Giải SGK Toán 9 CD Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Các đỉnh A, B, C của tam giác ABC đều thuộc đường tròn (O).

⦁ Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

⦁ Đường tròn (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD vì nó đi qua ba đỉnh A, B, D của tam giác ABD.

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Do đó OA = OB = OC.

Ta có OA = OB = OC = R nên ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường tròn (O; R) hay đường tròn (O; R) đi qua ba đỉnh của tam giác.

Vậy đường tròn (O; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

Mà O là trung điểm của BC nên

Do đó

Vậy đường tròn (O; OB) đi qua các điểm A, B, C của tam giác ABC nên (O; OB) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Cách sử dụng ê ke để xác định tâm của một đường tròn bất kì khi chưa biết tâm của nó:

Bước 1. Lấy một điểm M bất kì trên đường tròn.

Bước 2. Đặt đỉnh vuông của ê ke trùng với điểm M.

Bước 3. Kẻ hai đường thẳng đi qua hai cạnh góc vuông của ê kê, hai đường thẳng này cắt đường tròn lần lượt tại hai điểm A, B (khác điểm M).

Bước 4. Nối đoạn thẳng AB, khi đó AB là đường kính của đường tròn.

Bước 5. Lấy O là trung điểm của AB, khi đó O là tâm của đường tròn đã cho.

Thật vậy, ∆MAB vuông tại M nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB có tâm là trung điểm O của cạnh huyền AB.

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP cũng đồng thời là các đường trung trực của tam giác ABC.

Vì ba đường trung trực AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại điểm O nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì ∆ABC đều nên 

Xét ∆ABM vuông tại M, ta có:

Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và O là trọng tâm của tam giác.

Do đó

Vậy

Giả sử tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Khi đó AB = a.

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2 cm) nên O là trọng tâm của tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp (O; 2 cm) là  

Suy ra

Vậy 

Ta có AB ⊥ IP tại P thuộc đường tròn (I) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (I) hay AB tiếp xúc với đường tròn (I) tại P.

Tương tự, ta cũng có BC, CA tiếp xúc với đường tròn (I) lần lượt tại M, N.

Vậy các đường thẳng AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (I) lần lượt tại P, M, N.

Đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp ∆ABC vì nó tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA của tam giác.

Đường tròn (I) cũng là đường tròn nội tiếp ∆CDE vì nó tiếp xúc với ba cạnh CD, DE, EC của tam giác.

Vì O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên điểm O cách đều ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.

Do đó IP = IM = IN.

Ta có IM = IN = IP = r nên ba điểm M, N, P cùng nằm trên đường tròn (O; r).

Lại có IM ⊥ BC, IN ⊥ AC, IP ⊥ AB nên đường tròn (O; r) tiếp xúc với ba cạnh BC, AC, AB.

Vậy đường tròn (O; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP cũng đồng thời là các đường phân giác của tam giác ABC.

Vì ba đường phân giác AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại điểm O nên O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì ∆ABC đều nên

Xét ∆ABM vuông tại M, ta có:

Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và O là trọng tâm của tam giác.

Do đó

Vậy

Gọi độ dài các cạnh của tam giác đều ABC là a (cm). Khi đó AB = a (cm).

Vì tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O; 6 cm) nên ta có

Suy ra

Vậy

⦁ Ở Hình 15a, đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì đường tròn (O) đi qua cả ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

⦁ Ở Hình 15b, đường tròn (O) không là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó không đi qua đỉnh C của tam giác ABC.

⦁ Ở Hình 15c, đường tròn (O) không là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vì nó không tiếp xúc với cạnh BC.

⦁ Ở Hình 15d, đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vì nó tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169.

Suy ra BC = 13 (cm).

Mặt khác, đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC có tâm là trung điểm O của cạnh huyền BC và bán kính bằng nửa cạnh huyền BC.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là

Giả sử đường tròn (I; 4 cm) nội tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a (cm). Khi đó AB = a (cm).

Vì tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (I; 4 cm) nên ta có

Suy ra

Vậy

Giả sử tam giác ABC đều có cạnh bằng a (dm) nội tiếp đường tròn (O; 4 dm).

Khi đó AB = a (dm).

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có

Suy ra

Vậy

Vì góc ABD, góc ACD đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (do AD là đường kính của (O)) nên

Do đó DB ⊥ AB và CD ⊥ AC.

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB.

Lại có CD ⊥ AC và DB ⊥ AB (câu a) nên BH // CD và CH // BD.

Xét tứ giác BHCD có BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.

Vì BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

AD2 = AC2 + CD2

Suy ra (2R)2 = AC2 + BH2

Hay AC2 + BH2 = 4R2.

Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD, do đó ba điểm H, M, D thẳng hàng.

Lại có AD là đường kính của đường tròn (O) nên O là trung điểm của AD.

Xét ∆AHD có O, M lần lượt là trung điểm của AB, HD nên OM là đường trung bình của tam giác,

Do đó hay AH = 2OM.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H nên IH ⊥ AC tại H, do đó

Vì đường tròn (K) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H nên KH ⊥ AC tại H, do đó

Ta có

Suy ra ba điểm I, H, K thẳng hàng.

Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên điểm A cách đều hai tiếp điểm M và H hay AM = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AD, AC cắt nhau tại A nên điểm A cách đều hai tiếp điểm N và H hay AN = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó AM = AN.

Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AI là đường phân giác của góc BAC, do đó

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AD, AC cắt nhau tại A nên AK là đường phân giác của góc CAD, do đó

Ta có:

Vậy