13 Bài tập Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = x² trên khoảng (–∞; 0).

Lấy x₁, x₂ tùy ý sao cho x₁ < x₂, ta có: f(x₁) – f(x₂) = x₁² – x₂² = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂)

Do x₁ < x₂  nên x₁ – x₂ < 0 và do x₁, x₂ thuộc (–∞; 0) nên x₁ + x₂ < 0.

Từ đó suy ra: f(x₁) – f(x₂) > 0 hay f(x₁) > f(x₂)

Do đó, khi x₁ < x₂   thì f(x₁) > f(x₂)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:

+ Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).

+ Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).

+ Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số f(x) = 4 – 3x có tập xác định D = ℝ.

Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc D sao cho x₁ > x₂ ta có: f(x_1­) – f(x₂) = (4 – 3x₁) – (4 – 3x₂) = 3x₂ – 3x₁ = 3(x₂ – x₁)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₂ – x₁  < 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) < 0 ⇒ f(x_1­) < f(x₂)

Do đó, khi x₁ > x₂ thì f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số ngịch biến trên (43; +∞).​​

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số f(x) = 4x + 5​​

Chọn x₁, x₂ tùy ý thuộc ​​ (–∞; 2)​​ sao cho x₁ > x₂ ta có: f(x_1­) – f(x₂) = (4x₁ + 5) – (4x₂ + 5) = 4x₁ – 4x₂ = 4(x₁ – x₂)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₁ – x₂ > 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) > 0 ⇒ f(x_1­) > f(x₂)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5​​ đồng biến trên khoảng ​​ ​​(–∞; 2).

Chọn x₁, x₂ tùy ý thuộc ​​ (2; +∞)​​ sao cho x₁ > x₂ ta có: f(x_1­) – f(x₂) = (4x₁ + 5) – (4x₂ + 5) = 4x₁ – 4x₂ = 4(x₁ – x₂)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₁ – x₂ > 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) > 0 ⇒ f(x_1­) > f(x₂)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5​​ đồng biến trên khoảng ​​ ​​(2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số f(x) = 3x

Chọn x₁, x₂ tùy ý thuộc ​​(0; +∞)​​ sao cho x₁ > x₂ ta có: f(x_1­) – f(x₂) = 3x₁  – 3x₂ = 3(x₁ – x₂)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₁ – x₂ > 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) > 0 ⇒ f(x_1­) > f(x₂)

Do đó, hàm số f(x) = 3x đồng biến trên khoảng ​​(0; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –0,5x có tập xác định D = ℝ.

Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc D sao cho x₁ > x₂ ta có:

f(x_1­) – f(x₂) = (– 0,5x₁) – (– 0,5x₂) = 0,5(x₂ – x₁)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₂ – x₁  < 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) < 0 ⇒ f(x_1­) < f(x₂)

Do đó, khi x₁ > x₂ thì f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số không đồng biến trên (0; 10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –0,5x có tập xác định D = ℝ.

Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc D sao cho x₁ > x₂ ta có:

f(x_1­) – f(x₂) = (– 0,5x₁) – (– 0,5x₂) = 0,5(x₂ – x₁)

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₂ – x₁  < 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) < 0 ⇒ f(x_1­) < f(x₂)

Do đó, khi x₁ > x₂ thì f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số không đồng biến trên (0; 10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét khoảng (0; 1) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Xét khoảng (1; 3), đồ thị hàm số vừa đi lên vừa đi xuống nên ta không xét tính đơn điệu trên khoảng này.

Xét khoảng (3; +∞), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét khoảng (2; 3) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3).

Xét khoảng (0; 1) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải, do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).

Xét khoảng (–1; 0) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0).

Xét khoảng (3; +∞) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét khoảng (2; 4) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải, do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4).

Từ đồ thị, ta dễ dàng nhận ra các đáp án còn lại sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x có tập xác định D = ℝ

Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc (–1; 0) sao cho x₁ > x₂ ta có: f(x_1­) – f(x₂) = x₁ – x₂

Ta có: x₁ > x₂ ⇒ x₁ – x₂  > 0 ⇒ f(x_1­) – f(x₂) > 0 ⇒ f(x_1­) > f(x₂)

Do đó, khi x₁ > x₂ thì f(x_1­) > f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên (–1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = 2x² có tập xác định D = ℝ

Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc D sao cho x₁ > x₂ ta có:

f(x₁) – f(x₂) = 2x₁­² – 2x₂² = 2(x₁­² – x₂²) = 2(x₁ – x₂)(x₁ + x₂)

Ta có: x₁ > x₂ nên x₁ – x₂ > 0

Khi x₁, x₂ thuộc khoảng (0; +∞) thì x₁ + x₂ > 0 nên f(x₁) – f(x₂) > 0 hay f(x₁) > f(x₂). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Khi x₁, x₂ thuộc khoảng (–∞; 0) thì x₁ + x₂ < 0 nên f(x₁) – f(x₂) < 0 hay f(x₁) < f(x₂). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = x có tập xác định D = ℝ\{–1}.

+) Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc (–∞; –1) sao cho x₁ > x₂ ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

Ta có: Khi x₁, x₂ tùy ý thuộc (–∞; –1) thì x₁ + 1 < 0, x₂ + 1 < 0

Mà x₁ > x₂ nên x₂ – x₁  < 0

Do đó, f(x_1­) – f(x₂) < 0 hay f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số \(f(x) = \frac{4}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng (–∞; –1).

+) Cho x₁, x₂ tùy ý thuộc (–1; +∞) sao cho x₁ > x₂ ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

\( = \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}\)

Ta có: Khi x₁, x₂ tùy ý thuộc (–1; +∞) thì x₁ + 1 > 0, x₂ + 1 > 0

Mà x₁ > x₂ nên x₂ – x₁  < 0

Do đó, f(x_1­) – f(x₂) < 0 hay f(x_1­) < f(x₂).

Vậy hàm số \(f(x) = \frac{4}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng (–1; +∞).