10 Bài tập Xác định góc giữa hai vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Trên tia đối của CB lấy D sao cho CB = CD

Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}$

Khi đó: $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)=\widehat{ACD}$

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ACB}=45°$.

Ta có: $\widehat{ACD}+\widehat{ACB}=180°$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{ACD}=180°-\widehat{ACB}=180°-45°=135°$

Vậy $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=135°$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét tam giác ABC đều có: $\widehat{BAC}=60°$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=60°$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}=30°$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}$ 

Xét tam giác ABC

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{ABC}=\frac{B{A}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2BA.BC}=\frac{5^2+4^2-6^2}{\mathrm{2.5.4}}=\frac{1}{8}$

Vậy $cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=cos\widehat{ABC}=\frac{1}{8}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}$

Xét tam giác ABC

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{{12}^2+{13}^2-{15}^2}{\mathrm{2.12.13}}=\frac{11}{39}$

Vậy $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{11}{39}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

Vậy $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=180°$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)=0°$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hình thoi ABCD có tâm O nên O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD, hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Do đó, ta có:

BD = $2\sqrt{3}\Rightarrow OB=\sqrt{3}$

AC = 6 ⇒ AO = 3.

Xét tam giác AOB vuông tại O có: $\tan \widehat{ABO}=\frac{AO}{OB}=\frac{3}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ABO}=60°$.

Do ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác góc $\widehat{ABC}$, do đó ta có:

$\widehat{ABC}=2\widehat{ABO}=2.60°=120°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=120°$.