính 2 cm trừ đi diện tích hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 2 cm).
Nên \(S = {S_1} + {S_2} + {S_5}\) và bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn bán kính 4 cm trừ đi diện tích hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 4 cm . Ta có: \(S = 4.4.\pi .\frac{1}{4} - \frac{1}{2}.4.4 \approx 4,57\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Diện tích phần tô đậm cần tìm là: \(4,57.4 \approx 18,28\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
