167 câu Trắc nghiệm Toán 11 Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức có đáp án (Mới nhất)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Có \(y = 10\)\( \Rightarrow \)\(y' = 0.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Có \(f(x) = ax + b\)\( \Rightarrow \)\(f'(x) = a.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Áp dụng công thức

Hướng dẫn giải:

Công thức .

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 6x + 2\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có \(y' = - {x^2} + 4x + 1\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có : \(y' = 5{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}{\left( {1 - {x^3}} \right)^\prime } = - 15{x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Sử dụng các công thức đạo hàm: \[{\left( c \right)^\prime } = 0\] với \[c = const\]; \[x' = 1\]; \[{\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'\] với \[k = const\].

\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\] với \[n\] là số nguyên dương ;\[{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\];

Ta có \[f'\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^\prime } = ax' + b' = a\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Sử dụng các công thức đạo hàm: \[x' = 1\]; \[{\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'\];\[{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\];\[{\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'\].

\[f'\left( x \right) = {\left( { - 2{x^2} + 3x} \right)^\prime } = - 2{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + 3x' = - 4x + 3\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ta có \[y' = 2.\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right){\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)^\prime } = 2\left( {{x^5} - 2{x^2}} \right)\left( {5{x^4} - 4x} \right) = 10{x^9} - 28{x^6} + 16{x^3}.\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Vì \[y' = 4{\left( {7x - 5} \right)^3}{\left( {7x - 5} \right)^\prime } = 28{\left( {7x - 5} \right)^3}.\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

\[f\left( x \right) = - 2{x^2} + 3x \Rightarrow f'\left( x \right) = - 4x + 3\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt \(u = {x^3} - 2{x^2}\)thì\(y = {u^{2016}},\)\({y'_u} = 2016.{u^{2015}},\)\({u'_x} = 3{x^2} - 4x.\)

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: \[{y'_x} = {y'_u}.{u'_x}\].

Vậy:\[y'\]\[ = \]\[2016.{({x^3} - 2{x^2})^2}^{015}.(3{x^2} - 4x).\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Cách 1: Áp dụng công thức \[{\left( {{u^n}} \right)^\prime }\]

Ta có \(y' = 2.\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right).{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^\prime } = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right).\left( {3{x^2} - 4x} \right)\)

\( = 6{x^5} - 8{x^4} - 12{x^4} + 16{x^3} = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\)

Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :

Ta có: \[y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^2} = {x^6} - 4{x^5} + 4{x^4}\]\[ \Rightarrow y' = 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

\(y' = 3{x^5} + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}\).

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Ta có: \[y = {\left( {3{x^2} - 1} \right)^2} \Rightarrow y' = 2\left( {3{x^2} - 1} \right){\left( {3{x^2} - 1} \right)^\prime } = 12x\left( {3{x^2} - 1} \right).\]

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D   

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \(y' = 3{({x^3} + 2x)^2}{\left( {{x^3} + 2x} \right)^'} = 3{({x^3} + 2x)^2}(3{x^2} + 2)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \(y' = 2x(3{x^3} + 2x) + ({x^2} - 1)(9{x^2} + 2) = 15{x^4} - 3{x^2} - 2\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

\(y = 10{x^4} - {x^3} - 3{x^2} \Rightarrow y' = 40{x^3} - 3{x^2} - 6x\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\(y' = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/} = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\) (với \(u = {x^7} + x\) )

\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right).{\left( {{x^7} + x} \right)^/} = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = 2{x^3} - 3{x^2} - 6x + 1\)

\(y' = 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right){\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)^/} = 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1} \right)\left( {6{x^2} - 6x + 6} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = 1 - 2{x^2}\)

\(y' = 3{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^/} = 3{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}\left( { - 4x} \right) = - 12x{\left( {1 - 2{x^2}} \right)^2}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = x - {x^2}\)

(y' = 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.{\left( {x - {x^2}} \right)^/} = 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}.\left( {1 - 2x} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = {x^2} + x + 1\)

\(y' = 4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^/} = 4{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^3}.\left( {2x + 1} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân.

\(y' = {\left[ {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^3}} \right]^/}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} + {\left[ {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}} \right]^/}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}.\)

Sau đó sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)

\(y' = 3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^/}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^/}{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}\)

\(y' = 3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right){\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}\)

\(y' = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left[ {3\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right]\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

\(y' = {\left( {1 + 2x} \right)^/}\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right){\left( {2 + 3{x^2}} \right)^/}\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right){\left( {3 - 4{x^3}} \right)^/}\)\(y' = 2\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {6x} \right)\left( {3 - 4{x^3}} \right) + \left( {1 + 2x} \right)\left( {2 + 3{x^2}} \right)\left( { - 12{x^2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có \(y' = \frac{{ad - cb}}{{{{(cx + d)}^2}}} = \frac{{\left| \begin{array}{l}a{\rm{     }}b\\c{\rm{     }}d\end{array} \right|}}{{{{(cx + d)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có \(y' = \frac{{(2x + 1)'(x + 2) - (x + 2)'(2x + 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {3x + 5} \right)}^\prime }.\left( {2x - 1} \right) - \left( {3x + 5} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{3\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {3x + 5} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 13}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

Có thể dùng công thức \({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

·Sử dụng công thức đạo hàm: \[{\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^'} = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\].

·Ta có : \[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^'}\]\[ = \frac{{2.1 + 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có : \(y' = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Cách 1: Ta có  

Cách 2: Ta có .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = - \frac{{3{{\left[ {{{(2x + 5)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(2x + 5)}^4}}} = - \frac{{12(2x + 5)}}{{{{(2x + 5)}^4}}} = - \frac{{12}}{{{{(2x + 5)}^3}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(y' = \frac{{(2x - 1)(x - 1) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = \frac{{(2ax + b)(a'x + b') - a'(a{x^2} + bx + c)}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\)

     \( = \frac{{aa'{x^2} + 2ab'x + bb' - a'c}}{{{{(a'x + b')}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{{(2x - 2)({x^2} - 1) - 2x({x^2} - 2x + 2)}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh .

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Lưu ý: áp dụng công thức đạo hàm nhanh .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có : \(y' = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {1 - x} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có \(y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 3} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

\( = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 2x - 3} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - {{\left( {x + 2} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Vì \(y' = - \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

\[y = \frac{1}{{2{x^2} + x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - {{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

\[f\left( x \right) = x + 1 - \frac{2}{{x - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\forall x \ne 1\]

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\] ta có:

\[\forall x \ne 1\], ta có: \[f(x) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\]\[ \Rightarrow \]\[f'(x) = \frac{{({x^2} + x - 1)'.(x - 1) - (x - 1)'.({x^2} + x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]

\[ \Rightarrow \]\[f'(x)\]\[ = \]\[\frac{{(2x + 1).(x - 1) - 1.({x^2} + x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ = \]\[\frac{{2{x^2} - 2x + x - 1 - {x^2} - x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ = \]\[\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ \Rightarrow \]\[(II)\]đúng.

Mặt khác:\[f'(x)\]\[ = \]\[\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\]\[ \Rightarrow \]\[(I)\]đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}.\] Có : \(y = \frac{{x(1 - 3x)}}{{x + 1}}\)\( = \)\(\frac{{ - 3{x^2} + x}}{{x + 1}}\), nên:

\(y' = \frac{{( - 3{x^2} + x)'.(x + 1) - (x + 1)'.( - 3{x^2} + x)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{( - 6x + 1).(x + 1) - 1.( - 3{x^2} + x)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \)\(y'\)\( = \)\(\frac{{ - 6{x^2} - 6x + x + 1 + 3{x^2} - x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Áp dụng công thức \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}.\]Ta có:

\(y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 7}}{{{x^2} + 3}}\)\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{( - 2{x^2} + x - 7)'.({x^2} + 3) - ({x^2} + 3)'.( - 2{x^2} + x - 7)}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{( - 4x + 1).({x^2} + 3) - 2x.( - 2{x^2} + x - 7)}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)\( = \)\(\frac{{ - 4{x^3} - 12x + {x^2} + 3 + 4{x^3} - 2{x^2} + 14x}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{({x^2} + 3)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^\prime }.\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right){{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{2\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right).\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 6x + 6 - 4{x^2} - 6x - 10x - 15}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{ - 2{x^2} - 10x - 9}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

\(y' = \frac{{ - (2x - 2)}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có \(y' = 2 - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : \[y = \frac{1}{{(x - 1)(x + 3)}} = \frac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}\]\( \Rightarrow y' = - \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^2}}} = - \frac{{2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}.\)

\(y' = \frac{{{{\left( {2{x^3} + 3x - 1} \right)}^'}\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^3} + 3x - 1} \right){{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^'}}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}}.\)

\(y' = \frac{{\left( {6{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) - \left( {2{x^3} + 3x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Vì \[y' = {\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}.\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ta có \(y' = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{{3{x^2}}}{{{x^6}}} + \frac{{2x}}{{{x^4}}} = - \frac{3}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Kiểm tra đáp án A \[y = \frac{{{x^3} - 1}}{x} = {x^2} - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\] đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = 2\left( {x + \frac{2}{{3{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{3{x^3}}}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = 3\left( {4 - \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right){\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Công thức 

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(y' = \frac{{3{x^2} - 6x}}{{2\sqrt {{x^3} - 3{x^2} + 2} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

.

Hướng dẫn giải:.

Chọn A

Ta có: \(f\left( x \right) = x\sqrt x = {x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}\sqrt x .\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

\(y' = {\left( {{x^3} - 5} \right)^\prime }\sqrt x + \left( {{x^3} - 5} \right){\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = 3{x^2}.\sqrt x + \left( {{x^3} - 5} \right)\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{7{x^3} - 5}}{{2\sqrt x }} = \frac{7}{2}\sqrt {{x^5}} - \frac{5}{{2\sqrt x }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

\(y' = \frac{{2x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} = \frac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Áp dụng công thức \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\], ta được:

\[y = \sqrt {3{x^2} - 2x + 1} \]\[ \Rightarrow \]\[y' = \frac{{(3{x^2} - 2x + 1)'}}{{2\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}\]\[ = \]\[\frac{{6x - 2}}{{2\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}\]\[ = \]\[\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {3{x^2} - 2x + 1} }}.\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Áp dụng công thức \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\], ta được:

\(y = \sqrt {2{x^2} + 5x - 4} \)\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{(2{x^2} + 5x - 4)'}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)\( = \)\(\frac{{4x + 5}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: \(y' = x'\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'x = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{({x^2} + 1)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.x\)

     \( = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

\[y = x.\sqrt {{x^2} - 2x} \Rightarrow y' = \sqrt {{x^2} - 2x} + x.\frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\[\left( {u.v} \right)' = u'.v + u.v'\]; \[\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\]; \[x' = 1\].

Ta có \[f'\left( x \right) = \left( {x\sqrt x } \right)' = x'.\sqrt x + x.\left( {\sqrt x } \right)' = \sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{1}{2}\sqrt x = \frac{3}{2}\sqrt x \].

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có \(y' = \sqrt {{x^2} + x + 1} + (x + 1)\frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \frac{{4{x^2} + 5x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\(y' = 2x + \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\(y' = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{({a^2} - {x^2})}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{({a^2} - {x^2})}^3}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\[y' = - \frac{{(x\sqrt x )'}}{{{x^3}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\(y' = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{1 + x}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \frac{{1 - 3x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có : \(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }\)\[ = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = - \frac{2}{{\sqrt x }}\frac{{1 - \sqrt x }}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và \[{\left( {\frac{1}{u}} \right)^'} = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\].

Ta có: \(f'\left( x \right)\)\( = {\left[ {{{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}} \right]^'}\)\( = 2.\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right).{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^'}\)\[ = 2.\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\]

\[ = 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]\[ = \left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]\[ = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Sử dụng công thức đạo hàm hợp: \[\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\] và \[{\left( {\frac{1}{u}} \right)^'} = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\].

·Ta có: \(f'\left( x \right)\)\[ = 3{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\]\[ = 3.\frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {x - 2 + \frac{1}{x}} \right).\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\]

\[ = \frac{3}{{2\sqrt x }}\left( {x - 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]\( = \frac{3}{2}\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\).    

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

\[y' = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)^\prime } = \frac{{ - {{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} \left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {{x^2} + 1} \right)}}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

\[\sqrt {x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\].

Lại có \[{\left( {\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^\prime } = \frac{{\sqrt {x - 1} - \frac{x}{{2\sqrt {x - 1} }}}}{{x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}\] nên cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ta có

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left( {1 - 2{x^2}} \right)^\prime }\sqrt {1 + 2{x^2}} + \left( {1 - 2{x^2}} \right){\left( {\sqrt {1 + 2{x^2}} } \right)^\prime } = - 4x\sqrt {1 + 2{x^2}} + \left( {1 - 2{x^2}} \right)\frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x\left( {1 + 2{x^2}} \right) + \left( {1 - 2{x^2}} \right).2x}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = \frac{{ - 2x - 12{x^3}}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = \frac{{ - 2x\left( {1 + 6{x^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}\end{array}\]

Suy ra

 \[\begin{array}{l}f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {1 - 2{x^2}} \right)\sqrt {1 + 2{x^2}} .\frac{{ - 2x\left( {1 + 6{x^2}} \right)}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} = - 2x\left( {1 - 2{x^2}} \right)\left( {1 + 6{x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2x\left( { - 12{x^4} + 4{x^2} + 1} \right) = 2x\left( {12{x^4} - 4{x^2} - 1} \right)\end{array}\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Ta có \(y' = {\left( { - 2{x^7} + \sqrt x } \right)^\prime } = - 14{x^6} + \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có \[y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} }}.{\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \right)^\prime } = \frac{1}{2}.\frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\]

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Ta có

\(y' = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }.\left( {1 - 2x} \right) - {{\left( {1 - 2x} \right)}^\prime }.\sqrt x }}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}.\left( {1 - 2x} \right) + 2\sqrt x }}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\)

\[ = \frac{{\frac{{1 - 2x + 4x}}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{1 + 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Cách 1:Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2x - 3} \right)}^\prime }.\left( {5 + x} \right) - \left( {2x - 3} \right).{{\left( {5 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }}\)

\( = \frac{{2\left( {5 + x} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{2}{{2\sqrt {2x} }}.\)\( = \frac{{10 + 2x - 2x + 3}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }} = \frac{{13}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }}.\)

Cách 2: Ta có \(y' = \frac{{2.5 + 3.1}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }} = \frac{{13}}{{{{\left( {5 + x} \right)}^2}}} - \frac{x}{{\sqrt {2x} }}.\)

Có thể dùng công thức \({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{a.d - b.c}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có \(y' = {\left( {2x - 1} \right)^\prime }.\sqrt {{x^2} + x} + \left( {2x - 1} \right).{\left( {\sqrt {{x^2} + x} } \right)^\prime } = 2.\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)\( = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

\(y' = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }.\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x - 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} + x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^3}}} = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:\[y = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }}{2}\]

\( \Rightarrow y' = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} } \right)^\prime } = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) = \frac{1}{{4\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{4\sqrt {x - 1} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có . Suy ra  

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

\(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^/} - {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} - \frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\)

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}.{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Đầu tiên sử dụng công thức \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\) với \(u = \frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)

\(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).{\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/}\)

Tính \({\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 + \sqrt x } \right) - {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^/}\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)

       \( = \frac{{\frac{{ - 1}}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)

Vậy \(y' = 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

\(y' = {\left( {\sqrt {x - 1} } \right)^/} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 1} \left( {x - 1} \right)}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Bước đầu tiên sử dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}\)

\(y' = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^/} = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^/}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}} \right)\)

 \( = 5{\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt x .x}}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Sử dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^/}\) được: \(y' = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^/}\sqrt {1 - x} - {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^/}\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - x} }}.\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)}}\)\( = \frac{{2\left( {1 - x} \right) + \left( {1 + x} \right)}}{{2\sqrt {1 - x} .\left( {1 - x} \right)}} = \frac{{3 - x}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Đầu tiên áp dụng \(\sqrt u \) với \(u = x + \sqrt {x + \sqrt x } \)

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}{\left( {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.{{\left( {x + \sqrt x } \right)}^/}} \right)\)

 \( = \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}.\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}.\left( {1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right].\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

\(y' = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^/}\sqrt {{x^2} + 2} - {{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^/}.\left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^2}}} = \frac{{4.\sqrt {{x^2} + 2} - \frac{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}.\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt {{x^2} + 2} - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\left( {4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{4\left( {{x^2} + 2} \right) - x\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{ - x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.{\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/}\)

Ta có: \({\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^/} = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^/}\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^/}.{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\left( {x - 1} \right) - {x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Vậy \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} }}.\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Đầu tiên áp dụng \({\left( {\sqrt u } \right)^/}\) với \(u = {\left( {x - 2} \right)^3}\)

\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.{\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} \right)^/} = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^3}} }}.3.{\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{2\sqrt {x - 2} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Bước đầu tiên áp dụng \({\left( {{u^\alpha }} \right)^/}\)với \(u = 1 + \sqrt {1 - 2x} \)

\(y' = 3{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^2}.{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^/} = 3{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)^2}.\frac{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^/}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }} = \frac{{ - 6{{\left( {1 + \sqrt {1 - 2x} } \right)}^2}}}{{2\sqrt {1 - 2x} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(y' = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 2}}{{2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} }} = \frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt {({x^2} + 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 2x - 1} \right)} }}\).

Hướng dẫn giải::

Chọn A

Ta có: \[f(1) = 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\].

Vậy hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]. C đúng.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 2\]

Vậy hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\] và \[ \Rightarrow y' = - 2\sin 2x \Rightarrow y'' = - 4\cos 2x \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4\]

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Với \(x < 1\) ta có: \(f'(x) = 2x + 1\)

Với \(x > 1\) ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\)

Tại \(x = 1\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}} = + \infty \) suy ra hàm số không có đạo

hàm tại \(x = 1\)

Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{   khi }}x < 1\\\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \) hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b - 1\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow a + b - 1 = 1 \Leftrightarrow a + b = 2\)

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = 1;{\rm{ }}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + ax + 1 - a}}{{x - 1}} = a - 2\)

Nên hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\a - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Tương tự như ý 1. ĐS: \(a = 0,b = 1\).