15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=52+522−5522.5.52=−22

⇒A^=135°. 

Vậy A^=135°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có A^=105°,B^=45° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒C^=180°−A^−B^ 

⇒C^=180°−105°−45°=30°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinC

⇒10sin45°=ABsin30°⇒AB=10.sin30°sin45°=52.

Vậy AB=52. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=32+62−3322.3.6=12

⇒B^=60°. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có A^ là góc tù nên B^,C^ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinC=2R 

⇒R2sinB=RsinC=2R 

⇒sinB=R22R=22sinC=R2R=12 ⇒B^=45°C^=30° (vì B^,C^ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có B^=45°,C^=30° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒A^=180°−B^−C^ 

⇒A^=180°−45°−35°=105°

Vậy A^=105° 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC=32+42−222.3.4=78.

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng 78 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

S=12.AB.AC.sinA=12.20.10.sin60°=503 (đơn vị diện tích).

Vậy S=503 (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh 3,2, 1 là: p=3+2+12 

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: S=p.p−3.p−2.p−1=22 

Vậy S=22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC

Nếu BC² < AB² + AC² thì AB² + AC² ‒ BC² > 0

Do đó AB2+AC2−BC22.AB.AC>0 hay cosA > 0

Mà 0°<A^<180° 

Þ Góc A^ là góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có B^+C^=135° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒A^=180°−B^+C^ 

⇒A^=180°−135°=45°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: BCsinA=2R

⇒R=BC2.sinA=a2.sin45°=a2.22=a2=a22 

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R=a22. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: S=12.AB.AC.sinA

⇒sinA=2SAB.AC=2.12010.24=1

Mà 0°<A^<180° 

⇒A^=90°

ÞDABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: AM=12BC=12.26=13. 

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó EC=12.AC=12.30=15cm 

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GE=13BE (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay GEBE=13. 

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó GHBA=GEBE (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay GHBA=13⇒GH=13.BA=13.30=10cm

Diện tích tam giác GEC là: SGEC=12.GH.EC=12.10.15=75cm2 

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 5² + 12² = 169 và 13² = 169.

Do đó 5² + 12² = 13² nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py – ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: S=12.5.12=30 (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: p=5+12+132=15 

Mặt khác S = pr p=5+12+132=15 

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: S=12.BC.AC.sinC.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

S'=12.2BC.3AC.sinC=6.12.BC.AC.sinC=6S.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Þ AO = 3 và DO = 4.

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

cosADO^=AD2+DO2−AO22.AD.DO=42+42−322.4.4=2332 ⇒cosADB^=2332

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB² = AD² + BD² – 2.AD.BD.cosADB^ 

Þ AB² = 4² + 8² – 2.4.8.2332 = 34

⇒AB=34. 

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó là 34 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

⇒BC=a2. 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là p=AB+AC+BC2=a+a+a22=a.2+22 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

S=12.AB.AC=12.a.a=a22 (đơn vị diện tích)

Mặt khác S=pr=AB.AC.BC4R 

⇒r=Sp=a22a.2+22=a2+2  và R=AB.AC.BC4S=a.a.a24.a22=a22 

Do đó Rr=a22a2+2=a22:a2+2=a22.2+2a=1+2 

Vậy Rr=1+2.