13 bài tập Xác suất của biến cố (có lời giải)

Ta có bảng sau:

Gọi \(E\) là biến cố “cây con có hạt vàng nhăn”. Ta có: \[E = \left\{ {\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa;bb} \right)} \right\}\].

Có hai kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\).

\(\Omega = \left\{ {\left( {AA,BB} \right);\left( {AA,Bb} \right);\left( {AA;bB} \right);\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa,BB} \right);\left( {Aa,Bb} \right);\left( {Aa;bB} \right);\left( {Aa,bb} \right)} \right\}\)

Vậy\({\rm{ }}P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\)

Hướng dẫn: Viết tập hợp \(\Omega \) và các tập hợp \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\].

Lời giải

Ta có bảng sau:

\(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {{\rm{3}};2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right)} \right\}\)

Số phần tử của \(\Omega \) là \(15;n\left( \Omega \right) = 15\)

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\) là:\(E = \left\{ {\left( {3;2} \right);\left( {2;3} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{15}}\)

Ta có: \(F = \left\{ {\left\{ {(1;1);(1;2);(2;1);(1;3);(3;1);(2;2);(4;1)} \right\}} \right\}\)\( \Rightarrow P\left( {\;F} \right) = \frac{7}{{15}}\)

Ta có: \({\rm{G}} = \left\{ {(1;2);(2;1);(2;2);(2;3);(3;2);(4;1);(4;2);(4;3);(5;2)} \right\}\).

Tập hợp \(G\) có 9 phần tử. Vậy \(P\left( G \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}{\rm{. }}\)

Ta có:\(\Omega = \{ 22;24;29;42;44;49;92;94;99\} \). Số phần tử của \(\Omega \) là 9.

a) Ta có: \(A = \left\{ {24;44;92} \right\}\). Tập hợp \(A\) có 3 phần tử. Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

b) Ta có: \(B = \left\{ {29} \right\}\). Tập hợp \(B\) có 1 phần tử. Vậy\(P\;\left( B \right) = \frac{1}{9}.\)

Hướng dẫn: Viết tập hợp các phần tử của không gian mẫu bằng cách liệt kê các kết quả.

Lời giải

Kí hiệu ba bạn An, Bình, Châu là \(A,B,C\). Có các cách xếp ba bạn vào dãy ghế:

\[\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)\].

Vậy \[\Omega = \left\{ {\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}\]. Số phần tử của \(\Omega \) là 6.

a) Ta có: \(E = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}\). Vậy \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

b) Ta có: \[F = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {C,A,B} \right)} \right\}\]. Vậy \(P\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn: Xem Ví dụ 7. Số phần tử của tập hợp \(\Omega \) là 6 .

Lời giải

Ta có: \(\Omega = \){Hùng - Dũng; Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt; Dung - Nguyệt}.

\({\rm{E}} = \){Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt\(\} \). Vậy \(P\left( E \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Ta có: \({\rm{F}} = \){Hùng - Dung; Dũng - Dung; Dung - Nguyệt\(\} \). Vậy \(P\left( F \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) Kí hiệu quả cầu đen, trắng thứ tự là Đ, T.

Ta có bảng sau:

Không gian mẫu có 6 phần tử.

b) Ta có: . Vậy \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\[F = \left\{ {\left( {{\rm{T}};{\rm{B}}} \right);\left( {{\rm{T}};{\rm{C}}} \right)} \right\}.{\rm{ }}\]Vậy \[P\;\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]

a) Kí hiệu \(T\) là màu trắng, là màu đỏ và \(V\)là màu vàng.

Không gian mẫu . Số kết quả có thể xảy ra là \(n\left( \Omega \right) = 4\)

b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên 4 kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.

Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là nên \(n\left( A \right) = 1\).

Xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}\).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là \(\left( {{\rm{T}},{\rm{B}}} \right)\) và \(\left( {B,V} \right)\) nên \(n\left( B \right) = 2\).

Xác suất của biến cố B là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập hợp \(E\) , tập hợp \(F\).

Lời giải

a) Ta có bảng sau:

\(\Omega = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)} \right\}.\)

Số phần tử của \(\Omega \) là \(16;n\left( \Omega \right) = 16\)

Ta có \(E = \left\{ {\left( {1;4} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;2} \right);\left( {4;1} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 4 \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}\)

b) Ta có: \[F = \left\{ {(1;4);(2;2);(4;1)} \right\} \Rightarrow n\;\left( F \right) = 3 \Rightarrow P\;\left( F \right) = \frac{3}{{16}}\].

Ta có bảng sau:

Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 16\).

Lời giải

a) Ta có: \(A = \left\{ {(1;1);(1;3);(3;1);(3;3)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 4\). Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}\].

b) Ta có: \(B = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(3;1)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 5\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{16}}\).

Nhận xét: Em hãy tính \(P\left( C \right)\), với C là biến cố: “Kết quả là một số chẵn”.

Đáp số: \(P\left( C \right) = \frac{3}{4}\).