167 câu Trắc nghiệm Toán 11 Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức có đáp án (Mới nhất)
110 câu hỏi
Đạo hàm của hàm số\(y = 10\)là:
\(10.\)
\( - 10.\)
\(0.\)
\(10x.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Có \(y = 10\)\( \Rightarrow \)\(y' = 0.\)
Cho hàm số \(f(x) = ax + b.\)Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(f'(x) = - a.\)
\(f'(x) = - b.\)
\(f'(x) = a.\)
\(f'(x) = b.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Có \(f(x) = ax + b\)\( \Rightarrow \)\(f'(x) = a.\)
Cho 
và 
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đạo hàm của hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + x + 1\] là
\[y' = 4{x^3} - 6{x^2} + 1.\]
\[y' = 4{x^3} - 6{x^2} + x.\]
\[y' = 4{x^3} - 3{x^2} + x.\]
\[y' = 4{x^3} - 3{x^2} + 1.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Áp dụng công thức
Đạo hàm của hàm số 
bằng biểu thức nào sau đây?
Hướng dẫn giải:
Công thức 
.
Chọn C.
\(y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\)
\(y' = 4{x^3} - 6x + 3\)
\(y' = 4{x^4} - 6x + 2\)
\(y' = 4{x^3} - 3x + 2\)
\(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)
\(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + x - 1\)
\(y' = - 2{x^2} + 4x + 1\)
\(y' = - 3{x^2} + 4x + 1\)
\(y' = - \frac{1}{3}{x^2} + 4x + 1\)
\(y' = - {x^2} + 4x + 1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có \(y' = - {x^2} + 4x + 1\)
Đạo hàm cấp một của hàm số \(y = {\left( {1 - {x^3}} \right)^5}\) là:
\(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
\(y' = - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^5}\).
\(y' = - 3{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
\(y' = - 5{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : \(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}{\left( {1 - {x^3}} \right)^\prime } = - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).
Cho hàm số\[f\left( x \right)\]xác định trên \[\mathbb{R}\] bởi\[f\left( x \right) = ax + b\], với \[a,\]\[b\] là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng:
\[f'\left( x \right) = a\].
\[f'\left( x \right) = - a\].
\[f'\left( x \right) = b\].
\[f'\left( x \right) = - b\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Sử dụng các công thức đạo hàm: \[{\left( c \right)^\prime } = 0\] với \[c = const\]; \[x' = 1\]; \[{\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'\] với \[k = const\].
\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\] với \[n\] là số nguyên dương ;\[{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\];
Ta có \[f'\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^\prime } = ax' + b' = a\].
\[ - 4x - 3\].
\[ - 4x + 3\].
\[4x + 3\].
\[4x - 3\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Sử dụng các công thức đạo hàm: \[x' = 1\]; \[{\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'\];\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\];\[{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\].
\[f'\left( x \right) = {\left( { - 2{x^2} + 3x} \right)^\prime } = - 2{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + 3x' = - 4x + 3\].
Đạo hàm của \[y = {\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)^2}\] là
\[y' = 10{x^9} - 28{x^6} + 16{x^3}.\]
\[y' = 10{x^9} - 14{x^6} + 16{x^3}.\]
\[y' = 10{x^9} + 16{x^3}.\]
\[y' = 7{x^6} - 6{x^3} + 16x.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Ta có \[y' = 2.\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right){\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)^\prime } = 2\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)\left( {5{x^4} - 4x} \right) = 10{x^9} - 28{x^6} + 16{x^3}.\]
Đạo hàm của hàm số \(y = {(7x - 5)^4}\) bằng biểu thức nào sau đây
\(4{(7x - 5)^3}.\)
\( - 28{(7x - 5)^3}.\)
\(28{(7x - 5)^3}.\)
\[A = y'' + y = - 3\sin x - 2\cos x + 3\sin x + 2{\rm{cos}}x = 0\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
Vì \[y' = 4{\left( {7x - 5} \right)^3}{\left( {7x - 5} \right)^\prime } = 28{\left( {7x - 5} \right)^3}.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = - 2{x^2} + 3x\]. Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng
\[4x - 3.\]
\[ - 4x + 3.\]
\[4x + 3.\]
\[ - 4x - 3.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
\[f\left( x \right) = - 2{x^2} + 3x \Rightarrow f'\left( x \right) = - 4x + 3\]
Đạo hàm của hàm số \[y = {({x^3} - 2{x^2})^2}^{016}\]là:
\[y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^2}^{015}.\]
\[y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}(3{x^2} - 4x).\]
\[y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 4x).\]
\[y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 2x).\]
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Đặt \(u = {x^3} - 2{x^2}\)thì\(y = {u^{2016}},\)\({y'_u} = 2016.{u^{2015}},\)\({u'_x} = 3{x^2} - 4x.\)
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: \[{y'_x} = {y'_u}.{u'_x}\].
Vậy:\[y'\]\[ = \]\[2016.{({x^3} - 2{x^2})^2}^{015}.(3{x^2} - 4x).\]
\[6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\].
\[6{x^5} + 16{x^3}\].
\[6{x^5} - 20{x^4} + 4{x^3}\].
\[6{x^5} - 20{x^4} - 16{x^3}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Cách 1: Áp dụng công thức \[{\left( {{u^n}} \right)^\prime }\]
Ta có \(y' = 2.\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right).{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^\prime } = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right).\left( {3{x^2} - 4x} \right)\)
\( = 6{x^5} - 8{x^4} - 12{x^4} + 16{x^3} = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\)
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :
Ta có: \[y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^2} = {x^6} - 4{x^5} + 4{x^4}\]\[ \Rightarrow y' = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\]
Đạo hàm của hàm số\[y = \frac{1}{2}{x^6} - \frac{3}{x} + 2\sqrt x \] là:
\[y' = 3{x^5} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\]
\[y' = 6{x^5} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\]
\[y' = 3{x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\]
\[y' = 6{x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\(y' = 3{x^5} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}\).
Đạo hàm của hàm số \[y = {\left( {3{x^2} - 1} \right)^2}\]là \[y'\] bằng.
\[2\left( {3{x^2} - 1} \right)\].
\[6\left( {3{x^2} - 1} \right)\].
\[6x\left( {3{x^2} - 1} \right)\].
\[12x\left( {3{x^2} - 1} \right)\].
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Ta có: \[y = {\left( {3{x^2} - 1} \right)^2} \Rightarrow y' = 2\left( {3{x^2} - 1} \right){\left( {3{x^2} - 1} \right)^\prime } = 12x\left( {3{x^2} - 1} \right).\]
là: 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = ({x^7} + x)(7{x^6} + 1)\)
\(y' = 2({x^7} + x)\)
\(y' = 2(7{x^6} + 1)\)
\(y' = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1)\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
\(y' = - {x^3} + 4x\)
\(y' = - {x^3} - 4x\)
\(y' = 12{x^3} + 4x\)
\(y' = - 12{x^3} + 4x\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Tính đạo hàm của hàm số\(y = {({x^3} + 2x)^3}\)
\(y' = {({x^3} + 2x)^2}(3{x^2} + 2)\)
\(y' = 2{({x^3} + 2x)^2}(3{x^2} + 2)\)
\(y' = 3{({x^3} + 2x)^2} + (3{x^2} + 2)\)
\(y' = 3{({x^3} + 2x)^2}(3{x^2} + 2)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \(y' = 3{({x^3} + 2x)^2}{\left( {{x^3} + 2x} \right)^'} = 3{({x^3} + 2x)^2}(3{x^2} + 2)\)
\(y' = {x^4} - 3{x^2} - 2\)
\(y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)
\(y' = 15{x^4} - 3{x^2}\)
\(y' = 15{x^4} - 3{x^2} - 2\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \(y' = 2x(3{x^3} + 2x) + ({x^2} - 1)(9{x^2} + 2) = 15{x^4} - 3{x^2} - 2\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x - 3} \right)\)
\(y' = 40{x^2} - 3{x^2} - 6x\)
\(y' = 40{x^3} - 3{x^2} - 6x\)
\(y' = 40{x^3} + 3{x^2} - 6x\)
\(y' = 40{x^3} - 3{x^2} - x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
\(y = 10{x^4} - {x^3} - 3{x^2} \Rightarrow y' = 40{x^3} - 3{x^2} - 6x\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}\)
\(y' = 3{({x^2} + 5x + 6)^3} + 2(x + 3){(x + 2)^3}\)
\(y' = 2{({x^2} + 5x + 6)^2} + 3(x + 3){(x + 2)^3}\)
\(y' = 3({x^2} + 5x + 6) + 2(x + 3)(x + 2)\)
\(y' = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(y' = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\).
\(\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
\(2\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
\(2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {{x^6} + 1} \right)\)
\(2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/} = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\) (với \(u = {x^7} + x\) )
\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right).{\left( {{x^7} + x} \right)^/} = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
\(2\left( {2{x^3} - {x^2} + 6x + 1} \right)\left( {6{x^2} - 6x + 6} \right).\)
\(2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - 6x + 6} \right).\)
\(2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)\left( {{x^2} - 6x + 6} \right).\)
\(2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)\left( {6{x^2} - 6x + 6} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = 2{x^3} - 3{x^2} - 6x + 1\)
\(y' = 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right){\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)^/} = 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)\left( {6{x^2} - 6x + 6} \right).\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {1 - 2{x^2}} \right)^3}.\)
\(12x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)
\( - 12x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)
\( - 24x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)
\(24x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = 1 - 2{x^2}\)
\(y' = 3{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^/} = 3{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}\left( { - 4x} \right) = - 12x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {x - {x^2}} \right)^{32}}\).
\({\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.\left( {1 - 2x} \right)\)
\(32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}\)
\(32{\left( {1 - {x^2}} \right)^{31}}\)
\(32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.\left( {1 - 2x} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = x - {x^2}\)
(y' = 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.{\left( {x - {x^2}} \right)^/} = 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.\left( {1 - 2x} \right)\)
\(4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\)
\({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\left( {2x + 1} \right)\)
\({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\)
\(4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\left( {2x + 1} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = {x^2} + x + 1\)
\(y' = 4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^/} = 4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\left( {2x + 1} \right)\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}.{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\)
\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\)
\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\)
\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\)
\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 2\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân.
\(y' = {\left[ {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}} \right]^/}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} + {\left[ {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}} \right]^/}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}.\)
Sau đó sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)
\(y' = 3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^/}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^/}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}\)
\(y' = 3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right){\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}\)
\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\).
\(y' = \left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\)
\(y' = 4\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\)
\(y' = 2\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 - 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\)
\(y' = 2\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\(y' = {\left( {1 + 2x} \right)^/}\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right){\left( {2 + 3{x^2}} \right)^/}\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right){\left( {3 - 4{x^3}} \right)^/}\)\(y' = 2\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\).
\(\frac{a}{c}\)
\(\frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{ad + bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{ad - bc}}{{\left( {cx + d} \right)}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có \(y' = \frac{{ad - cb}}{{{{(cx + d)}^2}}} = \frac{{\left| \begin{array}{l}a{\rm{ }}b\\c{\rm{ }}d\end{array} \right|}}{{{{(cx + d)}^2}}}\)
\( - \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(\frac{3}{{\left( {x + 2} \right)}}\)
\(\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(\frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có \(y' = \frac{{(2x + 1)'(x + 2) - (x + 2)'(2x + 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
\(\frac{7}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).
\(\frac{1}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).
\( - \frac{{13}}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).
\(\frac{{13}}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {3x + 5} \right)}^\prime }.\left( {2x - 1} \right) - \left( {3x + 5} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{3\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 13}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Có thể dùng công thức \({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\[f'\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
·Sử dụng công thức đạo hàm: \[{\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^'} = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\].
·Ta có : \[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^'}\]\[ = \frac{{2.1 + 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đạo hàm là:
\(y' = 2\).
\(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có : \(y' = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Cho hàm số 
. Đạo hàm 
của hàm số là
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có 
.
Đạo hàm của hàm số 
là:
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cho hàm số 
. Hàm số có đạo hàm 
bằng:
.
.
.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1: Ta có 
Cách 2: Ta có 
.
\( - \frac{{12}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^4}}}\)
\(\frac{{12}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^3}}}\)
\( - \frac{6}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^3}}}\)
\( - \frac{{12}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^3}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = - \frac{{3{{\left[ {{{(2x + 5)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(2x + 5)}^4}}} = - \frac{{12(2x + 5)}}{{{{(2x + 5)}^4}}} = - \frac{{12}}{{{{(2x + 5)}^3}}}\)
\(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{ - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y' = \frac{{(2x - 1)(x - 1) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{a'x + b'}},{\rm{ }}aa' \ne 0\).
\( = \frac{{aa'{x^2} + 2ab'x + bb' - a'c}}{{(a'x + b')}}\)
\( = \frac{{aa'{x^2} + 2ab'x + bb' - a'c}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\)
\( = \frac{{aa'{x^2} - 2ab'x + bb' - a'c}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\)
\( = \frac{{aa'{x^2} + 2ab'x - bb' - a'c}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = \frac{{(2ax + b)(a'x + b') - a'(a{x^2} + bx + c)}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\)
\( = \frac{{aa'{x^2} + 2ab'x + bb' - a'c}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \frac{{2 - 2x + {x^2}}}{{{x^2} - 1}}\)
\(\frac{{2{x^2} + 6x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}}\)
\(\frac{{2{x^2} - 6x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{{(2x - 2)({x^2} - 1) - 2x({x^2} - 2x + 2)}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}\)
. Đạo hàm y' của hàm số là 
Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh 
.
Chọn C.
có y' bằng
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh 
.
Hàm số \(y = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{1 - x}}\) có đạo hàm là:
\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).
\(y' = - 2\left( {x - 2} \right)\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : \(y' = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {1 - x} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).
\( - 1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
\(1 + \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
\( - 1 + \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
\(1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 3} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\( = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 3} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\). Đạo hàm \({y^\prime }\)của hàm số là
1+ \(\frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\).
\(\frac{{{x^2} + 6x + 7}}{{{{(x + 2)}^2}}}\).
\(\frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}\).
\(\frac{{{x^2} + 8x + 1}}{{{{(x + 2)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - {{\left( {x + 2} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(\frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}\) bằng biểu thức nào sau đây
\[y' = \frac{{2x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.\]
\[y' = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.\]
\(y' = (2x - 2)({x^2} - 2x + 5).\)
\(y' = \frac{1}{{2x - 2}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
Vì \(y' = - \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.\)
\[\frac{{ - \left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}.\]
\[\frac{{ - \left( {4x - 1} \right)}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}.\]
\[\frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}.\]
\[\frac{{\left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
\[y = \frac{1}{{2{x^2} + x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - {{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}\]. Xét hai câu sau:
(I) \[f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\,\,\forall x \ne 1\] (II) \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \ne 1.\)
Hãy chọn câu đúng:
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (II) đúng.
Cả hai đều sai.
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
\[f\left( x \right) = x + 1 - \frac{2}{{x - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\forall x \ne 1\]
Cho hàm số \[f(x) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\]. Xét hai câu sau:
\[(I):f'(x) = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}},\]\[\forall x \ne 1.\] \[(II):f'(x) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}},\]\[\forall x \ne 1.\]
Hãy chọn câu đúng:
Chỉ \[(I)\]đúng.
Chỉ \[(II)\]đúng.
Cả \[(I);\]\[(II)\]đều sai.
Cả \[(I);\]\[(II)\]đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\] ta có:
\[\forall x \ne 1\], ta có: \[f(x) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\]\[ \Rightarrow \]\[f'(x) = \frac{{({x^2} + x - 1)'.(x - 1) - (x - 1)'.({x^2} + x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]
\[ \Rightarrow \]\[f'(x)\]\[ = \]\[\frac{{(2x + 1).(x - 1) - 1.({x^2} + x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ = \]\[\frac{{2{x^2} - 2x + x - 1 - {x^2} - x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ = \]\[\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ \Rightarrow \]\[(II)\]đúng.
Mặt khác:\[f'(x)\]\[ = \]\[\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ \Rightarrow \]\[(I)\]đúng.
\(\frac{{ - 9{x^2} - 4x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(1 - 6{x^2}.\)
\(\frac{{1 - 6{x^2}}}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}.\] Có : \(y = \frac{{x(1 - 3x)}}{{x + 1}}\)\( = \)\(\frac{{ - 3{x^2} + x}}{{x + 1}}\), nên:
\(y' = \frac{{( - 3{x^2} + x)'.(x + 1) - (x + 1)'.( - 3{x^2} + x)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{( - 6x + 1).(x + 1) - 1.( - 3{x^2} + x)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \)\(y'\)\( = \)\(\frac{{ - 6{x^2} - 6x + x + 1 + 3{x^2} - x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
Cho hàm số\(y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 7}}{{{x^2} + 3}}\). Đạo hàm\(y'\)của hàm số là:
\(\frac{{ - 3{x^2} - 13x - 10}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - {x^2} + x + 3}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - 7{x^2} - 13x - 10}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}.\]Ta có:
\(y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 7}}{{{x^2} + 3}}\)\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{( - 2{x^2} + x - 7)'.({x^2} + 3) - ({x^2} + 3)'.( - 2{x^2} + x - 7)}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{( - 4x + 1).({x^2} + 3) - 2x.( - 2{x^2} + x - 7)}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{ - 4{x^3} - 12x + {x^2} + 3 + 4{x^3} - 2{x^2} + 14x}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}\). Đạo hàm \[y'\]của hàm số là:
\(\frac{{2{x^2} + 10x + 9}}{{{{({x^2} + 3x + 3)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 2{x^2} - 10x - 9}}{{{{({x^2} + 3x + 3)}^2}}}\).
\(\frac{{{x^2} - 2x - 9}}{{{{({x^2} + 3x + 3)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 2{x^2} - 5x - 9}}{{{{({x^2} + 3x + 3)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^\prime }.\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right){{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right).\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 6x + 6 - 4{x^2} - 6x - 10x - 15}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 2{x^2} - 10x - 9}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{{ - 2x - 2}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - 4x + 4}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - 2x + 2}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)
\(\frac{{2x + 2}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\(y' = \frac{{ - (2x - 2)}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)
Hàm số \[y = 2x + 1 + \frac{2}{{x - 2}}\]có \(y'\) bằng?
\[\frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{(x - 2)}^2}}}\].
\[\frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{x - 2}}.\]
\[\frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{{(x - 2)}^2}}}\].
\[\frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{x - 2}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có \(y' = 2 - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{(x - 1)(x + 3)}}\) bằng biểu thức nào sau đây ?.
\(\frac{1}{{{{(x + 3)}^2}{{(x - 1)}^2}}}\).
\(\frac{1}{{2x + 2}}\).
\( - \frac{{2x + 2}}{{{{({x^2} + 2x - 3)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có : \[y = \frac{1}{{(x - 1)(x + 3)}} = \frac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}\]\( \Rightarrow y' = - \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^2}}} = - \frac{{2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^2}}}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}.\) Đạo hàm \[y'\] của hàm số là.
\(\frac{{ - 13{x^2} - 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 13{x^2} + 5x + 11}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\).
\(\frac{{ - 13{x^2} + 5x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}.\)
\(\frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}.\)
\(y' = \frac{{{{\left( {2{x^3} + 3x - 1} \right)}^'}\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^3} + 3x - 1} \right){{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^'}}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{{\left( {6{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^3} + 3x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}.\)
\[y = {x^2} - \frac{1}{x}.\]
\[y = 2 - \frac{2}{{{x^3}}}.\]
\[y = {x^2} + \frac{1}{x}.\]
\[y = 2 - \frac{1}{x}.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Vì \[y' = {\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}.\]
\(\frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^3}}}.\)
\(\frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}.\)
\(\frac{{ - 3}}{{{x^4}}} - \frac{2}{{{x^3}}}.\)
\(\frac{3}{{{x^4}}} - \frac{1}{{{x^3}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Ta có \(y' = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{{3{x^2}}}{{{x^6}}} + \frac{{2x}}{{{x^4}}} = - \frac{3}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}\)
\[y = \frac{{{x^3} - 1}}{x}\]
\[y = \frac{{3({x^2} + x)}}{{{x^3}}}\]
\[y = \frac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\]
\[y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Kiểm tra đáp án A \[y = \frac{{{x^3} - 1}}{x} = {x^2} - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\] đúng.
\(y' = \left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)
\(y' = 2\left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)
\(y' = \left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)
\(y' = 2\left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = 2\left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}\)
\(y' = 3\left( {4 + \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right){\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)
\(y' = 3\left( {4 - \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right){\left( {4x - \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)
\(y' = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)
\(y' = 3\left( {4 - \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right){\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = 3\left( {4 - \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right){\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)
. Đạo hàm y' của hàm số là
Chọn D.
Công thức 
\(y' = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{\sqrt {{x^3} - 3{x^2} + 2} }}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} + 6x}}{{2\sqrt {{x^3} - 3{x^2} + 2} }}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{2\sqrt {{x^3} - 3{x^2} - 2} }}\)
\(y' = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{2\sqrt {{x^3} - 3{x^2} + 2} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y' = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{2\sqrt {{x^3} - 3{x^2} + 2} }}\)
Đạo hàm của hàm số 
là kết quả nào sau đây?
Chọn D.
.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = x\sqrt x \] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\]bằng.
\[\frac{{3\sqrt x }}{2}\].
\[\frac{{\sqrt x }}{{2x}}\].
\[\sqrt x + \frac{{\sqrt x }}{2}\].
\[\frac{{\sqrt x }}{2}\].
Hướng dẫn giải:.
Chọn A
Ta có: \(f\left( x \right) = x\sqrt x = {x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}\sqrt x .\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^3} - 5} \right).\sqrt x \) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{7}{2}\sqrt {{x^5}} - \frac{5}{{2\sqrt x }}.\)
\(3{x^2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(3{x^2} - \frac{5}{{2\sqrt x }}.\)
\(\frac{7}{2}\sqrt[5]{{{x^2}}} - \frac{5}{{2\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\(y' = {\left( {{x^3} - 5} \right)^\prime }\sqrt x + \left( {{x^3} - 5} \right){\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = 3{x^2}.\sqrt x + \left( {{x^3} - 5} \right)\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{7{x^3} - 5}}{{2\sqrt x }} = \frac{7}{2}\sqrt {{x^5}} - \frac{5}{{2\sqrt x }}\).
\[\frac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}.\]
\[\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}.\]
\[\frac{{x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}.\]
\[\frac{{x - 6{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\(y' = \frac{{2x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} = \frac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}\).
Đạo hàm của \[y = \sqrt {3{x^2} - 2x + 1} \]bằng:
\[\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]
\[\frac{{6x - 2}}{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]
\[\frac{{3{x^2} - 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]
\[\frac{1}{{2\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Áp dụng công thức \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\], ta được:
\[y = \sqrt {3{x^2} - 2x + 1} \]\[ \Rightarrow \]\[y' = \frac{{(3{x^2} - 2x + 1)'}}{{2\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}\]\[ = \]\[\frac{{6x - 2}}{{2\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}\]\[ = \]\[\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]
Cho hàm số\(y = \sqrt {2{x^2} + 5x - 4} \). Đạo hàm\(y'\)của hàm số là:
\(\frac{{4x + 5}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)
\(\frac{{4x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)
\(\frac{{2x + 5}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)
\(\frac{{2x + 5}}{{\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Áp dụng công thức \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\], ta được:
\(y = \sqrt {2{x^2} + 5x - 4} \)\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{(2{x^2} + 5x - 4)'}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)\( = \)\(\frac{{4x + 5}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)
\(\frac{{2{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(\frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(\frac{{4{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \(y' = x'\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'x = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{({x^2} + 1)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.x\)
\( = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Đạo hàm của hàm số\[y = x.\sqrt {{x^2} - 2x} \]là
\[y' = \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}.\]
\[y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}.\]
\[y' = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}.\]
\[y' = \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
\[y = x.\sqrt {{x^2} - 2x} \Rightarrow y' = \sqrt {{x^2} - 2x} + x.\frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\]xác định trên \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\] cho bởi \[f\left( x \right) = x\sqrt x \] có đạo hàm là:
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt x \].
\[f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\sqrt x \].
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt x }}{x}\].
\[f'\left( x \right) = x + \frac{{\sqrt x }}{2}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\[\left( {u.v} \right)' = u'.v + u.v'\]; \[\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\]; \[x' = 1\].
Ta có \[f'\left( x \right) = \left( {x\sqrt x } \right)' = x'.\sqrt x + x.\left( {\sqrt x } \right)' = \sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x = \frac{3}{2}\sqrt x \].
\(\frac{{4{x^2} - 5x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
\(\frac{{4{x^2} + 5x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
\(\frac{{4{x^2} + 5x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
\(\frac{{4{x^2} + 5x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có \(y' = \sqrt {{x^2} + x + 1} + (x + 1)\frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \frac{{4{x^2} + 5x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = {x^2} + x\sqrt {x + 1} \)
\(y' = 2x + \sqrt {x + 1} - \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)
\(y' = 2x - \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)
\(y' = \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)
\(y' = 2x + \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(y' = 2x + \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)
\(y' = - \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} - {x^2})}^3}} }}\)
\(y' = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} + {x^2})}^3}} }}\)
\(y' = \frac{{2{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} - {x^2})}^3}} }}\)
\(y' = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} - {x^2})}^3}} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(y' = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{({a^2} - {x^2})}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} - {x^2})}^3}} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \frac{1}{{x\sqrt x }}\)
\(y' = \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
\(y' = - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
\(y' = \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
\(y' = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\[y' = - \frac{{(x\sqrt x )'}}{{{x^3}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\)
\(y' = \frac{{1 - 3x}}{{\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)
\(y' = \frac{{1 - 3x}}{{3\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)
\(y' = - \frac{1}{3}\frac{{1 - 3x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)
\(y' = \frac{{1 - 3x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(y' = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{1 + x}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \frac{{1 - 3x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}\). Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : \(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }\)\[ = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{2}{{\sqrt x }}\frac{{1 - \sqrt x }}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\].
Hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\)xác định trên \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]. Có đạo hàm của \[f\left( x \right)\]là:
\[f'\left( x \right) = x + \frac{1}{x} - 2\].
\[f'\left( x \right) = x - \frac{1}{{{x^2}}}\].
\[f'\left( x \right) = \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}\].
\[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\].
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và \[{\left( {\frac{1}{u}} \right)^'} = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\].
Ta có: \(f'\left( x \right)\)\( = {\left[ {{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}} \right]^'}\)\( = 2.\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right).{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^'}\)\[ = 2.\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\]
\[ = 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]\[ = \left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]\[ = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\].
Hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\)xác định trên \[D = \left( {0; + \infty } \right)\]. Đạo hàm của hàm \[f\left( x \right)\]là:
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = \frac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = x\sqrt x - 3\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và \[{\left( {\frac{1}{u}} \right)^'} = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\].
·Ta có: \(f'\left( x \right)\)\[ = 3{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\]\[ = 3.\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right).\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]
\[ = \frac{3}{{2\sqrt x }}\left( {x - 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]\( = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). Đạo hàm \(y'\) của hàm số là biểu thức nào sau đây?
\(\frac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
\( - \frac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
\(\frac{x}{{2({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
\( - \frac{{x({x^2} + 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
\[y' = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)^\prime } = \frac{{ - {{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} \left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {{x^2} + 1} \right)}}\].
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\]. Để tính , hai học sinh lập luận theo hai cách:
(I) \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x - 1} }} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\].
(II) \[f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }} = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\].
Cách nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II)
Cả hai đều sai.
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
\[\sqrt {x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\].
Lại có \[{\left( {\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^\prime } = \frac{{\sqrt {x - 1} - \frac{x}{{2\sqrt {x - 1} }}}}{{x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}\] nên cả hai đều đúng.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \left( {1 - 2{x^2}} \right)\sqrt {1 + 2{x^2}} \]. Ta xét hai mệnh đề sau:
(I) \[f'\left( x \right) = \frac{{ - 2x\left( {1 + 6{x^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}\] (II) \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x\left( {12{x^4} - 4{x^2} - 1} \right)\]
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (II).
Chỉ (I).
Cả hai đều sai.
Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Ta có
\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left( {1 - 2{x^2}} \right)^\prime }\sqrt {1 + 2{x^2}} + \left( {1 - 2{x^2}} \right){\left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} } \right)^\prime } = - 4x\sqrt {1 + 2{x^2}} + \left( {1 - 2{x^2}} \right)\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x\left( {1 + 2{x^2}} \right) + \left( {1 - 2{x^2}} \right).2x}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = \frac{{ - 2x - 12{x^3}}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = \frac{{ - 2x\left( {1 + 6{x^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}\end{array}\]
Suy ra
\[\begin{array}{l}f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {1 - 2{x^2}} \right)\sqrt {1 + 2{x^2}} .\frac{{ - 2x\left( {1 + 6{x^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = - 2x\left( {1 - 2{x^2}} \right)\left( {1 + 6{x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2x\left( { - 12{x^4} + 4{x^2} + 1} \right) = 2x\left( {12{x^4} - 4{x^2} - 1} \right)\end{array}\]
Đạo hàm của hàm số \(y = - 2{x^7} + \sqrt x \) bằng biểu thức nào sau đây?
\( - 14{x^6} + 2\sqrt x .\)
\( - 14{x^6} + \frac{2}{{\sqrt x }}.\)
\( - 14{x^6} + \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\( - 14{x^6} + \frac{1}{{\sqrt x }}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
Ta có \(y' = {\left( { - 2{x^7} + \sqrt x } \right)^\prime } = - 14{x^6} + \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
\[y' = \frac{5}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]
\[y' = \frac{1}{2}.\frac{5}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]
\[y' = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]
\[y' = \frac{1}{2}.\frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có \[y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} }}.{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}.\frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\sqrt x }}{{1 - 2x}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{1}{{2\sqrt x {{(1 - 2x)}^2}}}\).
\(\frac{1}{{ - 4\sqrt x }}\).
\(\frac{{1 - 2x}}{{2\sqrt x {{(1 - 2x)}^2}}}\).
\(\frac{{1 + 2x}}{{2\sqrt x {{(1 - 2x)}^2}}}\).
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Ta có
\(y' = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }.\left( {1 - 2x} \right) - {{\left( {1 - 2x} \right)}^\prime }.\sqrt x }}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}.\left( {1 - 2x} \right) + 2\sqrt x }}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\)
\[ = \frac{{\frac{{1 - 2x + 4x}}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{1 + 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\].
Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{2x - 3}}{{5 + x}} - \sqrt {2x} \]là:
\[y' = \frac{{13}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}.\]
\[y' = \frac{{17}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt {2x} }}.\]
\[y' = \frac{{13}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt {2x} }}.\]
\[y' = \frac{{17}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Cách 1:Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2x - 3} \right)}^\prime }.\left( {5 + x} \right) - \left( {2x - 3} \right).{{\left( {5 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }}\)
\( = \frac{{2\left( {5 + x} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{2}{{2\sqrt {2x} }}.\)\( = \frac{{10 + 2x - 2x + 3}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }} = \frac{{13}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }}.\)
Cách 2: Ta có \(y' = \frac{{2.5 + 3.1}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }} = \frac{{13}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }}.\)
Có thể dùng công thức \({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).
Đạo hàm của hàm số\[y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x} \]là:
\[y' = 2\sqrt {{x^2} + x} - \frac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
\[y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{4{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
\[y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
\[y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{4{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có \(y' = {\left( {2x - 1} \right)^\prime }.\sqrt {{x^2} + x} + \left( {2x - 1} \right).{\left( {\sqrt {{x^2} + x} } \right)^\prime } = 2.\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)\( = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
\(\frac{{1 + x}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}.\)
\(\frac{{2(x + 1)}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}.\)
\(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
\(y' = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }.\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} + x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}.\)
\[y' = - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} } \right)}^2}}}.\]
\[y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} + 2\sqrt {x - 1} }}.\]
\[y' = \frac{1}{{4\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{4\sqrt {x - 1} }}.\]
\[y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có:\[y = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }}{2}\]
\( \Rightarrow y' = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} } \right)^\prime } = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) = \frac{1}{{4\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{4\sqrt {x - 1} }}.\)
Cho hàm số 
. Hàm số có đạo hàm 
bằng:
.
.
.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có 
. Suy ra 
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {1 - {x^2}} \)
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
\(\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
\(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^/} - {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} - \frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
\(\frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\)
\(\frac{3}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
\(\frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}.{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
\(y' = \left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
Đầu tiên sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)
\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).{\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/}\)
Tính \({\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 + \sqrt x } \right) - {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\frac{{ - 1}}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Vậy \(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).
\(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
\(\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
\(\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
\(y' = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^/} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^5}\).
\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x .x}}} \right)\)
\({\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
\(5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Bước đầu tiên sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}\)
\(y' = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^/} = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)\)
\( = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\).
\(\frac{{ - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
\(\frac{{3 - x}}{{\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
\(\frac{3}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
\(\frac{{3 - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Sử dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\) được: \(y' = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^/}\sqrt {1 - x} - {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^/}\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - x} }}.\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {1 - x} \right) + \left( {1 + x} \right)}}{{2\sqrt {1 - x} .\left( {1 - x} \right)}} = \frac{{3 - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } .} \)
\(\frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
\(\frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} \right].\)
\(\frac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
\(\frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 - \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Đầu tiên áp dụng \(\sqrt u \) với \(u = x + \sqrt {x + \sqrt x } \)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}{\left( {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.{{\left( {x + \sqrt x } \right)}^/}} \right)\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)
\(\frac{{ - x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
\(\frac{{x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
\(\frac{{ - x + 8}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
\(\frac{{ - x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
\(y' = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^/}\sqrt {{x^2} + 2} - {{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^/}.\left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^2}}} = \frac{{4.\sqrt {{x^2} + 2} - \frac{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}.\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{4\sqrt {{x^2} + 2} - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\left( {4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{4\left( {{x^2} + 2} \right) - x\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{ - x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \) (Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm).
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.{\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/}\)
Ta có: \({\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^/}\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^/}.{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\left( {x - 1} \right) - {x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Vậy \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} .\)
\(\frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)
\(\frac{{\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 2} }}.\)
\(\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 2} }}.\)
\(\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Đầu tiên áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = {\left( {x - 2} \right)^3}\)
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.{\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.3.{\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^3}\).
\(\frac{{ - 6{{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{\sqrt {1 - 2x} }}.\)
\(\frac{{ - {{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }}.\)
\(\frac{{ - {{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{\sqrt {1 - 2x} }}.\)
\(\frac{{ - 6{{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
Bước đầu tiên áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = 1 + \sqrt {1 - 2x} \)
\(y' = 3{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^2}.{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^/} = 3{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^2}.\frac{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }} = \frac{{ - 6{{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }}.\)
Tính đạo hàm của hàm số\(y = \sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \)
\(y' = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\)
\(y' = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\)
\(y' = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\)
\(y' = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(y' = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 2}}{{2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} }} = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\).
Cho hàm số \[y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 1\end{array} \right.\]. Hãy chọn câu sai:
\[f'\left( 1 \right) = 1\].
Hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\].
Hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\].
\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ge 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 1\end{array} \right..\]
Hướng dẫn giải::
Chọn A
Ta có: \[f(1) = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\].
Vậy hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]. C đúng.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 2\]
Vậy hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\] và \[ \Rightarrow y' = - 2\sin 2x \Rightarrow y'' = - 4\cos 2x \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4\]
Tính đạo hàm của hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1{\rm{ khi }}x \le 1\\\sqrt {x - 1} + 3{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x{\rm{khi }}x < 1\\\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{khi }}x < 1\\ - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{khi }}x < 1\\\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{khi }}x < 1\\\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Với \(x < 1\) ta có: \(f'(x) = 2x + 1\)
Với \(x > 1\) ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\)
Tại \(x = 1\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}} = + \infty \) suy ra hàm số không có đạo
hàm tại \(x = 1\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{ khi }}x < 1\\\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\).
Tìm \(a,b\) để các hàm số sau có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\rm{ }}\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ - {x^2} + ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = - 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 11\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = - 21\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm
Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \) hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b - 1\)
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow a + b - 1 = 1 \Leftrightarrow a + b = 2\)
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = 1;{\rm{ }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + ax + 1 - a}}{{x - 1}} = a - 2\)
Nên hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\a - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\).
Tính đạo hàm của hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ge 0\\{x^2} + ax + b{\rm{ khi }}x < 0\end{array} \right.\).
\(a = 0,b = 11\)
\(a = 10,b = 11\)
\(a = 20,b = 21\)
\(a = 0,b = 1\)
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Tương tự như ý 1. ĐS: \(a = 0,b = 1\).
