12 bài tập Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có lời giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ 2.

Giải phương trình, ta có:

\(\frac{4}{{x - 1}} = \frac{x}{{x - 2}}\) suy ra \(\frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Suy ra 4(x – 2) = x(x – 1) hay x² – 5x + 8 = 0.

Ta có: ∆ = 5² – 4.8 = 25 – 32 = −6 < 0.

Do đó, phương trình x² – 5x + 8 = 0 vô nghiệm.

Vậy phương trình \(\frac{4}{{x - 1}} = \frac{x}{{x - 2}}\) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 4.

Giải phương trình, ta có: \(\frac{{11}}{x} = \frac{9}{{x + 1}} + \frac{2}{{x - 4}}\)

\(\frac{{11.\left( {x + 1} \right).\left( {x - 4} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right).\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{9x\left( {x - 4} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right).\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right).\left( {x - 4} \right)}}\)

11(x + 1)(x – 4) = 9x(x – 4) + 2x(x + 1)

11(x² – 3x – 4) = 9x² – 36x + 2x² + 2x

11x² – 33x – 44 = 11x² – 34x

x – 44 = 0

x = 44 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là x = 44.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x - 2}} - 3 + x = \frac{1}{{x - 2}}\)

\(\frac{{x - 1 + \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\)

x – 1 + (x + 3)(x – 2) = 1

x – 1 + x² + x – 6 – 1 = 0

x² + 2x – 8 = 0

x² – 2x + 4x – 8 = 0

x(x – 2) + 4(x – 2) = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

Suy ra x + 4 = 0 hoặc x – 2 = 0 khi x = −4 (thỏa mãn) hoặc x = 2 (loại).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −4.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 5 và x ≠ −5.

Ta có: \(\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{15}}{{50 - 2{x^2}}} = \frac{7}{{6x + 30}}\)

\(\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{15}}{{2\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {x + 5} \right)}}\)

\(\frac{{9\left( {x + 5} \right)}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{15.6}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{14\left( {x - 5} \right)}}{{6\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)

9(x + 5) – 90 = 14(x – 5)

9x + 45 – 90 = 14x – 70

5x = 25

x = 5 (loại).

Vậy phương trình không có nghiệm thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: x ≠ 0, x ≠ 2 và x ≠ −2.

Ta có: \(\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0\)

\(\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\)

2x – x – 2 + x² – 6x + 8 = 0

x² – 5x + 6 = 0

x² – 2x − 3x + 6 = 0

x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Suy ra x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0 khi x = 2 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ −1 và x ≠ 3.

Ta có: \(\frac{1}{{3 - x}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{x}{{x - 3}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

\(\frac{{ - x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

−x – 1 – x + 3 = x² + x – x² + 2x – 1

2 – 2x = 3x – 1

5x = 3

x = \(\frac{3}{5}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = \(\frac{3}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Ta có: \(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{{x^3} - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\)

\(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4x – 4

3x² – 5x = 0

x(3x – 5) = 0

Suy ra x = 0 hoặc 3x – 5 = 0.

Do đó, x = 0 hoặc x = \(\frac{5}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 hoặc x = \(\frac{5}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 8, x ≠ 9, x ≠ 10, x ≠ 11.

Ta có: \(\frac{8}{{x - 8}} + \frac{{11}}{{x - 11}} = \frac{9}{{x - 9}} + \frac{{10}}{{x - 10}}\)

\(\frac{8}{{x - 8}} + 1 + \frac{{11}}{{x - 11}} + 1 = \frac{9}{{x - 9}} + 1 + \frac{{10}}{{x - 10}} + 1\)

\(\frac{x}{{x - 8}} + \frac{x}{{x - 11}} = \frac{x}{{x - 9}} + \frac{x}{{x - 10}}\)

\(\frac{x}{{x - 8}} + \frac{x}{{x - 11}} - \frac{x}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 10}} = 0\)

\(x\left( {\frac{1}{{x - 8}} + \frac{1}{{x - 11}} - \frac{1}{{x - 9}} - \frac{1}{{x - 10}}} \right) = 0\)

TH1: x = 0 (thỏa mãn)

TH2: \(\frac{1}{{x - 8}} + \frac{1}{{x - 11}} - \frac{1}{{x - 9}} - \frac{1}{{x - 10}} = 0\)

\(\frac{1}{{x - 8}} + \frac{1}{{x - 11}} = \frac{1}{{x - 9}} + \frac{1}{{x - 10}}\)

\(\frac{{x - 11 + x - 8}}{{\left( {x - 8} \right)\left( {x - 11} \right)}} = \frac{{x - 10 + x - 9}}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 10} \right)}}\)

\(\frac{{2x - 19}}{{\left( {x - 8} \right)\left( {x - 11} \right)}} = \frac{{2x - 19}}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 10} \right)}}\)

\(\left( {2x - 19} \right)\left( {x - 8} \right)\left( {x - 11} \right) = \left( {2x - 19} \right)\left( {x - 9} \right)\left( {x - 10} \right)\)

(2x – 19)(x² – 19x + 88) – (2x – 19)(x² – 19x + 90) = 0

(2x – 19)(x² – 19x + 88 – x² + 19x – 90) = 0

−2(2x – 19) = 0 khi 2x – 19 = 0 hay x = \(\frac{{19}}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trinh là x = \(\frac{{19}}{2}\) hoặc x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định là: x ≠ −3 và x ≠ −1.

Ta có: \(\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 3}} - 1 = 6\left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{2x + 2}}} \right)\)

\(\frac{{4x - {x^2} - 4x - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

−x² – 3 = 6x + 6 – 3x – 9

x² + 3x = 0

x(x + 3) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x + 3 = 0

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = −3 (loại).

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ −1, x ≠ 2, x ≠ −2.

Ta có: \(\frac{{x + 4}}{{x - 1}} + \frac{{x - 4}}{{x + 1}} = \frac{{x + 8}}{{x - 2}} + \frac{{x - 8}}{{x + 2}} + 6\)

\(\frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} + \frac{{x + 1 - 5}}{{x + 1}} = \frac{{x - 2 + 10}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2 - 10}}{{x + 2}} + 6\)

\(1 + \frac{5}{{x - 1}} + 1 - \frac{5}{{x + 1}} = 1 + \frac{{10}}{{x - 2}} + 1 - \frac{{10}}{{x + 2}} + 6\)

\(1 + \frac{5}{{x - 1}} + 1 - \frac{5}{{x + 1}} = 1 + \frac{{10}}{{x - 2}} + 1 - \frac{{10}}{{x + 2}} + 6\)

\(5\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) - 10\left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{ - 1}}{{x + 2}}} \right) = 6\)

\(\frac{{10}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{40}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 6\)

10(x² – 4) – 40(x² – 1) = 6(x² – 4)(x² – 1)

10x² – 40 – 40x² + 40 = 6(x⁴ – 5x² + 4)

6x⁴ + 24 = 0

Nhận thấy 6x⁴ + 24 > 0 với mọi x.

Nên phương trình đã cho vô nghiệm.

a) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 5}} = 3\).

Điều kiện xác định: x ≠ −5.

Ta có: \(\frac{{2x - 5}}{{x + 5}} = 3\)

\(\frac{{2x - 5}}{{x + 5}}\) − 3 = 0

\(\frac{{2x - 5 - 3x - 15}}{{x + 5}} = 0\)

\(\frac{{ - x - 20}}{{x + 5}} = 0\)

Suy ra −x – 20 = 0 khi x = −20 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −20.

b) \(\frac{2}{{1 + x}} = \frac{1}{{3 - 7x}}\)

Điều kiện xác định: x ≠ −1 và x ≠ \(\frac{3}{7}\).

Ta có: \(\frac{2}{{1 + x}} = \frac{1}{{3 - 7x}}\)

\(\frac{2}{{1 + x}} - \frac{1}{{3 - 7x}} = 0\)

\(\frac{{2\left( {3 - 7x} \right) - 1 - x}}{{\left( {1 + x} \right)\left( {3 - 7x} \right)}} = 0\)

\(\frac{{5 - 15x}}{{\left( {1 + x} \right)\left( {3 - 7x} \right)}} = 0\)

5 – 15x = 0

x = \(\frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = \(\frac{1}{3}\).

c) \(\frac{4}{{x - 1}} - \frac{5}{{x - 2}} = - 3\).

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ 2.

Ta có: \(\frac{4}{{x - 1}} - \frac{5}{{x - 2}} = - 3\)

\(\frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

4(x – 2) – 5(x – 1) = −3(x – 1)(x – 2)

4x – 8 – 5x + 5 = −3x² + 9x – 6

3x² – 10x + 3 = 0

3x² – 9x – x + 3 = 0

3x(x – 3) – (x – 3) = 0

(x – 3)(3x – 1) = 0

Suy ra x – 3 = 0 hoặc 3x – 1 = 0 khi x = 3 hoặc x = \(\frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 hoặc x = \(\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Ta có: \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

\(\frac{{1 + 3x - 6}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\)

3x – 5 = 3 – x

3x + x = 3 + 5

4x = 8

x = 2 (loại)

Vậy phương trình không có nghiệm thỏa mãn.

b) \(\frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}} = \frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}}\)

Điều kiện xác định: x ≠ \(\frac{1}{3}\) và x ≠ \( - \frac{1}{3}\).

Ta có: \(\frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}} = \frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}}\)

\(\frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

12 = (1 – 3x)² – (1 + 3x)²

9x² – 6x + 1 – 9x² − 6x – 1 = 12

−12x = 12

x = −1 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.