15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án
15 câu hỏi
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ AC→ và BD→.
89°;
92°;
109°;
91°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tam giác ACD vuông tại D: cosCAD^=ADAC.
Tam giác ABC vuông tại B: cosCAD^=ADAC.
Ta có AC→.BD→=AC→.AD→−AB→=AC→.AD→−AC→.AB→.
=AC.AD.cosCAD^−AC.AB.cosCAB^
=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC
=AD2−AB2=1−2=−1.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = 2 và AC = BD.
Tam giác ACD vuông tại D: AC2=AD2+CD2 (Định lý Pytago)
⇔AC2=12+22=3
⇒AC=3.
Do đó BD = AC = 3.
Lại có: AC→.BD→=AC.BD.cosAC→, BD→
⇔−1=3.3.cosAC→, BD→
⇔cosAC→, BD→=−13.
⇒AC→, BD→≈109°28'.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính AH→, BA→.
30°;
60°;
120°;
150°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vẽ AE→=BA→.
Khi đó ta có AH→, BA→=AH→, AE→=HAE^=α.
Tam giác ABC đều có AH là đường cao.
Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều, suy ra BAC^=60°.
Do đó HAB^=12BAC^=12.60°=30°.
Ta có: HAE^+HAB^=180° (hai góc kề bù)
⇔HAE^=180°−30°=150°.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0→. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a→.b→=a→.b→
a→.b→=0
a→.b→=-1
a→.b→=-a→.b→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→, b→.
Vì a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0→ nên a→, b→=0°, suy ra cosa→, b→=1.
Ta suy ra a→.b→=a→.b→
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng OA→+OB→.AB→=0 là:
Tam giác OAB đều;
Tam giác OAB cân tại O;
Tam giác OAB vuông tại O;
Tam giác OAB vuông cân tại O.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có OA→+OB→.AB→=0⇔OA→+OB→.OB→−OA→=0
⇔OB→2−OA→2=0
⇔OB2−OA2=0
⇔ OB = OA.
Do đó tam giác OAB cân tại O.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=3, b→=2 và a→.b→=−3. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
α = 30°;
α = 45°;
α = 60°;
α = 120°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→, b→
⇔cosa→, b→=a→.b→a→.b→=−33.2=−12
⇒a→, b→=120°.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
MN→NP→+PQ→=MN→.NP→+MN→.PQ→
MP→.MN→=−MN→.MP→
MN→.PQ→=PQ→.MN→
MN→−PQ→MN→+PQ→=MN2−PQ2
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
Đáp án B sai. Sửa lại: MP→.MN→=MN→.MP→.
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.
Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính CA→.CB→.
CA→.CB→=13
CA→.CB→=15
CA→.CB→=17
CA→.CB→=19
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.
Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
Suy ra ACB^=0°. Do đó CA→, CB→=ACB^=0°.
Khi đó CA→.CB→=CA.CB.cosCA→, CB→=3.5.cos0°=15.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P=AC→.CD→+CA→.
P = – 1;
P = 3a2;
P = – 3a2;
P = 2a2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pytago)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒AC=a2.
Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên ACD^=45°.
Ta có P=AC→.CD→+CA→=−CA→.CD→+CA→=−CA→.CD→−CA→2
=−CA.CD.cosCA→, CD→−CA2=−a2.a.cos45°−2a2=−3a2.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB→, DC→+AD→, CB→+CO→, DC→.
45°;
405°;
315°;
225°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có AB→, DC→ cùng hướng nên AB→, DC→=0°.
Ta có AD→, CB→ ngược hướng nên AD→, CB→=180°.
Vẽ CE→=DC→. Khi đó ta có CO→, DC→=CO→, CE→=OCE^.
Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên OCB^=45°.
Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra BC ⊥ CE, do đó BCE^=90°.
Ta có OCE^=OCB^+BCE^=45°+90°=135°.
Vậy AB→, DC→+AD→, CB→+CO→, DC→=0°+180°+135°=315°.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng AB→.AC→.
AB→.AC→=2a2
AB→.AC→=−a232
AB→.AC→=−a22
AB→.AC→=a22
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có AB→, AC→=BAC^=A^.
Tam giác ABC đều nên A^=60°.
Do đó AB→, AC→=A^=60°.
Suy ra AB→.AC→=AB.AC.cosAB→, AC→=a.a.cos60°=a22.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính P=AB→+AC→.BC→.
P=b2−c2
P=b2+c22
P=c2+b2+a23
P=c2+b2−a22
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có P=AB→+AC→.BC→=AB→+AC→BA→+AC→
=AC→+AB→AC→−AB→=AC→2−AB→2=AC2−AB2=b2−c2.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính AB→.BD→.
AB→.BD→=62
AB→.BD→=64
AB→.BD→=-62
AB→.BD→=-64
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ AB→, BD→ theo các vectơ vuông góc với nhau.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC.
Suy ra AB→⊥BC→.
Do đó AB→.BC→=0.
Theo quy tắc hình bình hành ta có: BD→=BA→+BC→.
Ta có AB→.BD→=AB→.BA→+BC→=AB→.BA→+AB→.BC→
=−AB→.AB→+0=−AB→2=−AB2=−64.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→.BC→=0 là:
một điểm;
đường thẳng;
đoạn thẳng;
đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có MA→.BC→=0⇔MA→⊥BC→⇔MA⊥BC.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính AB→.BC→.
AB→.BC→=−a2
AB→.BC→=a2
AB→.BC→=−a222
AB→.BC→=a222
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vẽ BD→=AB→.
Ta có AB→, BC→=BD→, BC→=CBD^.
Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra ABC^=45°.
Ta có ABC^+CBD^=180° (hai góc kề bù)
Khi đó ta được CBD^=180°−45°=135°.
Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago)
⇔ BC2 = 2a2
⇒BC=a2.
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→, BC→=a.a2.cos135°=−a2.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→MB→+MC→=0 là:
một điểm;
đường thẳng;
đoạn thẳng;
đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm BC. Ta suy ra MB→+MC→=2MI→.
Ta có MA→MB→+MC→=0⇔MA→.2MI→=0⇔MA→.MI→=0⇔MA→⊥MI→ (*)
Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông.
Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính AI.
Vậy ta chọn đáp án D.
