8 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Phần 2) (Thông hiểu)

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ 

Suy ra $cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-1$ nên $\alpha =\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^o$.

 Vậy α = 180°.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

Suy ra $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}=\frac{3}{2.3}=\frac{1}{2}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}={60}^o$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Do 2 vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau

Nên $\left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=0$

$\iff 2{\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^2=0$

$\iff {2.1}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ 

Suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ hay α = 90°.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Tam giác đều ABC có cạnh bằng a nên AB = AC = a và $\widehat{A}=60°.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.\cos A=a^2.\cos {60}^o=\frac{a^2}{2}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có AD2 = AC2 + CD2 (định lí Pythagore trong tam giác ACD vuông tại C).

Suy ra $AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.

Hình vuông ABDC nên góc AD là tia phân giác của $\widehat{A}=90°$ nên góc $\widehat{CAD}=45°.$

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=AC.AD.cos\widehat{CAD}$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=a.a\sqrt{2}.cos45°=a^2\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

• Vì AH vuông góc với BC nên $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)={90}^o$ và $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$.

Do đó phương án A và B đúng.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao cũng là đường phân giác.

Nên $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{A}={30}^o$, suy ra $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}\right)=\widehat{HAB}={30}^o$, vậy phương án C sai.

• Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos A$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.cos60°=a.a.\frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$ nên phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

• Tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có:

BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pythagore)

Suy ra $BC=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.

• Gọi D là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$, khi đó AD // BC nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=45°$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{CAD}=\widehat{BAD}+\widehat{BAC}=45°+90°=135°$.

Khi đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$

                         $=a.a\sqrt{2}.\cos {135}^o=a.a\sqrt{2}.\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-a^2$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

• Ta có $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=60°$ nên $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}>0$ 

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án A sai.

• Do ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}>0$, phương án B sai.

• ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD.

Do đó $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=0$, phương án C sai.

• Lấy điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$

Khi đó

Mà ABCD là hình thoi nên CA là tia phân giác góc BCD

Do đó $\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{BCD}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=180°-\widehat{ACD}=180°-30°=150°$

Nên $cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}<0$, phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.