15 bài tập Một số bài toán liên quan thực tế (có lời giải)

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo cùa quả bóng nẳm trong mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của \((P)\) trong không gian $O x y z$ được mô tả như trong hình vẽ.

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính \((P),(Q),(R)\) (Hình vẽ) của một toà nhà, biết:

\((P):3x + y - z + 2 = 0\);         (Q): \(6x + 2y - 2z + 11 = 0\);      \((R):x - 3y + 1 = 0\).

Khối rubik được gắn vơi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ (Hình vẽ ). Xét bốn điểm \(A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)\) và \(D(1;1;1)\).

a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Một nhà kho được vẽ trong hệ tọa độ Oxyx như hình bên, Các bức tường của nhà kho được xây vuông góc với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục là mét.

a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà

b) Tìm tọa độ điểm Q

c) Tìm tọa độ véctơ \[\overrightarrow {PQ} \]

Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí \(A(3;4;33),D(9;8;35)\) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mổi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + \) \(y + z - 27 = 0\)

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh \(O(0;0;0),A(2;0;0),B(2;3;0);C(0;2\sqrt 2 ;0)\). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Góc quan sát ngang của một camera là ${115}^{\circ }$. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm \(C(1;2;4)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \((P):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \((P)\) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy , trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \(z - 1 = 0\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \(x + y + 50z - 100 = 0\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1 , mái tầng 2 , hai mặt phẳng nào song song với nhau.

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \(\vec F\) thì moment lực \(\vec M\) được tính bởi công thức \(\vec M = [\overrightarrow {OP} ,\vec F]\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \(\vec F\) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \(\vec M\) có phương thẳng đứng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( đơn vị trên trục tọa độ là kiloomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; -2,5; 0,5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3; 7,5; 0) trên đường băng như hình bên dưới

a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trí A hạ cánh tại vị trí B? Biết tọa độ của máy bay là 300 km/h trên quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút)

b) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua ba điểm \[M(9;0;0)\], \[N(0; - 9;0)\], \[P(0;0;0,9)\]. Tính độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

Hình vẽ dưới đây minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết \(A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k)\) với \(k > 0\) và mặt phẳng \((CBEF)\) có phương trình là \(z = 3\).

a) Tìm tọa độ của điểm \(B\).

b) Lập phương trình mặt phẳng \((AOBC)\).

c) Lập phương trình mặt phẳng ( \(DOBE)\).

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((AOBC)\) và \((DOBE)\).

Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mặt cắt bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm\(A(2;1;3),B(4;3;3)\), \(C(6;3;2,5),D(4;0;2,8)\).

 a) Lập phương trình mặt phẳng \((ABC)\).

b) Bốn điểm A, B, C, Dcó đồng phẳng hay không?