164 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số có đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-3$

$y^{\text{'}}=0\iff 3x^2=3\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right.$

Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị $x=-1$

Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\underset{\left(0;2\right)}{\min }y=-1$ đạt tại $x=1$

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=ℝ$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x^5+2x^4-x+1=-\left(x-1\right)\left(2x^4+1\right)$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -\left(x-1\right)\left(2x^4+1\right)=0\iff x=1$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\underset{ℝ}{\max }f\left(x\right)=\frac{47}{30}$ tại $x=1$

Chọn B

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8x^2-12x-8}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 8x^2-12x-8=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\notin \left(-\infty ;1\right)\\ x=-\frac{1}{2}\in \left(-\infty ;1\right)\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\underset{\left(-\infty ;1\right)}{\max }f\left(x\right)=8\Rightarrow P=\frac{6-8a}{a^2+1}=-\frac{58}{65}$

Chọn C

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=ℝ$

Ta có $y=f\left(x\right)=1-\frac{2x}{x^2+x+1}\Rightarrow y^{\text{'}}=-\frac{2\left(x^2+x+1\right)-2x\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{2x^2-2}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

Do đó $y^{\text{'}}=0\iff 2x^2-2=0\iff x=\pm 1$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\underset{ℝ}{\min }f\left(x\right)=\frac{1}{3}$ tại $x=1$

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]

Ta có $y^{\text{'}}=0\iff -3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[0;3\right]\\ x=2\in \left[0;3\right]\end{array}\right.$

Khi đó $y\left(0\right)=2,y\left(2\right)=6,y\left(3\right)=2$

Vậy $M=6;m=2\Rightarrow M+m=8$

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]

Ta có $y^{\text{'}}=-4x^3+6x-2x\left(2x^2-3\right)\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;2\right]\\ x=\frac{\sqrt{6}}{2}\in \left[-1;2\right]\\ x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin \left[-1;2\right]\end{array}\right.$

Vì $y\left(0\right)=1;y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{13}{4};y\left(2\right)=-3;y\left(-1\right)=3$ nên $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=\frac{13}{4}$

Chọn D

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall x\ne 1$, do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;1\right);\left(1;+\infty \right)\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên [2; 3].

Do đó $\underset{\left[2;3\right]}{\min }y=y\left(3\right)=\frac{5}{2};\underset{\left[2;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=4$

Vậy ${\left(\underset{\left[2;3\right]}{\min }y\right)}^2+{\left(\underset{\left[2;3\right]}{\max }y\right)}^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^2+4^2=\frac{89}{4}$

Chọn D

Hướng dẫn giải

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-8x}{x+1}$ liên tục trên [1; 3]

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\left(2x-8\right)\left(x+1\right)-x^2+8x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{{\left(x+1\right)}^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x^2+2x-8=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\in \left[1;3\right]\\ x=-4\notin \left[1;3\right]\end{array}\right.$

Ta thấy $y\left(1\right)=\frac{-7}{2};y\left(3\right)=\frac{-15}{4};y\left(2\right)=-4$

Vậy $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\frac{-7}{2}$

Chọn B

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=\left[-2;2\right]$

Ta có $y^{\text{'}}=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}},x\in \left(-2;2\right)$

$y^{\text{'}}=0\iff \sqrt{4-x^2}=x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x=\pm 2\in \left(-2;2\right)\end{array}\right.$
$y\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2};y\left(-\sqrt{2}\right)=0;y\left(2\right)=2;y\left(-2\right)=-2$

Vậy $M=2\sqrt{2},m=-2\Rightarrow P=2\sqrt{2}-2=2\left(\sqrt{2}-1\right)$

Chọn A

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên $D=\left[0;5\right]$

Ta có $y^{\text{'}}=0\iff 6x^2-6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in D\\ x=1\in D\end{array}\right.$

$f\left(0\right)=m;f\left(1\right)=m-1;f\left(5\right)=175+m$

Dễ thấy $f\left(5\right)>f\left(0\right)>f\left(1\right),\forall m\in ℝ$ nên $\underset{\left[0;5\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=m-1$

Theo đề bài $\underset{\left[0;5\right]}{\min }f\left(x\right)=5\iff m-1=5\iff m=6$

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-\left(m^2+m+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall m$

$\Rightarrow A=y\left(3\right)=\frac{m^2+m+3}{2};B=y\left(2\right)=m^2+m+2$

Do đó $A+B=\frac{13}{2}\iff \frac{m^2+m+3}{2}+m^2+m+2=\frac{13}{2}$

$\iff 3m^2+m-6=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$

Chọn A

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+6mx+3\left(2m-1\right)=3\left[x^2+2mx+2m-1\right]$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1-2m\end{array}\right.$

Vì $y\left(-2\right)=-1;y\left(0\right)=1$ và theo bài ra $\underset{\left[-2;0\right]}{\max }y=6$ nên giá trị lớn nhất không đạt tại $x=-2;x=0$. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $y\left(-1\right)$  hoặc $y\left(1-2m\right)$.

Ta có $y\left(-1\right)=-3m+3,y\left(1-2m\right)={\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)+1$

- Trường hợp 1: Xét $-3m+3=6\iff m=-1$

Thử lại với $m=-1$, ta có $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-2;0\right]\\ x=3\notin \left[-2;0\right]\end{array}\right.$ nên $m=-1$ là một giá trị cần tìm.

- Trường hợp 2: Xét $\left\{\begin{array}{l}{\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)+1=6\\ -2<1-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)=5\left(1\right)\\ \frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vì $\frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}\Rightarrow m-2<0\Rightarrow {\left(1-2m\right)}^2\left(m-2\right)<0$ nên (1) vô nghiệm

Chọn D

Hướng dẫn giải

Xét hàm $f\left(x\right)=x^2-2x-2\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=2x-2$

              $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x-2=0\Rightarrow x=1$

Suy ra $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=f\left(-1\right)=1;\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=f\left(1\right)=-3$

Do đó giá trị lớn nhất $y=\left|-3\right|=3\Rightarrow a=3$ tại $x=1$ và giá trị nhỏ nhất $y=0\Rightarrow b=0$ tại $x=1-\sqrt{3}$

 Vậy giá trị $a+b=3+0=3$

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên của hàm số $y=x^3-9x^2+24x-68$ trên $\left[-1;4\right]$

Suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=\left|x^3-9x^2+24x-68\right|$ trên đoạn $\left[-1;4\right]$ là

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|x^3-9x^2+24x-68\right|$ trên đoạn $\left[-1;4\right]$ bằng 48.

Chọn A

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+mx+m}{x+1}$

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\notin \left[1;2\right]\\ x=-2\notin \left[1;2\right]\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30$ trên đoạn [0; 2]

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=x^3-28x+48\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-6\notin \left[0;2\right]\\ x=2\in \left[0;2\right]\\ x=4\notin \left[0;2\right]\end{array}\right.$

Để $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|g\left(x\right)\right|\le 30\iff \left\{\begin{array}{l}\left|g\left(0\right)\right|\le 30\\ \left|g\left(2\right)\right|\le 30\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|m-30\right|\le 30\\ \left|m+14\right|\le 30\end{array}\right.\iff 0\le m\le 16$

$\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;\mathrm{...};15;16\right\}$

Tổng các phần tử của S là 136.

Chọn D

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}+x-\frac{1}{2}$ liên tục trên tập xác định [-2; 2]

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1=0,x\in \left(-2;2\right)$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 4-x^2=x^2\end{array}\right.\iff x=\sqrt{2}\in \left(-2;2\right)$

$g\left(-2\right)=-\frac{5}{2};g\left(\sqrt{2}\right)=\frac{-1+4\sqrt{2}}{2};g\left(2\right)=\frac{3}{2}$

Do đó $\underset{\left[-2;2\right]}{\max }\left|g\left(x\right)\right|=\frac{5}{2}$ khi $x=-2$, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{5}{2}+m$

Theo bài ra $\frac{5}{2}+m=18\iff m=15,5$ . Vậy $15<m<20$

Chọn D

Hướng dẫn giải

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2x$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2;f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=-1\in \left[-2;1\right]$

$f\left(-2\right)=0;f\left(1\right)=3;f\left(-1\right)=-1$

Do đó $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }f\left(x\right)=3;\underset{\left[-2;1\right]}{\min }f\left(x\right)=-1$

Suy ra $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=\max \left\{\left|m-5\right|;\left|m-1\right|\right\}$

$\ge \frac{\left|m-5\right|+\left|m-1\right|}{2}\ge \frac{\left|5-m+m-1\right|}{2}=2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\left|m-5\right|=\left|m-1\right|\\ \left(5-m\right)\left(m-1\right)\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow m=3$ (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=\left[0;2\right]$

Đặt $f\left(x\right)=\sqrt{2x-x^2},x\in D$. 

Ta có$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=1$

$f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=0;f\left(1\right)=1$

Suy ra $P=\underset{D}{\max }y=\max \left\{\left|3m-4\right|;\left|3m-5\right|\right\}\ge \frac{\left|3m-4\right|+\left|3m-5\right|}{2}$

$\ge \frac{\left|5-3m+3m-4\right|}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}\left|3m-4\right|=\left|3m-5\right|\\ \left(5-3m\right)\left(3m-4\right)\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ (thỏa mãn)

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi $m=\frac{3}{2}$

Chọn A

Hướng dẫn giải

Ta có $\min f\left(x,m\right)\le f\left(0,m\right)=5,\forall m\in ℝ$

Xét $m=2$ ta có $f\left(x,2\right)=\left|x^2-2x+5\right|+2x\ge x^2-2x+5+2x\ge 5,\forall x\in ℝ$

Dấu bằng xảy ra tại $x=0$. Suy ra $\min f\left(x,2\right)=5,\forall x\in ℝ$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}\min f\left(x,m\right)\le 5,\forall m\in ℝ\\ \min f\left(x,2\right)=5,\forall x\in ℝ\end{array}\right.\Rightarrow \max \left(\min f\left(x,m\right)\right)=5$, đạt được khi $m=2$

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Phương trình $x^2-4x-7=0$ luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2$

Trường hợp 1: Nếu $m\ge 0$

Ta có $\min f\left(x,m\right)\le f\left(x,m\right)=m{x}_1\le 0,\forall m\in ℝ$

Xét $m=0$ ta có $f\left(x,0\right)=\left|x^2-4x-7\right|\ge 0,\forall x\in ℝ$. Dấu bằng xảy ra tại $x=x_{1,2}$.

Suy ra $\min f\left(x,0\right)=0,\forall x\in ℝ$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}\min f\left(x,m\right)\le 0,\forall m\in ℝ\\ \min f\left(x,0\right)=0,\forall x\in ℝ\end{array}\right.\Rightarrow \max \left(\min f\left(x,m\right)\right)=0$ khi $m=0$

Trường hợp 2: Nếu $m<0$

Ta có $\min f\left(x,m\right)\le f\left(x_2,m\right)=m{x}_2<0,\forall m\in ℝ\Rightarrow \max \left(\min f\left(x,m\right)\right)<0$

So sánh cả hai trường hợp thì $\max \left(\min f\left(x,m\right)\right)=0$ khi $m=0$

Chọn C