5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Định lí côsin và định lí sin có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích ∆ABC ban đầu là: \(S = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\).

Khi tăng cạnh AB lên 4 lần và tăng cạnh AC lên 5 lần và giữ nguyên độ lớn của \(\widehat A\) thì diện tích ∆ABC lúc này là:

\(S' = \frac{1}{2}.\left( {4AB} \right).\left( {5AC} \right).\sin A = 4.5.\frac{1}{2}AB.AC.\sin A = 20S\).

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử AB = AC = a.

∆ABC vuông cân tại A nên BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)

Do đó BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra \(BC = a\sqrt 2 \).

Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\) (đơn vị diện tích)

Ta có \(S = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\)

\( \Leftrightarrow R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4S}} = \frac{{a.a.a\sqrt 2 }}{{4.\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi của ∆ABC là:

\(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\).

Ta có S = p.r

\( \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}}}{2}:\frac{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{2}{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\).

Vì vậy tỉ số \(\frac{R}{r} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2 + \sqrt 2 }}{a} = 1 + \sqrt 2 \).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho ∆ABC, ta có:

⦁ \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{2 - \sqrt 3 + 2 - 3}}{{2.\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = 120^\circ \).

⦁ \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{2 - \sqrt 3 + 3 - 2}}{{2.\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = 45^\circ \) hay \(\widehat {ABD} = 45^\circ \).

Ta có AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Suy ra \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \).

∆ABD có: \(\widehat {BAD} + \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc của một tam giác)

\( \Leftrightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).

Vậy \(\widehat {ADB} = 75^\circ \).

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b² – c² = c² + a² – 2ca.cosB – (a² + b² – 2ab.cosC)

= c² + a² – 2ca.cosB – a² – b² + 2ab.cosC

= c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b² – c²) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = \[\left( {2R.\sin B + 2R.\sin C} \right).\frac{a}{{2R}}\]

\[ = \left( {\sin B + \sin C} \right).\frac{{2R.a}}{{2R}}\]

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = \(2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

\( = \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\frac{2}{a}\)

\( = \frac{{2S}}{a} = {h_a}\).

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = \(R.r.\left( {\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}} \right)\)

\[ = R.r.\frac{1}{R}\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}} \right)\]

\[ = r.\frac{{a + b + c}}{2} = r.p = S\].

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử sau hai giờ, tàu 1 đến vị trí điểm B, tàu 2 đến vị trí điểm C.

Sau hai giờ, tàu 1 đi được 2.30 = 60 (hải lí).

Suy ra AB = 60.

Sau hai giờ, tàu hai đi được 2.25 = 50 (hải lí).

Suy ra AC = 50.

Ta có BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 60² + 50² – 2.60.50.cos120°

= 9100

Suy ra BC = \(\sqrt {9100} = 10\sqrt {91} \approx 95,4\).

Vì vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 95,4 hải lí.

Vậy ta chọn phương án B.