151 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

Tập xác định $D=ℝ$

Ta có   $y^{\text{'}}=3x^2+6x-9$

Cho $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$.

Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai.

Chọn C.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có  $y^{\text{'}}=-4x^3+4x$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên của hàm số $y=-x^4+2x^2-4$ như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$ .

Chọn A.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}>0,\forall x\in D$ nên hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.

Chọn D.

Tập xác định .$D=ℝ$

Ta có $y=-x^3-2x\Rightarrow y^{\text{'}}=-3x^2-2<0,\forall x\in ℝ$

Vậy hàm số $y=-x^3-2x$ nghịch biến trên R.

Chọn A.

Tập xác định  $D=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[5;+\infty \right)$

Ta có  $y^{\text{'}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+5}}>0,\forall x\in \left(5;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(5;+\infty \right)$.

Chọn A.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{0\right\}$.

Ta có   $y^{\text{'}}=\frac{x^2-4}{x^2}\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff \frac{x^2-4}{x^2}=0\iff x=\pm 2$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

Chọn D. 

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+8-\sin x=\left(3x^2+2x+1\right)+\left(7-\sin x\right)>0,\forall x\in ℝ$ Suy ra $f\left(x\right)$ đồng biến trên R. Do đó $a<b\Rightarrow f\left(a\right)<f\left(b\right)$ .

Chọn C.

Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng xét dấu

Hàm số$f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(1;2\right)$.

Chọn B.

Vì $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$, $\forall x\in \left(1;2\right)$ nên $f\left(x\right)$ là hàm hằng trên khoảng $\left(1;2\right)$.

Trên các khoảng $\left(0;2\right),\left(1;3\right),\left(0;3\right)$ hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa $f\left(x\right)\ge 0$ nhưng $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$,  $\forall x\in \left(1;2\right)$ nên $f\left(x\right)$ không đồng biến trên các khoảng này.

Chọn B.

Xét hàm số $y=-x^3+6x^2-12x$

$y^{\text{'}}=-3x^2+12x-12=-3{\left(x-2\right)}^2\le 0,\forall x\in ℝ$, thỏa mãn.

Xét hàm số $y=x^3-6x^2+12x$

$y^{\text{'}}=3x^2-12x+12=3{\left(x-2\right)}^2\ge 0$,$\forall x\in ℝ$ , không thoả mãn.

Xét hàm số $y=-x^3+4x^2-4x$

$y^{\text{'}}=-3x^2+8x-4,y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ x=2\end{array}\right.$ không thoả mãn.

Xét hàm số $y=-x^2+4x-4$

$y^{\text{'}}=-2x+4,y^{\text{'}}=0\iff x=2$ là nghiệm duy nhất.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;2\right)$, nghịch biến trên  $\left(2;+\infty \right)$ không thoả mãn.

Chọn A.         

- Xét đáp án A, trên khoảng $\left(-1;1\right)\subset \left(-2;2\right)$ đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó.

- Xét đáp án B, trên khoảng $\left(0;1\right)\subset \left(0;2\right)$ đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó.

- Xét đáp án C, trên khoảng $\left(-1;1\right)$ đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

- Xét đáp án D, trên khoảng $\left(1;2\right)$ đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn.

Chọn D.

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng $\left(-1;+\infty \right)$ đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;+\infty \right)$.

Chọn D.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có  $y^{\text{'}}=3x^2-2x+3m$

Hàm số trên đồng biến trên $ℝ\iff 3x^2-2x+3m\ge 0$ với mọi $x\in ℝ$.

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}\le 0\\ 3>0\end{array}\right.\iff 1-9m\le 0\iff m\ge \frac{1}{9}$

Do m là số nguyên thuộc đoạn $\left[-20;2\right]$ nên có $m=1;m=2$.

Chọn B.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có  $y^{\text{'}}=3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff y^{\text{'}}\le 0$ với $\forall x\in ℝ$.

Với $m=1$ ta có $y^{\text{'}}=-1<0$ với $\forall x\in ℝ$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Với $m=-1$ ta có $y^{\text{'}}=-4x-1\le 0\iff x\ge -\frac{1}{4}\Rightarrow m=-1$ không thỏa mãn.

• Với $m\ne \pm 1$ ta có $y^{\text{'}}\le 0$ với $\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-1<0\\ {\Delta }^{\text{'}}=4m^2-2m-2\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -\frac{1}{2}\le m\le 1\end{array}\right.$

  $\iff -\frac{1}{2}\le m<1$                                                         

Từ các trường hợp ta được $-\frac{1}{2}\le m\le 1$ . Do  $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{0;1\right\}$

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn D.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$

Ta có   $y=\frac{mx+1}{x+1}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{m-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Xét $m=1$ , hàm số trở thành $y=1$. (hàm hằng)

Xét $m\ne 1$, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

$y^{\text{'}}>0,\forall x\ne -1\iff m-1>0\iff m>1$.

Chọn C.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-m\right\}$

Ta có  $y^{\text{'}}=\frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  $\iff y^{\text{'}}=\frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}<0$

                                                                       $\iff m^2-1<0\iff -1<m<1$ .

Chọn B.

Tập xác định $D=ℝ$.

Đặt $g\left(x\right)=x^3-2mx+m^2-m-6$

Để hàm số không đổi dấu khi đi qua x=0 thì  $g\left(0\right)=0\iff m^2-m-6=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=3\end{array}\right.$

Với $m=-2$ thì $y=x^4\left(x^2+4\right)>0$,   $\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow m=-2$ là một giá trị cần tìm.

Với $m=3$ thì $y=x^4\left(x^2-6\right)$.

Tập xác định .

Ta có  $y^{\text{'}}=9x^8+5\left(3m^2-m\right)x^4+4\left(m^3-3m^2+2m\right)x^3$

 $\Rightarrow y^{\text{'}}=x^3\left[9x^5+5\left(3m^2-m\right)x+4\left(m^3-3m^2+2m\right)\right]=x^3.g\left(x\right)$

với $g\left(x\right)=9x^5+5\left(3m^2-m\right)x+4\left(m^3-3m^2+2m\right)$.

Nếu  $g\left(0\right)\ne 0\iff \left[\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 2\\ m\ne 1\end{array}\right.$

thì $y^{\text{'}}$ sẽ đổi dấu khi đi qua điểm $x=0\Rightarrow$ hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm số đồng biến trên R thì điều kiện cần là  $g\left(0\right)=0$

 $\iff m\left(m^2-3m+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\\ m=2\end{array}\right.$

Thử lại:

+ Với $m=0$ có $y^{\text{'}}=9x^8\ge 0$, $\forall x\in ℝ$ nên hàm số đồng biến trên R.

+ Với m=1 có $y^{\text{'}}=x^4\left(9x^4+10\right)\ge 0$, $\forall x\in ℝ$ nên hàm số đồng biến trên R.

+ Với m=2 có $y^{\text{'}}=x^4\left(9x^4+50\right)\ge 0$, $\forall x\in ℝ$ nên hàm số đồng biến trên R.

Vậy với $\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\\ m=2\end{array}\right.$ thì hàm số đã cho đồng biến trên R.

Chọn A.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có  $y^{\text{'}}=\cos x-\sin x+m$

Hàm đồng biến trên  $ℝ\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in ℝ\iff \cos x-\sin x+m\ge 0,\forall x\in ℝ$

 $\iff \sin x-\cos x\le m,\forall x\in ℝ$

Xét hàm $f\left(x\right)=\sin x-\cos x$ trên  R

Ta có $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\Rightarrow -\sqrt{2}\le f\left(x\right)\le \sqrt{2},\forall x\in ℝ\Rightarrow \underset{ℝ}{max}f\left(x\right)=\sqrt{2}$

Do đó  $f\left(x\right)\le m,\forall x\in ℝ\iff \underset{ℝ}{max}f\left(x\right)\le m\iff m\ge \sqrt{2}$

Chọn C.