11 câu hỏi
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, h độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h(t) = 6t3 − 81t2 + 324t. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên.
a) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao?
b) Hãy kiểm tra lại kết quả ở câu a bằng cách đạo hàm và lập bảng xét dấu?
c) Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Trong khoảng thời gian từ \(0 - 3\) giây và \(6 - 8\) giây thì khinh khí cầu tăng dần độ cao.
Trong khoảng thời gian từ \(3 - 6\) giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.
Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăng dần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.
Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ giảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số
\[y = h(x) = - \frac{1}{{1320000}}{x^3} + \frac{9}{{3520}}{x^2} - \frac{{81}}{{44}}x + 840\] với 0 ≤ x ≤ 2000.
Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000].
Tập xác định: \(D = [0;2000]\)
\({h^\prime }(x) = - \frac{1}{{440000}}{x^2} + \frac{9}{{1760}}x - \frac{{81}}{{44}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1800}\\{x = 450}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy trên đoạn [0 ; 2000] :
Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là \((450;460,3125)\)
Tọa độ dỉnh cực đại của dãy núi là \((1800;1392,27)\)
Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất \({\rm{x}}\) sản phẩm \((0 \le \) \({\rm{x}} \le 300\) ) được cho bởi hàm số \({\rm{y}} = - {{\rm{x}}^3} + 300{{\rm{x}}^2}\) (dơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hinh vẽ .
Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm \({{\rm{y}}^\prime }\) có mối liên hệ với nhau như thế nào?
Ta có \({\rm{y}} = - {{\rm{x}}^3} + 300{{\rm{x}}^2}\) với \({\rm{x}} \in [0;300]\).
\({{\rm{y}}^\prime } = - 3{{\rm{x}}^2} + 600{\rm{x; }}{{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0{\rm{ hay x}} = 200.\)
Bảng xét dấu của \({{\rm{y}}^\prime }\) trên đoạn [0; 300] như sau:
Kết hợp với đồ thị ở Hình vẽ , ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y' mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y' mang dấu âm.
a) \({y^\prime } = {f^\prime }(x) = 0,03{x^2} - 0,08x + 0,25\)
b) Tập xác định: \(D = [0;7]\)
Ta có: \({y^\prime } = {f^\prime }(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y = f(x)\) luôn đồng biến \(\forall x \in [0;7]\)
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
a) \(v(t) = {x^\prime }(t) = 3{t^2} - 12t + 9\), \(a(t) = {v^\prime }(t) = 6t - 12\)
b) TXĐ: \[\left[ {0; + \infty } \right)\], \(a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Bảng biến thiên:
Vậy trong khoảng từ \({\rm{t}} = 0\) đến \({\rm{t}} = 2\) thì vận tốc của chất điểm giảm, từ \({\rm{t}} = 2\) trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng
Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t= 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau: v(t)=0,001302t3-0,09029t2 + 23, (v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m) (Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012).
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi \({\rm{v}}({\rm{t}}) = 0,001302{{\rm{t}}^3} - 0,09029{{\rm{t}}^2} + 23\) với \({\rm{t}} \in [0;126]\).
Gia tốc của tàu con thoi là \({\rm{a}}({\rm{t}}) = {{\rm{v}}^\prime }({\rm{t}}) = 0,003906{{\rm{t}}^2} - 0,18058{\rm{t}}\).
Ta có \({{\rm{a}}^\prime }({\rm{t}}) = 0,007812{\rm{t}} - 0,18058\)
\({{\rm{a}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} \approx 23.{\rm{ }}\)
Bảng biến thiên của hàm số \({\rm{a}}({\rm{t}})\) như sau:
Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian \((23\;{\rm{s}};126\;{\rm{s}})\) tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.
Xét hàm số: \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \({h^\prime }(t) = - 9,8t + 24,5;{h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\)
BBT
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\),
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 11 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: \(N(0) = \frac{{25.0 + 10}}{{0 + 5}} = \frac{{10}}{5} = 2\) (nghìn người)
Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: \(N(15) = \frac{{25.15 + 10}}{{15 + 5}} = 19,25\) (nghìn người)
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25t + 10}}{{t + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25 + \frac{{10}}{t}}}{{1 + \frac{5}{t}}} = 25\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t) = 25\) và nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngường 25 nghìn người.
Ta có \({\rm{V}}({\rm{T}}) = 999,87 - 0,06426\;{\rm{T}} + 0,0085043\;{{\rm{T}}^2} - 0,0000679\;{{\rm{T}}^3}\) với \({\rm{T}} \in [0;30]\). \({{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) = - 0,06426 + 0,0170086\;{\rm{T}} - 0,0002037\;{{\rm{T}}^2}\)
\({{\rm{V}}^\prime }({\rm{T}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{T}} \approx 4\) hoặc \({\rm{T}} \approx 79,5\). Vì \({\rm{T}} \in [0;30]\) nên \({\rm{T}} \approx 4\).
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy thể tích \({\rm{V}}({\rm{T}})\) giảm trong khoảng nhiệt độ
Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình 5a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở Hình vẽ. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.
a) Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x.
b) Với x đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?
a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80\[ \Leftrightarrow \]y = 80 – 2x.
Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0\[ \Leftrightarrow \]80−2x > 0\[ \Leftrightarrow \]x < 40.
Suy ra 0 < x < 40.
Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = −2x2 + 80x.
b) Ta có: S(x) = − 2x2 + 80x với x \[ \in \] (0 ; 40);
S'(x)= − 4x+80;
S'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]− 4x + 80=0\[ \Leftrightarrow \]x = 20.
Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:
Do đó, hàm số S(x) đạt cực đại tại x = 20 và SCĐ = 80.
Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 cm.
Ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)
Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \({f^\prime }(t)\) lớn nhất. Đặt \(h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).
\({h^\prime }(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\( = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} \Leftrightarrow {h^\prime }(t) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5({\rm{tm}})\)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in [0; + \infty )\):
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
