Bài tập Định lí côsin và định lí sin có đáp án

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là : $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+5+3}{2}=6$ .

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6(6-4)(6-5)(6-3)}=\sqrt{36}=6$

Mặt khác $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=2,5$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2,5 (đơn vị độ dài).

Tam giác ABC có :

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{B}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{C})={180}^o-({48}^o+{105}^o)={27}^o$

Áp dụng định lí sin, ta có :

 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{BC}{\sin {48}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}=\frac{AB}{\sin {105}^o}$

Từ $\frac{BC}{\sin {48}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}\Rightarrow BC=\frac{3,2\sin {48}^o}{\sin {27}^o}\approx 5,2$ (m).

Từ $\frac{AB}{\sin {105}^o}=\frac{3,2}{\sin {27}^o}\Rightarrow AB=\frac{3,2\sin {105}^o}{\sin {27}^o}\approx 6,8$  (m).

Nửa chu vi của tam giác ABC là : $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6,8+3,2+5,2}{2}=7,6$  (m).

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :

$S=\sqrt{7,6.(7,6-6,8)(7,6-3,2)(7,6-5,2)}\approx 8$

Vậy diện tích cánh buồm khoảng 8 (m²).

a) Áp dụng định lí côsin ta có :

x² = 6,5² + 5² – 2.6,5.5.cos72° ≈ 47,2

⇒ x = $\sqrt{47,2}$  ≈ 6,9.

Vậy x ≈ 6,9.

b) ) Áp dụng định lí côsin ta có :

$x^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-2.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.\cos {123}^o\approx 0,22$

⇒ x =  $\sqrt{0,22}$ ≈ 0,47.

Vậy x ≈ 0,47.

Tam giác ABC có

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{A}={180}^o-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^o-({79}^o+{61}^o)={40}^o$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \frac{152}{\sin {40}^o}=\frac{b}{\sin {79}^o}=\frac{c}{\sin {61}^o}=2R$

Từ $\frac{152}{\sin {40}^o}=\frac{b}{\sin {79}^o}\Rightarrow b=\frac{152\sin {79}^o}{\sin {40}^o}\approx 232,13$ .

Từ $\frac{152}{\sin {40}^o}=\frac{c}{\sin {61}^o}\Rightarrow c=\frac{152.\sin {61}^o}{\sin {40}^o}\approx 206,82$ .

Từ $\frac{152}{\sin {40}^o}=2R\Rightarrow R=\frac{152}{2\sin {40}^o}\approx 118,24$ .

Vậy góc và các cạnh còn lại, bán kính đường tròn ngoại tiếp  của tam giác ABC là:

  $\widehat{A}={40}^o$ ; AC = b ≈ 232,13 ; AB = c ≈ 206,82; R ≈ 118,24.

Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác như sau:

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}.AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8.}\sin {60}^o=\frac{1}{2}\mathrm{.6.8.}\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\approx 20,8$

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC²  – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8²  –  2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC = $\sqrt{52}$ ≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:      

$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{\mathrm{6.8.}\sqrt{52}}{4.12\sqrt{3}}\approx 4,2$

Vậy diện tích của tam giác GBC là : $30\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích).

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

$S_{BDE}=\frac{1}{2}.BD.BE.\sin B$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B$

Suy ra $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BD.BE.\sin B}{\frac{1}{2}BA.BC.\sin B}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

Vậy $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

b) Từ S_ABC = 9S_BDE ⇒ $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}$

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = $\frac{BE}{BC}$ .

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = $\frac{BD}{AB}$ .

Suy ra cos²B = $\frac{BE}{BC}$. $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos B=\pm \frac{1}{3}$

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = $\frac{1}{3}$.

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra sinB = 

$\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

$\frac{BE}{BC}$= $\frac{BD}{AB}$=  $\frac{1}{3}$(cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =$\frac{1}{3}$ .

⇒ $\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AC=3DE=3.2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=2R$; $\frac{DE}{\sin B}=2R\text{'}\Rightarrow R\text{'}=\frac{DE}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{2}}{2.\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2}$(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒ R = 3R' = $3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Vậy cosB = $\frac{1}{3}$ ; R = $\frac{9}{2}$ .

a) Ta có S_ABCD = S_ABD + S_CBD.

Vẽ AH và CK vuông góc với BD tại H và K.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có : AH = AI.sinα ; CK = CI.sinα.

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AH.BD+\frac{1}{2}CK.BD=\frac{1}{2}BD.(AH+CK)=\frac{1}{2}BD.(AI+IC)\sin \alpha =\frac{1}{2}BD.AC\sin \alpha$

⇒ $S_{ABCD}=\frac{1}{2}x.y\sin \alpha$

b) Nếu AC ⊥ BD thì sinα = sin90° = 1, khi đó $S_{ABCD}=\frac{1}{2}x.y$

Như vậy nếu tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác đó bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.