Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án
14 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).
a) Tính IDC^.
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.
c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng IB→ và AB→.
a) Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo DB cũng là phân giác của góc ADC.
Suy ra: BDC^=12ADC^=12.90°=45°
Do đó: IDC^=BDC^=45°
b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là vectơ DI→.
Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là vectơ DC→.
c) I là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của BD và AC.
Vì I là trung điểm của BD nên DI→=IB→
Vì AB // = DC nên DC→=AB→
Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng IB→ và AB→ là các vectơ DI→ và DC→.
Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: (AB→, AC→), (AB→, BC→), (AH→, BC→), (BH→, BC→), (HB→, BC→).
Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.
+ Ta có: (AB→, AC→)=BAC^=60° (tam giác ABC đều).
+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.
Khi đó ta có BC→=AD→.
Suy ra: (AB→, BC→)=(AB→, AD→)=BAD^.
Lại có: CAD^=ACB^=60° (AD // BC, hai góc so le trong)
Nên BAD^=BAC^+CAD^=60°+60°=120°.
Do đó: (AB→, BC→)=(AB→, AD→)=BAD^=120°.
+ Do AH vuông góc với BC nên AH→⊥BC→, do đó (AH→, BC→)=90°.
+ Do hai vectơ BH→ và BC→ cùng hướng nên (BH→, BC→)=0°
+ Do hai vectơ HB→và BC→ngược hướng nên (HB→, BC→)=180°.
Một người dùng một lực F→ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực F→, biết rằng góc giữa vectơ F→và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực F→, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ F→ và độ dịch chuyển d→).
Cường độ của lực F→ là 10 N.
Độ dài quãng đường là 100 m.
Góc giữa hai vectơ F→và độ dịch chuyển d→là 45°.
Vậy công sinh bởi lực F→là:
A = 10 . 100 . cos45° = 5002 (J).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng 2. Tính các tích vô hướng:AB→.AC→, AC→. BC→, BA→. BC→
Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC = 2 và ABC^=ACB^=45°.
Đặt AB = AC = a > 0.
Theo định lí Pytahgore ta có: BC2 = AB2 + AC2
Suy ra: (2)2=a2+a2⇔2a2=2⇔a2=1⇒a=1.
Do đó: AB = AC = 1.
+ Ta có: AB→.AC→=|AB→|.|AC→|.cos(AB→, AC→) = 1 . 1 . cos90° = 0.
+ Có: AC→.BC→=(−CA→).(−CB→)=CA→.CB→
=|CA→|.|CB→|.cos(CA→, CB→)
=CA.CB.cosACB^
= 1 . 2. cos45° = 1.
+ Và BA→.BC→=|BA→|.|BC→|.cos(BA→, BC→)=BA.BC.cosABC^=1.2.cos45°=1 .
Hai vectơ a→và b→có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là 122. Tính góc giữa hai vectơ a→và b→.
Ta có: |a→|=3, |b→|=8, a→.b→=122.
Mà a→.b→=|a→|.|b→|.cos(a→, b→)
Suy ra: cos(a→, b→)=a→.b→|a→|.|b→|=1223.8=22.
Do đó: (a→, b→)=45°.
Vậy góc giữa hai vectơ a→ và b→là 45°.
Một người dùng một lực F→có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với F→. Tính công sinh bởi lực F→.
Vì lực F→cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực F→và hướng dịch chuyển là 0°.
Vậy công sinh bởi lực F là:
A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).
Cho hai vectơ i→, j→vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.
a) Tính: (i→+j→)2; (i→−j→)2;(i→+j→).(i→−j→).
b) Cho a→=2i→+2j→, b→=3i→−3j→. Tính tích vô hướng a→.b→ và tính góc (a→, b→).
Hai vectơ i→, j→vuông góc nên (i→, j→)=90°.
Ta có: i→ . j→ = |i→|.|j→|.cos(i→, j→)=1.1.cos90°=0.
a) (i→+j→)2=i→2+2i→ . j→+j→2=|i→|2+2i→ . j→+|j→|2= 12 + 2 . 0 + 12 = 2.
(i→−j→)2=i→2−2i→ . j→+j→2=|i→|2−2i→ . j→+|j→|2 = 12 – 2 . 0 + 12 = 2.
(i→+j→).(i→−j→)=i→2−j→2=|i→|2−|j→|2=12−12=0
b) Ta có: a→.b→=(2i→+2j→).(3i→−3j→)=2(i→+j→).3(i→−j→)=6.(i→+j→).(i→−j→)=6.0=0.
Do đó a→.b→=0⇔a→⊥b→.
Vậy (a→, b→)=90°.
Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết OSO^gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ μ1→ và μ2→ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng μ→=μ1→+μ2→ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của μ→.
Theo bài ra ta có: |μ1→|=| μ2→|=1,6; (μ1→, μ2→)=OSO^=120°.
Do đó: μ1→.μ2→=|μ1→|.|μ2→|.cos(μ1→, μ2→)= 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.
Vì μ→=μ1→+μ2→ nên để tính độ dài của μ→, ta tính độ dài của vectơ tổng μ1→+μ2→.
Ta có: (μ1→+μ2→)2=μ1→2+2μ1→.μ2→+μ2→2=|μ1→|2+2μ1→.μ2→+|μ2→|2
= 1,62 + 2 . (– 1,28) + 1,62 = 2,56
Suy ra |μ1→+μ2→|2=(μ1→+μ2→)2=2,56⇒|μ1→+μ2→|=1,6.
Vậy |μ→|=|μ1→+μ2→|=1,6.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: AB→.AD→, AB→.AC→, AC→.CB→, AC→.BD→
Vì ABCD là hình vuông nên BAD^=90°, BAC^=12BAD^=45°, ACB^=45°, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
AC = BD = a2+a2=a2.
+) AB→.AD→=|AB→|.|AD→|.cos(AB→,AD→)=AB.AD.cosBAD^= a . a . cos90° = 0.
+) AB→.AC→=|AB→|.|AC→|.cos(AB→, AC→)=AB.AC.cosBAC^=a.a2.cos45°=a2.
+) AC→.CB→=(−CA→).CB→=−(CA→.CB→)=−(|CA→|.|CB→|.cos(CA→,CB→))=−(CA.CB.cosACB^)=−(a2.a.cos45°)=−a2
+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên AC→⊥BD→, do đó: AC→.BD→=0.
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a) AB→.AO→;
b) AB→.AD→.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = (2a)2 + a2 = 5a2 ⇒AC=a5.
Do đó: BD=AC=a5.
Suy ra: AO=12AC=12.a5=a52.
Ta có: cosBAO^ = cosBAC^=ABAC=2aa5=25.
a) AB→.AO→=|AB→|.|AO→|.cos(AB→,AO→)=AB.AO.cosBAO^=2a.a52.25=2a2.
b) AB→.AD→=|AB→|.|AD→|.cos(AB→, AD→)=AB.AD.cosBAD^ = 2a . a . cos90° = 0.
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA→.OB→ trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB
Khi đó hai vectơ OA→và OB→cùng hướng nên (OA→, OB→)=0°.
Do đó: OA→.OB→=|OA→|.|OB→|.cos(OA→, OB→)=a.b.cos0°=ab.
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB
Khi đó hai vectơ OA→và OB→ngược hướng nên (OA→, OB→)=180°.
Do đó: OA→.OB→=|OA→|.|OB→|.cos(OA→, OB→)=a.b.cos180°=−ab.
Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: MA→.MB→=MO2−OA2.
Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và OA→+OB→=0→
Do hai vectơ OA→và OB→ngược hướng nên (OA→,OB→)=180°
Do đó: OA→.OB→=|OA→|.|OB→|.cos(OA→, OB→)=OA.OB.cos180°=−OA.OA=−OA2
Với điểm M tùy ý ta có:MA→.MB→=(MO→+OA→).(MO→+OB→)=MO→2+MO→.OB→+OA→.MO→+OA→.OB→=|MO→|2+(OA→+OB→).MO→+OA→.OB→=MO2+0→.MO→+(−OA2)
Vậy MA→.MB→=MO2−OA2
Một người dùng một lực F→ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực F→hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực F→.
Lực F→có độ lớn là 90 N.
Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.
Góc tạo bởi lực F→với hướng dịch chuyển là 60°.
Vây công sinh bởi lực F→là:
A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).
Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.
Giả sử hai vectơ đề bài cho là a→và b→.
Theo bài ra ta có: |a→|=3, |b→|=4, a→.b→=−6.
Ta có: a→.b→=|a→|.|b→|.cos(a→, b→)
Suy ra: cos(a→, b→)=a→.b→|a→|.|b→|=−63.4=−12 .
Vậy (a→, b→)=120°.
