Bài tập Định lí côsin và định lí sin có đáp án

Quan sát hai tam giác trên, ta thấy tam giác thứ nhất là tam giác vuông nên ta có thể dùng định lí Pythagore để tìm độ dài cạnh chưa biết.

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 25 ⇒ BC = 5.

Tam giác thứ hai ta chưa biết cách tìm.

Sau khi học xong bài 2. Định lí côsin và định lí sin ta sẽ giải bài này như sau:

- Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² +AC² – 2.AB.AC.cosA = 4² +3² – 2.4.3.cos90° = 25;

⇒ BC =  25 = 5.

Vậy BC = 5.

- Áp dụng định lí côsin cho tam giác MNP ta có:

NP² = MN² + MP² – 2.MN.MP.cosM = 4² + 3² – 2.4.3.cos60° = 13;

⇒ NP = 13 ≈ 3,6.

Vậy NP ≈ 3,6.

a)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: cosA = ADAC=xb ⇒ x = bcosA.

Vậy lời giải đúng:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: a² = d² + (c – x)² = d² + x² + c² – 2xc. (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: b² = d² + x² ⇒ d² = b² –  x²                 (2)

cosA = xb ⇒ x = bcosA.                                            (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a² =  b² +  c² –  2bccosA.

b) Với tam giác ABC có góc A tù :

Xét tam giác vuông BCD, ta có: a² = d² + (x + c)² = d² + x² + c² + 2xc. (4)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: b² = d² + x² ⇒ d² = b² –  x²          (5)

cos CAD^ = ADAC=xb .

Do  CAD^+CAB^=180o⇒CAB^=180o−CAD^ .

Suy ra: cos CAB^ = cos (180o−CAD^) = – cos CAD^ =   −xb 

⇒ cos CAB^ =    −xb

⇒ x = –bcosCAB^, tức là x = – bcosA                        (6)

Thay (5) và (6) vào (4), ta được : a² =  b² +  c^{2 _} 2bccosA.

Vậy với tam giác ABC có góc A tù ta cũng có : a² =  b² +  c²  – 2bccosA.

c) Với tam giác ABC vuông tại A thì cosA = cos90° = 0.

Suy ra a² =  b² +  c² – 2bccosA = b² +  c² – 2bc.0 = b² +  c².

Vậy a² =  b² +  c².

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² =  AB² +  AC² – 2AB.AC.cosA   = 14² +  18² – 2.14.18. cos62° ≈ 283,4.

Suy ra BC ≈ 16,8.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = AB2+BC2−AC22.AB.BC = 142+16,82−1822.14.16,8  ≈ 0,328.

Suy ra  ≈ 71°.

Mặt khác trong tam giác ABC ta có:

A^+B^+C^=180o⇒C^=180o−(B^+C^)=180o−(71o+62o)=47o.

Vậy BC ≈ 16,8;  ≈ 71°; .

Gọi A là điểm người đứng quan sát, B và C lần lượt là hai đầu của hồ nước.

Khi đó AB = 800 m; AC = 900 m; A^=70o .

Tính khoảng cách giữa hai đầu hồ nước chính là tính độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² =  AB² +  AC² – 2AB.AC.cosA   = 800² +  900² – 2.800.900. cos70° ≈ 957 491

Suy ra BC ≈ 978,5 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai đầu hồ nước khoảng 978,5 m.

a)

i) Do BD là đường kính của đường tròn nên tam giác BCD vuông tại C.

⇒ sin BDC^ = BCBD=a2R

Vậy sin BDC^ = a2R.

ii)

+) Trường hợp tam giác ABC có góc A nhọn:

Hai góc BAC^ và BDC^ là hai góc nội tiếp cùng chắn , do đó  BAC^= BDC^.

Suy ra sin BAC^ = sinBDC^ =  a2R

⇒ 2R = asinBAC^ , tức là 2R = asinA .

Vậy 2R = asinA.

+) Trường hợp tam giác ABC có góc A tù:

Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O nên ta có BAC^ + BDC^ =180°;

⇒  BDC^ = 180° – BAC^ ;

⇒ sin BDC^= sin(180^o – BAC^)= sin BAC^;

⇒ sin BAC^ = sin BDC^=  a2R

⇒ 2R = asinBAC^ , tức là 2R = asinA.

Vậy 2R = asinA .

b) Với tam giác ABC vuông tại A. Khi đó BC sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên BC = 2R.

⇒ sinA = sin90°  = 1 và asinA=BC1=BC=2R.

Vậy tam giác ABC vuông tại A thì ta vẫn có công thức 2R = asinA.

Trong tam giác MNP ta có :

M^+N^+P^=180o⇒P^=180o−(M^+N^)=180o−(34o+112o)=34o.

Suy ra M^=P^=34o nên tam giác MNP cân tại N.

Do đó MN = NP = 22.

Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP ta có : MPsinN=NPsinM=MNsinP.

Suy ra MPsin112o=22sin34o⇒MP=22.sin112osin34o≈36,5.

Vậy các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP là : P^=34o ; MN = 22 ; MP ≈ 36,5.

Đặt tên các vị trí bằng các điểm như hình vẽ sau :

Để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn gần vị trí đám cháy hơn.Vì vậy, ta cần so sánh BC và DC.

Xét tam giác ADC có:

CAD^+ADC^+ACD^=180o⇒ACD^=180o−(CAD^+ADC^)=180o−(35o+125o)=20o.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC ta có :

DCsinCAD^=ACsinADC^=ADsinACD^⇒DCsin35o=ACsin125o=900sin20o

⇒ AC = 900.sin125osin20o≈ 2 156 m; DC = 900.sin35osin20o ≈ 1 509 m.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos BAC^

= 1 800² + 2 156² – 2. 1800. 2156 .cos34° ≈ 1 453 678.

⇒ BC ≈ 1 206 m.

Từ DC ≈ 1 509 m và BC ≈ 1 206 m suy ra DC > BC.

Vậy để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn B.

a) Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC có độ dài cạnh là a và đường cao tương ứng h_a là: S=12a.ha.

b) Trong tam giác vuông AHC ta có sinC = AHAC=hab ⇒ h_a = bsinC.

c) Từ S=12a.ha và h_a = bsinC ⇒S=12a.ha=12absinC .

Vậy S=12absinC.

d) Từ định lí sin ta có : asinA=bsinB=csinC=2R ⇒ sinC = c2R  .

⇒ S=12absinC=12abc2R=abc4R.

Vậy S=abc4R.

a) Diện tích tam giác AIB là SAIB=12⋅r⋅AB=12⋅r⋅c  

Diện tích tam giác AIC là SAIC=12⋅r⋅AC=12⋅r⋅b

Diện tích tam giác BIC là SBIC=12⋅r⋅BC=12⋅r⋅a

b) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích của ba tam giác AIB, AIC, BIC.

S=12ra+12rb+12rc=12r(a+b+c)=r(a+b+c)2

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC ta có:

S=12bcsinA=12.14.35sin60o=12.14.35.32=24532≈212,2

Vậy diện tích tam giác ABC là 212,2 (đơn vị diện tích).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 14² + 35² – 2.14.35.cos60° = 931

⇒ a=931.

Áp dụng định lí sin ta có:

asinA=2R⇒R=a2sinA=9312.sin60o≈17,6.

Vậy diện tích tam giác ABC là 212,2 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 17,6 (đơn vị độ dài).

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là : p=a+b+c2=4+5+32=6 .

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là : S=p(p−a)(p−b)(p−c)=6(6−4)(6−5)(6−3)=36=6

Mặt khác S=abc4R⇒R=abc4S=4.5.34.6=2,5.

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2,5 (đơn vị độ dài).

Đặt tên cho các đỉnh của tam giác tạo bởi cánh buồm như hình vẽ :

Tam giác ABC có :

A^+B^+C^=180o⇒B^=180o−(A^+C^)=180o−(48o+105o)=27o

Áp dụng định lí sin, ta có :

 BCsinA=ACsinB=ABsinC⇒BCsin48o=3,2sin27o=ABsin105o

Từ BCsin48o=3,2sin27o⇒BC=3,2sin48osin27o≈5,2(m).

Từ ABsin105o=3,2sin27o⇒AB=3,2sin105osin27o≈6,8 (m).

Nửa chu vi của tam giác ABC là : p=AB+AC+BC2=6,8+3,2+5,22=7,6 (m).

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là :

S=7,6.(7,6−6,8)(7,6−3,2)(7,6−5,2)≈8

Vậy diện tích cánh buồm khoảng 8 (m²).

a) Áp dụng định lí côsin ta có :

x² = 6,5² + 5² – 2.6,5.5.cos72° ≈ 47,2

⇒ x = 47,2 ≈ 6,9.

Vậy x ≈ 6,9.

b) ) Áp dụng định lí côsin ta có :

x2=132+152−2.13.15.cos123o≈0,22

⇒ x =  0,22 ≈ 0,47.

Vậy x ≈ 0,47.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có :

ABsinC=ACsinB⇒csin105o=12sin35o⇒c=12sin105osin35o≈20,21

Vậy c ≈ 20,21.

Tam giác ABC có

A^+B^+C^=180o⇒A^=180o−(B^+C^)=180o−(79o+61o)=40o

Áp dụng định lí sin ta có:

asinA=bsinB=csinC=2R⇒152sin40o=bsin79o=csin61o=2R

Từ 152sin40o=bsin79o⇒b=152sin79osin40o≈232,13.

Từ 152sin40o=csin61o⇒c=152.sin61osin40o≈206,82.

Từ 152sin40o=2R⇒R=1522sin40o≈118,24.

Vậy góc và các cạnh còn lại, bán kính đường tròn ngoại tiếp  của tam giác ABC là:

  A^=40o ; AC = b ≈ 232,13 ; AB = c ≈ 206,82; R ≈ 118,24.

 

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=5002+7002−80022.500.700≈0,143

⇒ A^ ≈ 82°.

cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=5002+8002−70022.500.800=0,5

⇒ B^ = 60°.

Tam giác ABC có

 A^+B^+C^=180o⇒C^=180o−(A^+B^)=180o−(82o+60o)=38o

Vậy các góc của tam giác ABC là:  A^≈ 82°, B^ = 60°; C^= 38°.

Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác như sau:

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 90 cm, A^=35o .

Áp dụng công thức tính diện tích ta có diện tích tam giác ABC là:

 S=12.AC.AB.sinA=12.90.90.sin35o≈2 323(cm²).

Vậy diện tích của lá cờ khoảng 2 323 cm².

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

S=12.AC.AB.sinA=12.6.8.sin60o=12.6.8.32=123≈20,8

 

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC²  – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8²  –  2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC =52 ≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:      

S=AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S=6.8.524.123≈4,2

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.

Nửa chu vi của tam giác IBC: 

p=IB+IC+BC2=4,2+4,2+7,22=7,8

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:

S=7,8.(7,8−4,2).(7,8−4,2).(7,8−7,2)≈60,7≈7,8

Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).

a) Nửa chu vi của tam giác ABC là :

p=15+18+272=30

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác ABC là:

S=30.(30−15).(30−18).(30−27)=16200=902

Mặt khác S = pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Suy ra r=Sp=90230=32

Vậy diện tích tam giác ABC là 902 (đơn vị diện tích) ; bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là  (đơn vị dộ dài).

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G chia tam giác ABC thành ba tam giác GAB, GAC, GBC có diện tích bằng nhau.

Suy ra SGBC=SABC3=9023=302

Vậy diện tích của tam giác GBC là : 302(đơn vị diện tích).

Trong tam giác ABC, đặt BC = a, AC = b, AB = c, h_a là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC : S =  12a.ha ⇒ha=2Sa

Mà  S=abc4R⇒ha=2.abc4Ra=2bc4R=bc2R         (1)

Theo định lí sin ta có :

asinA=bsinB=csinC=2R⇒b=2RsinB; c = 2RsinC     (2)

Thế (2) vào (1) ta có :

ha=2RsinB.2RsinC2R=2RsinB.sinC

Vậy h_a = 2RsinBsinC.

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

SBDE=12.BD.BE.sinB

SABC=12.BA.BC.sinB

Suy ra SBDESBAC=12BD.BE.sinB12BA.BC.sinB=BD.BEBA.BC

Vậy SBDESBAC=BD.BEBA.BC

b) Từ S_ABC = 9S_BDE ⇒ SBDESBAC=BD.BEBA.BC=19

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = BEBC.

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = BDAB.

Suy ra cos²B = BEBC. BDAB = BD.BEBA.BC=19

⇒cosB=±13

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = 13.

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra sinB = 

1−cos2B=1−(13)2=223

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

BEBC= BDAB=  13(cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =13.

⇒ DEAC=13⇒AC=3DE=3.22=62

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

ACsinB=2R; DEsinB=2R'⇒R'=DE2sinB=222.223=32(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒ RR'=ACDE=6222=3

⇒ R = 3R' = 3.32=92

Vậy cosB = 13; R = 92.

a) Ta có S_ABCD = S_ABD + S_CBD.

Vẽ AH và CK vuông góc với BD tại H và K.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có : AH = AI.sinα ; CK = CI.sinα.

SABCD=12AH.BD+12CK.BD=12BD.(AH+CK)=12BD.(AI+IC)sinα=12BD.ACsinα

⇒ SABCD=12x.ysinα

b) Nếu AC ⊥ BD thì sinα = sin90° = 1, khi đó SABCD=12x.y

Như vậy nếu tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác đó bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.