122 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án

Trong khoảng $(a;b)$, đồ thị $f\text{'}\left(\text{x}\right)$  cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực trị trên $(a;b)$ .

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)$   như sau

Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)$  tại tối đa 2 điểm nên $f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=0$  có tối đa 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số $y=f\left(\text{x}\right)$ có tối đa 2 điểm cực trị.

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:$f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=(\text{x}-2){(\text{x}-\text{1})}^3\text{x}(\text{x}+1)(\text{x}+2)$ và $f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=0$  có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị.

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left[f\left({\text{x}}^2\right)\right]}^{\text{'}}=2{\text{x}}^2)=2{\text{x}}^5({\text{x}}^2-1){({\text{x}}^2-4)}^2$

Phương trình ${\left[f\left({\text{x}}^2\right)\right]}^{\text{'}}=0$  có 3 nghiệm bội lẻ là $\text{x}=0,\text{x}=\pm 1$  nên số điểm cực trị của hàm số $y=f\left({\text{x}}^2\right)$  là 3.

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Với $\forall \text{x}>0$  ta có: $f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)\ge 3\text{x}+\frac{1}{{\text{x}}^2}-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}\text{x}+\frac{3}{2}\text{x}+\frac{1}{{\text{x}}^2}-\frac{7}{2}\ge 3\sqrt[3]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}-\frac{7}{2}>0$ .

Vậy hàm số không có cực trị trên $(0;+\infty )$ .

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị, phương trình $g\left(\text{x}\right)=0$  có 3 nghiệm bội lẻ là $\text{x}=0,\text{x}=1,\text{x}=2$  và một nghiệm bội chẵn là $\text{x}=-1$ .

Tóm lại, phương trình $y\text{'}=0$  chỉ có $\text{x}=-1,\text{x}=0,\text{x}=2$  và x=3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải

Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là $\text{x}=-1,\text{x}=2,\text{x}=3$.

Xét tại điểm x=0, đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0, nhưng theo đề bài, hàm số liên tục trên R nên f(0)  xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị.

Chọn D.

Hàm số có 3 điểm cực trị là $\text{x}=-2,\text{x}=2,\text{x}=3$  (hàm số không đạt cực trị tại điểm $\text{x}=1$  vì hàm số không xác định tại điểm $\text{x}=1$).

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy phương trình $f^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=0$  có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn C.

Ta có $y^{\text{'}}=x^2-2mx+m^2-4\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}=2x-2m.$

Hàm số đạt cực đại tại x=3   thì$y^{\text{'}}\left(3\right)=0\iff m^2-6m+5=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=5\end{array}\right..$

·  Với $m=1,{y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(3\right)=2.3-2.1=4>0$ suy ra $x=3$ là điểm cực tiểu.

·  Với $m=5,{y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(3\right)=2.3-2.5=-4<0$  suy ra $x=3$  là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2x-5\Rightarrow {y^{\text{'}}}^{\text{'}}=6ax+2.$

+) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=0\iff a=1.$

+) Thay $a=1$ ta thấy ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=6+2=8>0$  nên $x=1$  là điểm cực tiểu.

+) Mặt khác ta có: $y\left(1\right)=2\iff 1+1-5+b=2\iff b=5.$

Vậy $H=4.1-5=-1.$

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm  $x=0,f\left(0\right)=0$và đạt cực đại tại điểm $x=1,f\left(1\right)=1$  nên ta có hệ phương trình

Chọn C.

Hàm số $y=x^3+mx-1$  có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt hay $3x^2+m=0$  có hai nghiệm phân biệt. 

Do đó $m<0.$

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=m{x}^2+2x+1.$

+) Với $m=0$, hàm số trở thành $y=x^2+x+7$, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.

Vậy $m=0$  thỏa mãn yêu cầu.

+) Xét$m\ne 0$ , để hàm số có cực trị thì $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0$

$\iff 1-m>0\iff m<1$.

Hợp cả hai trưởng hợp, khi $m<1$  thì hàm số có cực trị.

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y= 3m{x}^2-6m-m+1$

+) Với $m=0$ , hàm số trở thành $y=x+2$  là hàm đồng biến trên  $ℝ$nên không có cực trị, nhận$m=0$ .

+) Xét $m\ne 0$, hàm số không có cực trị khi $y^{\text{'}}=0$  có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

$\iff {\Delta }^{\text{'}}=9m^2-3m\left(1-m\right)\le 0\iff 12m^2-3m\le 0\iff 0<m\le \frac{1}{4}.$

Hợp cả hai trường hợp, $0\le m\le \frac{1}{4}$ khi thì hàm số không có cực trị.

Chọn C.

Hướng dẫn giải

$y^{\text{'}}=\left(m-1\right)x^2+2\left(m^2-4\right)x+\left(m^2-9\right).$

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm trái dấu

$\iff \left(m-1\right)\left(m^2-9\right)<0\iff \left[\begin{array}{l}m<-3\\ 1<m<3\end{array}\right..$

Vậy$m\in \left\{-20;-19;\mathrm{...};-4;2\right\}$ , có 18 giá trị của m.

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=3m{x}^2+2m\left(m-1\right)x-\left(m+1\right).$

Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau  $\iff y^{\text{'}}=0$có hai nghiệm đối nhau

$\iff \left\{\begin{array}{l}3m\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}>0\\ S=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2{\left(m-1\right)}^2+3m\left(m+1\right)>0\iff m=1\\ m-1=0\end{array}\right..$

Chọn C.   

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=m{x}^2+2\left(m-1\right)x+m+2.$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương $\iff y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt dương

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2-m\left(m+2\right)>0\\ \frac{-\left(m-1\right)}{m}>0\\ \frac{m+2}{m}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{4}\\ 0<m<1\iff 0<m<\frac{1}{4}\\ \left[\begin{array}{l}m>0\\ m<-2\end{array}\right.\end{array}\right..$

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2+2(1-2m)x+2-m$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff {\Delta }^{\text{'}}={(1-2m)}^2-3(2-m)>0\iff 4m^2-m-5>0\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>\frac{5}{4}\end{array}\right..$

Khi đó, giả sử $x_1$  , $x_2$ (với $x_1<x_2$ ) là hai nghiệm của phương trình $y^{\text{'}}=0$.

Bảng biến thiên

Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:$x_2<1\iff \frac{2m-1+\sqrt{4m^2-m-5}}{3}<1\iff \sqrt{4m^2-m-5}<4-2m$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4-2m\ge 0\\ 4m^2-m-5<4m^2-16m+16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 2\\ m<\frac{7}{5}\end{array}\right.\iff m<\frac{7}{5}.$

Kết hợp điều kiện có cực trị thì $m<-1$  và $\frac{5}{4}<m<\frac{7}{5}$  thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2+2x+m$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}=1-3m>0\iff m<\frac{1}{3}\left(1\right).$

Khi đó, giả sử $x_1$ , $x_2$ (với $x_1<x_2$ ) là hai nghiệm của phương trình  $y^{\text{'}}=0$thì$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2}{3}\\ x_1.x_2=\frac{m}{3}\end{array}\right..$

Bảng biến thiên

Do $x_1+x_2=-\frac{2}{3}<0$ nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3+x^2+mx-1$  nằm bên phải trục tung $\iff x_1.x_2<0\iff \frac{m}{3}<0\iff m<0$ (2) .

Từ (1), (2) ta có $m<0$

Chọn A. 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2(m-2)x+(4m-8)$ .

Yêu cầu bài toán trở thành $(x_1+2)(x_2+2)<0\iff (4m-8)+4(m-2)+4<0\iff m<\frac{3}{2}$

Chọn D.

Ta có: $y^{\text{'}}=2x^2-2mx-2(3m^2-1)$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt hay

${\Delta }^{\text{'}}=m^2+4(3m^2-1)>0\iff 13m^2-4>0$(*).

Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=1-3m^2\end{array}\right.$

Suy ra $x_1.x_2+2(x_1+x_2)=1\Rightarrow 1-3m^2+2m=1.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Thử lại với điều kiện (*), ta nhận được $m=\frac{2}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-2(m+2)x+m-1$ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt

$\iff {\Delta }^{\text{'}}=m^2+m+7>0$ (luôn đúng).

Theo định lí Vi-ét ta có:

$x_1.x_2=\frac{m-1}{3}\Rightarrow \left|x_1.x_2\right|=1\iff \left|m-1\right|=3\iff \left[\begin{array}{l}m=4\\ m=-2\end{array}\right.$.

Vậy tổng cần tìm bằng $4+(-2)=2$ .

Chọn A.