10 Bài tập Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước (có lời giải)
10 câu hỏi
Điểm I thỏa mãn IA→+2IB→=0→ là:
I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với IA=23AB;
I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ A về B với IA=23AB;
I nằm trên nửa đường thẳng song song với AB theo hướng từ B về A với IA=23AB;
I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với IA=13AB.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Theo quy tắc ba điểm, ta có: IA→+2IB→=IA→+2IA→+AB→=3IA→+2AB→.
Mà IA→+2IB→=0→
Do đó: 3IA→+2AB→=0→
⇔IA→=−23AB→⇔IA→=23BA→
Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với IA=23AB.
Điểm K thỏa mãn: KA→+2KB→=CB→ là:
K là trung điểm của BC;
K là trọng tâm của tam giác ABC;
K là trực tâm của tam giác ABC;
K là trung điểm của AB.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
KA→+2KB→=CB→
⇔KA→+2KB→−CB→=0→
⇔KA→+KB→+KB→+BC→=0→
⇔KA→+KB→+KC→=0→
Vậy K là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Điểm P thỏa mãn CP→=KA→+2KB→−3KC→ với K tùy ý là điểm thỏa mãn:
CP→=CA→+2CB→
CP→=CA→−2CB→
CP→=2CA→+2CB→
CP→=2CA→-2CB→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
CP→=KA→+2KB→−3KC→
⇔CP→=KC→+CA→+2KC→+CB→−3KC→ (quy tắc ba điểm)
⇔CP→=CA→+2CB→
Vậy tập hợp điểm P thỏa mãn CP→=CA→+2CB→.
Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn OB→+4OC→=2OD→
O là đỉnh của hình bình hành IBON với IN→=53IC→;
O là đỉnh của hình bình hành IBON với IN→=43IC→;
O là đỉnh của hình bình hành IBON với IN→=IC→;
O là đỉnh của hình bình hành IBON với IN→=23IC→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
OB→+4OC→=2OD→
⇔OB→+4OB→+BC→=2OB→+BD→ (quy tắc ba điểm)
⇔3OB→=2BD→−4BC→
⇔3OB→=2BD→−BC→−2BC→ (quy tắc trừ hai vectơ)
⇔3OB→=2BD→−4BC→
⇔3OB→=2BD→+4CB→
⇔3OB→=2CB→+BD→+2CB→
⇔3OB→=2CD→+2CB→ (quy tắc ba điểm)
⇔3OB→=4CI→ (do I là trung điểm của BD nên CD→+CB→=2CI→)
⇔OB→=43CI→
Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBON với IN→=43IC→.
Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho OB→+4OC→−2OD→=0→. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MB→+4MC→−2MD→=3MA→.
M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA;
M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DA;
M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CA;
M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
MB→+4MC→−2MD→=3MA→
⇔MO→+OB→+4MO→+OC→−2MO→+OD→=3MA→ (quy tắc ba điểm)
⇔3MO→+OB→+4OC→−2OD→=3MA→
⇔3MO→=3MA→ (do OB→+4OC→−2OD→=0→)
⇔MO→=MA→
⇔ MO = MA.
Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.
Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA→−3MB→=0→.
M nằm trên tia AB và AM = 4AB;
M nằm trên tia AB và AM = AB;
M nằm trên tia AB và AM = 3AB;
M nằm trên tia AB và AM = 2AB.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
2MA→−3MB→=0→
⇔2MA→−3MA→+AB→=0→ (quy tắc ba điểm)
⇔−MA→−3AB→=0→
⇔AM→=3AB→
Vậy M nằm trên tia AB và AM = 3AB.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Xác định điểm M sao cho: 2MA→+MB→+MC→=0→.
M là trung điểm AB;
M là trung điểm AI;
M là trung điểm BC;
M là trung điểm CI.
Đáp án đúng là: B.
Vì I là trung điểm của BC nên MB→+MC→=2MI→.
Ta có:
2MA→+MB→+MC→=0→
⇔2MA→+2MI→=0→
⇔MA→+MI→=0→.
Vậy M là trung điểm của AI.
Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định điểm P sao cho: PB→+PC→+PD→=3AP→.
P là trung điểm của AG;
P là trung điểm của AC;
P là trung điểm của AD;
P là trung điểm của AB.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm P thì PB→+PC→+PD→=3PG→.
Ta có:
PB→+PC→+PD→=3AP→
⇔PB→+PC→+PD→−3AP→=0→
⇔3PA→+PB→+PC→+PD→=0→
⇔3PA→+3PG→=0→
⇔PA→+PG→=0→.
Vậy P là trung điểm của AG.
Cho tứ giác ABCD. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định điểm N sao cho: NA→+NB→+NC→+ND→=0→.
N là trung điểm của CD;
N là trung điểm của AB;
N là trung điểm của HD;
N là trung điểm của KH.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Vì K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD nên NA→+NB→=2NK→; NC→+ND→=2NH→.
Do đó ta có:
NA→+NB→+NC→+ND→=0→
⇔2NK→+2NH→=0→
⇔NK→+NH→=0→
Vậy N là trung điểm của KH.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết MD→+ME→+MF→ cùng phương với BC→.
M thuộc đoạn PQ với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC;
M thuộc đoạn FQ với Q là trung điểm của AC;
M thuộc đoạn AD;
M thuộc đoạn ME.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét tứ giác AEMF có: EAF^=AEM^=MFA^=90°.
Do đó, AEMF là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: ME→+MF→=MA→.
Do đó ta có: MD→+ME→+MF→=MD→+MA→.
Gọi I là trung điểm của AD.
Khi đó, MD→+ME→+MF→=MD→+MA→=2MI→.
Để MD→+ME→+MF→ cùng phương với BC→ thì MI→ cùng phương với BC→
Do đó, MI→ cùng phương với PQ→ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).
Vì M nằm trong tam giác ABC.
Do đó M thuộc đoạn PQ.
