13 bài tập Xác suất của biến cố (có lời giải)
13 câu hỏi
Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là vàng và xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội A và allele lặn a. Hình dạng gạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội \(B\) và allele lặn \(b\). Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cặp gene của cây con được lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố và cây mẹ có kiểu hình là “hạt vàng nhăn”. Hỏi xác suất để cây con có kiểu hình như cây bố và cây mẹ là bao nhiêu?
Ta có bảng sau:
Dạng hạt
Màu hạt | \(BB\) | \(Bb\) | \(bB\) | \(bb\) |
\(AA\) | \(\left( {AA;BB} \right)\) | \(\left( {AA;Bb} \right)\) | \(\left( {AA;bB} \right)\) | \(\left( {AA;bb} \right)\) |
\(Aa\) | \[\left( {Aa;BB} \right)\] | \(\left( {Aa;Bb} \right)\) | \(\left( {Aa;bB} \right)\) | \(\left( {Aa;bb} \right)\) |
Gọi \(E\) là biến cố “cây con có hạt vàng nhăn”. Ta có: \[E = \left\{ {\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa;bb} \right)} \right\}\].
Có hai kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\).
\(\Omega = \left\{ {\left( {AA,BB} \right);\left( {AA,Bb} \right);\left( {AA;bB} \right);\left( {AA,bb} \right);\left( {Aa,BB} \right);\left( {Aa,Bb} \right);\left( {Aa;bB} \right);\left( {Aa,bb} \right)} \right\}\)
Vậy\({\rm{ }}P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\)
Tấm bìa cứng A hình tròn được chia thành 3 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số \(1;2;3\) và tấm bìa cứng B hình tròn được chia thành 5 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số \(1;2;3;4;5\). Trục quay của A và B được gắn mũi tên ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa A, bạn Bình quay tấm bìa B. Quan sát xem mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa. (Xem hình vẽ).
Tính xác suất của các biến cố sau:
\(E\): “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng 6”;
\(F\): “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn 5”;
\(G\): “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào là số chẵn”.
Hướng dẫn: Viết tập hợp \(\Omega \) và các tập hợp \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\].
Lời giải
Ta có bảng sau:
A B | 1 | 2 | 3 |
1 | \(\left( {1;1} \right)\) | \(\left( {1;2} \right)\) | \(\left( {1;3} \right)\) |
2 | \(\left( {2;1} \right)\) | \(\left( {2;2} \right)\) | \(\left( {2;3} \right)\) |
3 | \(\left( {3;1} \right)\) | \(\left( {3;2} \right)\) | \(\left( {3;3} \right)\) |
4 | \(\left( {4;1} \right)\) | \(\left( {4;2} \right)\) | \(\left( {4;3} \right)\) |
5 | \(\left( {5;1} \right)\) | \(\left( {5;2} \right)\) | \(\left( {5;3} \right)\) |
\(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {{\rm{3}};2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right)} \right\}\)
Số phần tử của \(\Omega \) là \(15;n\left( \Omega \right) = 15\)
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\) là:\(E = \left\{ {\left( {3;2} \right);\left( {2;3} \right)} \right\} \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{15}}\)
Ta có: \(F = \left\{ {\left\{ {(1;1);(1;2);(2;1);(1;3);(3;1);(2;2);(4;1)} \right\}} \right\}\)\( \Rightarrow P\left( {\;F} \right) = \frac{7}{{15}}\)
Ta có: \({\rm{G}} = \left\{ {(1;2);(2;1);(2;2);(2;3);(3;2);(4;1);(4;2);(4;3);(5;2)} \right\}\).
Tập hợp \(G\) có 9 phần tử. Vậy \(P\left( G \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}{\rm{. }}\)
Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ được ghi các số 2; 4 ; 9. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chũ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất các biến cố sau:
a) \(A\): “Số tạo thành chia hết cho 4”;
b) \(B\): “Số tạo thành là số nguyên tố”.
Ta có:\(\Omega = \{ 22;24;29;42;44;49;92;94;99\} \). Số phần tử của \(\Omega \) là 9.
a) Ta có: \(A = \left\{ {24;44;92} \right\}\). Tập hợp \(A\) có 3 phần tử. Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
b) Ta có: \(B = \left\{ {29} \right\}\). Tập hợp \(B\) có 1 phần tử. Vậy\(P\;\left( B \right) = \frac{1}{9}.\)
Xét ba bạn An, Bình, Châu ngồi trên một dãy ghế có ba chỗ ngồi. Tính xác suất các biến cố sau:
a) \(E\): “An không ngồi ngoài cùng bên phải”;
b) \(B\): “Bình và Châu ngồi cạnh nhau”.
Hướng dẫn: Viết tập hợp các phần tử của không gian mẫu bằng cách liệt kê các kết quả.
Lời giải
Kí hiệu ba bạn An, Bình, Châu là \(A,B,C\). Có các cách xếp ba bạn vào dãy ghế:
\[\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)\].
Vậy \[\Omega = \left\{ {\left( {A,B,C} \right);\left( {A,C,B} \right);\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}\]. Số phần tử của \(\Omega \) là 6.
a) Ta có: \(E = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {B,C,A} \right);\left( {C,A,B} \right);\left( {C,B,A} \right)} \right\}\). Vậy \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
b) Ta có: \[F = \left\{ {\left( {B,A,C} \right);\left( {C,A,B} \right)} \right\}\]. Vậy \(P\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Tính xác suất của các biến cố sau:
\(E\): “Trong hai bạn được chọn, có một bạn nam và một bạn nữ”;
\(F\): “Trong hai bạn được chọn có bạn Dung”;
Hướng dẫn: Xem Ví dụ 7. Số phần tử của tập hợp \(\Omega \) là 6 .
Lời giải
Ta có: \(\Omega = \){Hùng - Dũng; Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt; Dung - Nguyệt}.
\({\rm{E}} = \){Hùng - Dung; Hùng - Nguyệt; Dũng - Dung; Dũng - Nguyệt\(\} \). Vậy \(P\left( E \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Ta có: \({\rm{F}} = \){Hùng - Dung; Dũng - Dung; Dung - Nguyệt\(\} \). Vậy \(P\left( F \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng 2 quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng 3 tấm thẻ \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\).
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Xét các biến cố sau:
\(E\): “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”;
\(F\): “Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A”.
Tính \[P\left( E \right);P\left( F \right)\].
a) Kí hiệu quả cầu đen, trắng thứ tự là Đ, T.
Ta có bảng sau:
Tấm thẻ Qủa cầu | A | B | C |
1 |
|
|
|
2 | \(\left( {T;A} \right)\) | \(\left( {T;B} \right)\) | \(\left( {T;C} \right)\) |
Không gian mẫu có 6 phần tử.
b) Ta có: . Vậy \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\[F = \left\{ {\left( {{\rm{T}};{\rm{B}}} \right);\left( {{\rm{T}};{\rm{C}}} \right)} \right\}.{\rm{ }}\]Vậy \[P\;\left( F \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
Hộp thứ nhất đựng 1 quả bóng trắng, 1 quả bóng đỏ. Hộp thứ hai đựng 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả bóng.
a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể cảy ra của phép thử.
b) Biết rằng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hãy tính xác suất của mỗi biến cố sau:
\(A\): “2 quả bóng lấy ra có cùng màu”;
\(B\): “Có đúng 1 quả bóng màu đỏ trong 2 quả bóng lấy ra”.
a) Kí hiệu \(T\) là màu trắng, là màu đỏ và \(V\)là màu vàng.
Không gian mẫu . Số kết quả có thể xảy ra là \(n\left( \Omega \right) = 4\)
b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên 4 kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.
Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là nên \(n\left( A \right) = 1\).
Xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{4}\).
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là \(\left( {{\rm{T}},{\rm{B}}} \right)\) và \(\left( {B,V} \right)\) nên \(n\left( B \right) = 2\).
Xác suất của biến cố B là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm bốn hình quạt bằng nhau, đánh số 1 ; 2 ; 3 ; 4 và được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm (hình vẽ).
Bạn Tuấn quay tấm bìa hai lần, quan sát và ghi lại số hình quạt mà mũi tên chỉ vào. Tính xác suất của các biến cố:
a) \(E\): “Tổng hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 5”;
b) \(F\): “Tích hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 4”.
Hướng dẫn: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và các phần tử của tập hợp \(E\) , tập hợp \(F\).
Lời giải
a) Ta có bảng sau:
Lần 1 Lần 2 | 1 | 2 | 3 |
1 | \(\left( {1;1} \right)\) | \(\left( {1;2} \right)\) | \(\left( {1;3} \right)\) |
2 | \(\left( {2;1} \right)\) | \(\left( {2;2} \right)\) | \(\left( {2;3} \right)\) |
3 | \(\left( {3;1} \right)\) | \(\left( {3;2} \right)\) | \(\left( {3;3} \right)\) |
4 | \(\left( {4;1} \right)\) | \(\left( {4;2} \right)\) | \(\left( {4;3} \right)\) |
\(\Omega = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)} \right\}.\)
Số phần tử của \(\Omega \) là \(16;n\left( \Omega \right) = 16\)
Ta có \(E = \left\{ {\left( {1;4} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;2} \right);\left( {4;1} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 4 \Rightarrow P\left( E \right) = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}\)
b) Ta có: \[F = \left\{ {(1;4);(2;2);(4;1)} \right\} \Rightarrow n\;\left( F \right) = 3 \Rightarrow P\;\left( F \right) = \frac{3}{{16}}\].
Có hai túi I và II, mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1 ; 2 ; 3 ; 4. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) \(A\): “Kết quả là một số lẻ”; b) \(B\): “Kết quả là 1 hoặc một số nguyên tố”.
Ta có bảng sau:
Túi I Túi II | 1 | 2 | 3 |
1 | \(\left( {1;1} \right)\) | \(\left( {1;2} \right)\) | \(\left( {1;3} \right)\) |
2 | \(\left( {2;1} \right)\) | \(\left( {2;2} \right)\) | \(\left( {2;3} \right)\) |
3 | \(\left( {3;1} \right)\) | \(\left( {3;2} \right)\) | \(\left( {3;3} \right)\) |
4 | \(\left( {4;1} \right)\) | \(\left( {4;2} \right)\) | \(\left( {4;3} \right)\) |
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 16\).
Lời giải
a) Ta có: \(A = \left\{ {(1;1);(1;3);(3;1);(3;3)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 4\). Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}\].
b) Ta có: \(B = \left\{ {(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(3;1)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 5\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{16}}\).
Nhận xét: Em hãy tính \(P\left( C \right)\), với C là biến cố: “Kết quả là một số chẵn”.
Đáp số: \(P\left( C \right) = \frac{3}{4}\).
Một bó hoa gồm 3 bông hoa màu đỏ và 1 bông hoa màu vàng. Bạn Linh chọn ngẫu nhiên 2 bông hoa từ bó hoa đó.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Linh có thể thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố:
\(R\): “Trong 2 bông hoa được chọn ra, có đúng 1 bông hoa màu đỏ”;
\(F\): “Trong 2 bông hoa được chọn ra, có ít nhất 1 bông hoa màu đỏ”.
Hướng dẫn: Chọn hai bông không phân biệt thứ tự như Ví dụ 12 , ta lập một tập con của tập hợp 4 phần tử.
Kí hiệu các phần tử đã cho là và \(V\) thứ tự là ba bông hoa màu đỏ và một bông hoa màu vàng.
Lời giải
a) Kí hiệu và \(V\)thứ tự là ba bông hoa màu đỏ và một bông hoa màu vàng.
Chọn ngẫu nhiên hai bông, ta có tập hợp \(A\) gồm các phần tử sau:
b) Ta có: R=Ð1;V;Ð2;V;Ð3;V⇒nR=3.
Theo câu a), ta có: \(n\left( \Omega \right) = 6\). Vậy \(P\left( R \right) = \frac{{n\left( R \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.{\rm{ }}\)
Tập hợp \(T = \Omega \). Vậy \(P\left( T \right) = 1\).
Một hộp chứa 5 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng màu trắng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Biết xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là 0,25 . Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng màu trắng.
Gọi \(n\) là số quả bóng màu trắng có trong hộp. Số cách chọn ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp là \(n + 5\).
Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng có cùng khả năng được chọn.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là 5 nên xác suất của biến cố này là \(\frac{5}{{n + 5}}\).
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{5}{{n + 5}} = 0,25\) hay \(n + 5 = 20\), ta được \(n = 15\). Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.
Một hộp đựng 20 viên bi đỏ và xanh có cùng kích thước, khối lượng. Tìm số viên bi mỗi màu, biết rằng xác suất của biến cố \(A\): “Lấy được bi đỏ” khi thực hiện phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi là \(P\left( A \right) = 0,6\).
Gọi \(n\) là số viên bi đỏ trong hộp. Ta có: \(n\left( A \right) = n \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{n}{{20}}\).
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{n}{{20}} = 0,6 \Rightarrow n = 12\). Vậy có 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh.
Hình vẽ là biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua. Lấy ngẫu nhiên một học sinh trong số này.
Tính xác suất của các biến cố:
a) Lấy được một học sinh nữ lớp 9 .
b) Lấy được một học sinh lớp 6.
c) Lấy được một học sinh nam lớp 7 hoặc lớp 8.
Tổng số học sinh: \(\left( {3 + 4} \right) + \left( {8 + 5} \right) + \left( {6 + 4} \right) + \left( {9 + 7} \right) = 46\). Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 46\).
a) \(A\): “Lấy được một học sinh nữ lớp 9” \[ \Rightarrow n\left( A \right) = 7 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{46}}\].
b) \(B\): “Lấy được một học sinh lớp 6” \( \Rightarrow {\rm{n}}\left( {\rm{B}} \right) = 3 + 4 = 7\)\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{{46}}\)
c) \(C:\) “Lấy được môt học sinh nam lóp 7 hoặc lớp 8”
\( \Rightarrow n\left( C \right) = 8 + 6 = 14 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14}}{{46}} = \frac{7}{{23}}\)
