Giải SBT Toán 10 Bài 2. Định lí côsin và định lí sin có đáp án
13 câu hỏi
Lời giải
a) Áp dụng định lí côsin ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos\(\widehat {\rm{A}}\)
BC2 = 102 + 92 – 2.10.9.cos65°
BC 2 ≈ 104,929
BC ≈ 10,24 (cm).
Vậy BC ≈ 10,24 (cm).
b) \(\widehat {\rm{P}}\)= 180° – 112° – 34° = 34°.
Ta có: \(\widehat {\rm{P}}\) = \(\widehat {\rm{M}}\) ⇒ tam giác MNP cân tại N ⇒ MN = NP = 22 (cm)
Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{{\rm{MP}}}}{{{\rm{sinN}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{sinP}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{sinM}}}} = \frac{{22}}{{\sin 34^\circ }}\).
⇒ MP = \(\frac{{22}}{{\sin 34^\circ }}\).sin112° ≈ 36,48 (cm)
Vậy MP ≈ 36,48 cm, MN = 22 cm.
Cho tam giác ABC biết cạnh a = 75 cm, \(\widehat {\rm{B}}\) = 80°, \(\widehat {\rm{C}}\)= 40°.
Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác ABC.
Lời giải
Ta có: \(\widehat {\rm{A}}\)= 180° – 80° – 40° = 60°.
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{sinC}}}}\) = \(\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}\)
⇒ b = \(\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}\). sin80° ≈ 85,29 (cm);
⇒ c = \(\frac{{75}}{{\sin 60^\circ }}\). sin40° ≈ 55,67 (cm).
Vậy AC ≈ 85,29 cm; AB ≈ 55,67 cm và \(\widehat {\rm{A}}\)= 60°.
Lời giải
R = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2sinA}}}}\) = \(\frac{{75}}{{2.\sin 60^\circ }}\) = 25\(\sqrt 3 \) (cm).
Vậy R = 25\(\sqrt 3 \) cm.
Lời giải
Do b là cạnh lớn nhất nên B là góc lớn nhất.
Theo định lí côsin: b2 = a2 + c2 – 2accosB
⇒ cosB = \[\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{ac}}}}\] = \(\frac{{{8^2} + {6^2} - {{12}^2}}}{{2.8.6}}\)
⇒ cosB = \(\frac{{ - 11}}{{24}}\).
⇒ \(\widehat {\rm{B}}\) = 117°16’46’’.
Vậy góc lớn nhất của tam giác ABC là \(\widehat {\rm{B}}\) = 117°16’46’’.
Lời giải
Áp dụng định lí côsin:
PQ2 = OP2 + OQ2 – 2.OP.OQ.cos\(\widehat {\rm{O}}\)
PQ2 = 14002+6002 – 2.1400.600.cos76°
PQ = \(\sqrt {{{1400}^2} + {{600}^2}--{\rm{ }}2.1400.600.{\rm{cos}}76^\circ } \)
PQ ≈ 1383,32 (m).
Vậy khoảng cách giữa hai điểm PQ là PQ ≈ 1383,32 (m).
Lời giải
Theo định lí côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
⇒ cosA = \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}\)
Ta có:
1 + cosA = 1 + \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}\) = \(\frac{{2{\rm{bc}} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}\) = \(\frac{{{{({\rm{b}} + {\rm{c}})}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}\) = \(\frac{{({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}})( - {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}})}}{{2{\mathop{\rm bc}\nolimits} }}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cho tam giác ABC có a = 24cm, b = 26cm, c = 30cm.
Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải
Ta có: p = \[\frac{{{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}}}{2}\] = \(\frac{{24 + 26 + 30}}{2}\) = 40
Áp dụng công thức Heron:
S = \(\sqrt {{\rm{p}}.({\rm{p}} - {\rm{a}}).({\rm{p}} - {\rm{b}}).({\rm{p}} - {\rm{c}})} \)
S = \(\sqrt {40.(40 - 24).(40 - 26).(40 - 30)} \)
S = 80\(\sqrt {14} \)(cm2).
Vậy diện tích tam giác ABC là 80\(\sqrt {14} \)(cm2).
Cho tam giác ABC có a = 24cm, b = 26cm, c = 30cm.
Lời giải
Ta có: S = p.r = 40r = 80\(\sqrt {14} \)
⇒ r = 2\(\sqrt {14} \)(cm).
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = 2\(\sqrt {14} \)cm.
Cho tam giác MNP có MN = 10, MP = 20 và \(\widehat {\rm{M}}\)= 42°.
Tính diện tích tam giác MNP.
Lời giải
Diện tích tam giác MNP là:
S = \(\frac{1}{2}\).MN.MP.sin\(\widehat {\rm{M}}\)= \(\frac{1}{2}\).10.20.sin42° ≈ 67 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác MNP là 67 đvdt.
Lời giải
Áp dụng định lí côsin:
NP2 = MP2 + MN2 – 2.MN.MP.cos\(\widehat {\rm{M}}\)
NP2 = 102 + 202 – 2.10.20.cos42°
NP = \(\sqrt {{{10}^2} + {\rm{ }}{{20}^2}--{\rm{ }}2.10.20.{\rm{cos}}42^\circ } \)
NP ≈ 14,24.
Áp dụng định lí sin trong tam giác MNP, ta có: R = ON = OP = \(\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{2sin}}\widehat {\rm{M}}}}\) ≈ \(\frac{{14,24}}{{2\sin 42^\circ }}\) ≈ 10,64
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác MNP:
\[\widehat {{\rm{NMP}}}\]là góc nội tiếp chắn cung NP ⇒ \[\widehat {{\rm{NMP}}}\]= \(\frac{1}{2}\)\(\widehat {{\rm{NOP}}}\) ⇒ \(\widehat {{\rm{NOP}}}\) = 42°.2 = 84°.
Suy ra SONP = \(\frac{1}{2}\).ON.OP.sin\(\widehat {{\rm{NOP}}}\) ≈ \(\frac{1}{2}\).(10,64)2.sin84° ≈ 56,30 (đvdt)
Vậy diện tích tam giác ONP là 56,30 đvdt.
Lời giải
Vẽ AH và GK vuông góc với BC.
Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = \(\frac{1}{3}\)AM ( tính chất đường trung tuyến của tam giác).
Xét tam giác GKM và tam giác AHM:
\(\widehat {{\rm{AHM}}}\) = \(\widehat {{\rm{GKM}}}\) = 90°
\(\widehat {{\rm{AMH}}}\) = \(\widehat {{\rm{GMK}}}\)
⇒ tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g).
⇒ \(\frac{{{\rm{GM}}}}{{{\rm{AM}}}} = \frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}\)
Có \(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{GBC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.GK}}{\rm{.BC}}}}{{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.AH}}{\rm{.BC}}}}\) = \(\frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{AH}}}} = \frac{1}{3}\).
Chứng minh tương tự ta được:
SGBC = SGAB = SGAC = \(\frac{1}{3}\)SABC. ( ĐPCM).
Lời giải
Ta có:
SABC = \(\frac{1}{2}\).AB.AC.sin\(\widehat {\rm{A}}\)
SAB’C’ = \(\frac{1}{2}\).AB’.AC’.sin\(\widehat {\rm{A}}\)
⇒ \(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AB'C'}}}}}}\)=
⇒ \(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AB'C'}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}{{{\rm{AB'}}{\rm{.AC'}}}}\) (ĐPCM).
Lời giải
Diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab là:
S = \(\frac{1}{2}\).10.12.sin35° ≈ 34,4 (cm2).
Vậy diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab khoảng 34,4 cm2.
