Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Vì I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IB}$

Vì AB // = DC nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$ là các vectơ $\overrightarrow{DI}$ và $\overrightarrow{DC}$.

Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

+ Ta có: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60°$ (tam giác ABC đều).

+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.

Cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ là 10 N.

Độ dài quãng đường là 100 m.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$là 45°.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$là:

A = 10 . 100 . cos45° = $500\sqrt{2}$ (J).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC = $\sqrt{2}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$.

Đặt AB = AC = a > 0.

Theo định lí Pytahgore ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra: ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=a^2+a^2$$\iff 2a^2=2\iff a^2=1\Rightarrow a=1$.

Do đó: AB = AC = 1.

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ = 1 . 1 . cos90° = 0.

+ Có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=(-\overrightarrow{CA}).(-\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$=\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$

$=CA.CB.cos\widehat{ACB}$

 = 1 . $\sqrt{2}$. cos45° = 1.

+ Và $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$$=BA.BC.cos\widehat{ABC}$$=1.\sqrt{2}.\cos 45°=1$ .

Ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=8,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$.

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=45°$.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$là 45°.

Vì lực $\overrightarrow{F}$cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$và hướng dịch chuyển là 0°.

Vậy công sinh bởi lực F là:

A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=1,6;(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2})=\widehat{OSO}=120°$.

Do đó: $\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|.\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|.cos(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2})$= 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ nên để tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$, ta tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$.

Ta có:  ${(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2})}^2={\overrightarrow{{\mu }_1}}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\overrightarrow{{\mu }_2}}^2$$={\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|}^2$

= 1,6² + 2 . (– 1,28) + 1,6² = 2,56

Suy ra ${|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}|}^2={(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2})}^2=2,56\Rightarrow |\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}|=1,6$.

Vậy $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}|=1,6$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAD}=90°,\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=45°$, $\widehat{ACB}=45°$, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

AC = BD = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$$=AB.AD.\cos \widehat{BAD}$= a . a . cos90° = 0.

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$$=AB.AC.cos\widehat{BAC}$$=a.a\sqrt{2}.cos45°=a^2$.

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=(-\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{CB}=-(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB})$$=-(\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}))$$=-(CA.CB.\cos \widehat{ACB})$$=-(a\sqrt{2}.a.cos45°)=-a^2$

+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$, do đó: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a² $\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$.

Do đó: $BD=AC=a\sqrt{5}$.

Suy ra: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Ta có: $\text{co}s\widehat{BAO}\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}co}s\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})$$=AB.AO.\cos \widehat{BAO}$$=2a.\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}=2a^2$.

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$$=AB.AD.cos\widehat{BAD}$ = 2a . a . cos90° = 0.

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

Do hai vectơ $\overrightarrow{OA}$và $\overrightarrow{OB}$ngược hướng nên $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=180°$

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.cos(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$$=OA.OB.cos180°=-OA.OA=-O{A}^2$

 Với điểm M tùy ý ta có:$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}).(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$$={\overrightarrow{MO}}^2+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$={\left|\overrightarrow{MO}\right|}^2+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$=M{O}^2+\overrightarrow{0}.\overrightarrow{MO}+(-O{A}^2)$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^2-O{A}^2$

Lực $\overrightarrow{F}$có độ lớn là 90 N.

Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.

Góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$với hướng dịch chuyển là 60°.

Vây công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$là:

A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$.

Theo bài ra ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-6$.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-6}{3.4}=\frac{-1}{2}$ .

Vậy $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=120°$.