12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Đáp án đúng là: A

Đổi 10 phút = \(\frac{1}{6}\) giờ.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đầu là x (x > 0, km/h).

Vận tốc của ô tô lúc sau là x + 6 (km/h).

Thời gian ô tô dự kiến đi đến B lúc đầu là: \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

Trong 1 giờ đầu, ô tô đi được quãng đường x (km) nên quãng đường còn lại là 120 – x (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là \(\frac{{120 - x}}{{x + 6}}\) (giờ)

Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình:

\(\frac{{120 - x}}{{x + 6}}\) + 1 + \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{{120}}{x}\)

\(\frac{{120 - x}}{{x + 6}}\) + \(\frac{7}{6}\) = \(\frac{{120}}{x}\)

6x(120 – x) + 7x(x + 6) = 720(x + 6)

720x – 6x² + 7x² + 42x = 720x + 4320

x² + 42x – 4320 = 0

x² – 48x + 90x – 4320 = 0

x(x – 48) + 90(x – 48) = 0

(x – 48)(x + 90) = 0

Suy ra x = 48 (thỏa mãn) hoặc x = −90 (loại).

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 km/h.

Đáp án đúng là: A

Đổi 8 giờ 20 phút = \(\frac{{25}}{3}\)giờ

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x (x > 4, km/h).

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là x + 4 (km/h).

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: \(\frac{{80}}{{x + 4}}\) (h).

Thời gian tàu đi ngược dòng là: \(\frac{{80}}{{x - 4}}\) (h).

Thời gian cả đi lẫn về hết 8 giờ 20 phút (\(\frac{{25}}{3}\) giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{{80}}{{x + 4}} + \frac{{80}}{{x - 4}} = \frac{{25}}{3}\)

240(x – 4) + 240(x + 4) = 25(x – 4)(x + 4)

240x – 960 + 240x + 960 = 25x² – 400

25x² − 480x – 400 = 0

25x² – 500x + 20x – 400 = 0

25x(x – 20) + 20(x – 20) = 0

(x – 20)(25x + 20) = 0

Suy ra x = 20 (thỏa mãn) hoặc x = \(\frac{{ - 4}}{5}\) (loại).

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h.

Đáp án đúng là: C

Đổi 6 giờ 45 phút = 6,75 giờ.

Gọi thời gian của người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là x (x > 0, giờ)

Quãng đường xa đạp đi được sau 2 giờ là: 2.10 = 20 (km).

Thời gian còn lại đến điểm gặp sau 2 giờ là: x – 2 (giờ)

Quãng đường còn lại của người đi xe đạp đi từ A sau 2 giờ là: 10(x – 2) (km).

Quãng đường người đi từ B đến điểm gặp là 14(x – 2) (km).

Theo đề, hai địa điểm A và B cách nhau 56 km nên ta có phương trình:

20 + 10(x – 2) + 14(x – 2) = 56

24x = 84

x = 3,5 (thỏa mãn)

Do đó, thời gian từ lúc người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là 3,5 giờ hay 3 giờ 30 phút.

Suy ra thời gian hai người đó gặp nhau là: 6,75 + 3,5 = 10,25 (giờ) hay 10 giờ 15 phút.

Khoảng cách từ điểm gặp tới A là: 10.3,5 = 35 (km).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 15 phút và cách A 35 km.

Đáp án đúng là: C

Đổi 8 giờ 30 phút = 8,5 giờ.

Quãng đường mà xe máy đi được từ khi bắt đầu đến khi ô tô khởi hành là:

40(8,5 – 7) = 60 (km).

Gọi x là thời gian để hai xe gặp nhau (x > 0, km/h).

Quãng đường xe máy đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 40x (km).

Quãng đường mà ô tô đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 60x (km).

Hai xe đi cùng chiều và cùng vị trí xuất phát nên quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp xe bằng nhau, do đó ta có: 40x + 60 = 60x

Suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ 30 phút + 3 giờ = 11 giờ 30 phút.

Đáp án đúng là: D

Gọi số học sinh của lớp 8A là x (x ∈ ℕ^*, học sinh).

Số học sinh lớp 8B là: 94 – x (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 8A là 25%x = 0,25x (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 8B là: 20% (94 – x) = 18,8 – 0,2x (học sinh).

Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21 nên ta có phương trình:

0,25x + 18,8 – 0,2x = 21

0,05x = 2,2

x = 44 (thỏa mãn)

Do đó, số học sinh lớp 8A là 44 học sinh, số học sinh lớp 8B là 40 học sinh.

Đáp án đúng là: A

Gọi số sản phẩm mà mỗi ngày tổ phải làm theo quy định là x (x ∈ ℕ^*, sản phẩm).

Thời gian tổ hoàn thành công việc theo quy định là: \(\frac{{600}}{x}\) (ngày)

Thời gian tổ làm 400 sản phẩm theo quy định là: \(\frac{{400}}{x}\) (ngày).

Sau khi tăng năng xuất, mỗi ngày tổ làm số sản phẩm là: x + 10 (sản phẩm).

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) (ngày).

Vì sau khi tăng năng suất, tổ hoàn thành sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1\)

\(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\)

200(x + 10) – 200x = x(x + 10)

x² + 10x – 2000 = 0

x² – 40x + 50x – 2000 = 0

x(x – 40) + 50(x – 40) = 0

(x – 40)(x + 50) = 0

Do đó x = 40 (thỏa mãn) hoặc x = −50 (loại).

Vậy số sản phẩm tổ dự định làm trong 1 ngày là 40 sản phẩm.

Đáp án đúng là: A

Gọi số lớn là x (0 < x < 19).

Số bé là 19 – x.

Theo đề, tổng các bình phương của chúng bằng 185 nên ta có phương trình:

x² + (19 – x)² = 185

x² + x² – 38x + 361 –185 = 0

2x² – 38x + 176 = 0

2x² – 16x – 22x + 176 = 0

2x(x – 8) – 22(x – 8) = 0

(x – 8)(2x – 22) = 0

Suy ra x = 8 hoặc x = 11.

Do x là số lớn nên x = 11.

Vậy số lớn là 11.

>

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (x > 0, m).

Chiều rộng mảnh vườn là: \(\frac{{40}}{x}\) (m).

Chiều dài mới khi tăng thêm 2 m là: x + 2 (m).

Chiều rộng khi giảm 1 m là: \(\frac{{40}}{x}\) − 1 (m).

Theo đề, nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích không đổi nên ta có phương trình:

(x + 2) \(\left( {\frac{{40}}{x} - 1} \right)\) = 40

40 – x + \(\frac{{80}}{x}\) −2 = 40

x² + 2x – 80 = 0

x² – 8x + 10x – 80 = 0

x(x – 8) + 10(x – 8) = 0

(x – 8)(x + 10) = 0

Suy ra x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = −10 (loại).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 8 m.

Đáp án đúng là: A

Có 60% = \(\frac{3}{5}\).

Gọi số học sinh khá của khối 7 là x (x ∈ ℕ^*, x < 270 học sinh).

Số học sinh khá của khối 8 là: 270 – x (học sinh).

Theo đề, \(\frac{3}{4}\) số học sinh khá của khối 7 bằng 60% số học sinh khá của khối 8 nên ta có phương trình: \(\frac{3}{4}\)x = \(\frac{3}{5}\)(270 – x)

\(\frac{3}{4}\)x = 162 − \(\frac{3}{5}\)x

\(\frac{{27}}{{20}}\)x = 162

x = 120 (thỏa mãn).

Vậy số học sinh khá khối 7 là 120 học sinh, số học sinh khá khối 8 là 150 học sinh.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi số xe lúc đầu của đoàn là x (x ∈ ℕ^*, chiếc).

Số xe của đoàn lúc sau là: x + 3 (chiếc)

Lúc đầu mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(\frac{{480}}{x}\) (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(\frac{{480}}{{x + 3}}\) (tấn).

Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe phải chở ít hơn 8 tấn nên ta có phương trình \(\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8\)

480(x + 3) – 480x = 8x(x + 3)

480x + 1440 – 480x = 8x² + 24x

8x² + 24x − 1440 = 0

8x² – 96x + 120x – 1440 = 0

8x( x – 12) + 120(x – 12) = 0

(x – 12)(8x + 120) = 0

Suy ra x – 12 = 0 hoặc 8x + 120 = 0.

Do đó, x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = −15 (loại).

Vậy lúc đầu đoàn có 12 chiếc xe.

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x (x > 0, km/h).

Vận tốc của người đi xe máy là: 2,5x (km/h).

Thời gian của người đi xe đạp là: \(\frac{{50}}{x}\) (h).

Thời gian của người đi xe máy là : \(\frac{{20}}{x}\) (h).

Do xe máy đi sau 1 giờ 30 phút ( = 1,5h) và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình: \(\frac{{50}}{x}\) = \(\frac{{20}}{x}\) + 1,5 + 1

\(\frac{{100}}{{2x}} = \frac{{40}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}} + \frac{{2x}}{{2x}}\)

100 = 40 + 5x

5x = 60

x = 12 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h.

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (x ∈ ℕ^*, chiếc).

Số xe khi sắp khởi hành là: x + 2 (chiếc).

Ban đầu, mỗi xe phải chở số hàng là: \(\frac{{96}}{x}\) (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số hàng là: \(\frac{{96}}{{x + 2}}\) (tấn).

Vì thêm 2 xe nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Do đó, ta có phương trình:

\(\frac{{96}}{x} - \frac{{96}}{{x + 2}} = 1,6\)

96(x + 2) – 96x = 1,6x(x + 2)

96x + 192 – 96x = 1,6x² + 3,2x

1,6x² + 3,2x – 192 = 0

1,6x² – 16x + 19,2x – 192 = 0

1,6x(x – 10) + 19,2(x – 10) = 0

(x – 10)(1,6x + 19,2) = 0

Do đó x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = −12 (loại).

Vậy ban đầu có 12 xe.