10 Bài tập Phân tích một vectơ thành hai hay nhiều vectơ cho trước (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC. Đặt AB→=a→, AC→=b→. M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích AN→ qua các vectơ a→ và b→ ta được biểu thức là:
2a→+3b→
-2a→+3b→
2a→−3b→
2a→+b→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Theo đề bài: CN = 2BC nên BN→=3BC→
Ta có:
AN→=AB→+BN→=AB→+3BC→=AB→+3AC→−AB→=−2AB→+3AC→=−2a→+3b→.
Cho tam giác ABC. Đặt AB→=a→, AC→=b→. M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích MN→ qua các vectơ a→ và b→ ta được biểu thức là:
−73a→+3b→
−13a→+3b→
−23a→+3b→
−53a→+3b→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Theo đề bài:
AB = 3AM nên AM→=13AB→⇒MA→=−13AB→
CN = 2BC nên BN→=3BC→
Ta có:
AN→=AB→+BN→=AB→+3BC→=AB→+3AC→−AB→=−2AB→+3AC→=−2a→+3b→
MN→=MA→+AN→=−13a→−2a→+3b→=−73a→+3b→.
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN. Phân tích vectơ BN→ qua các vectơ AB→ và AC→.
BN→= 2328AB→+1528AC→;
BN→= −2328AB→−1528AC→;
BN→= −2328AB→+1528AC→;
BN→= 2328AB→−1528AC→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Theo đề bài ta có:
BM→=34BC→ và AN→=57AM→
Ta có:
AM→=AB→+BM→=AB→+34BC→=AB→+34AC→−AB→=14AB→+34AC→
BN→=BA→+AN→=−AB→+57AM→=−AB→+5714AB→+34AC→=−2328AB→+1528AC→
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích vectơ GC→ qua các vectơ GA→ và GB→.
GC→= GA→+GB→;
GC→= −GA→−GB→;
GC→= −GA→+GB→;
GC→= GA→−GB→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Theo đề bài ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên
GA→+GB→+GC→=0→⇔GC→=−GA→−GB→.
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN. G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích vectơ MN→ qua các vectơ GA→ và GB→.
MN→= 12GA→+17GB→;
MN→= 17GA→+17GB→;
MN→= 27GA→−17GB→;
MN→= 12GA→+27GB→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Theo đề bài ta có:
BM→=34BC→ và MN→=−27AM→.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→⇔GC→=−GA→−GB→
Ta có:
AM→=AB→+BM→=AB→+34BC→=AB→+34AC→−AB→=14AB→+34AC→
MN→=−27AM→=−2714AB→+34AC→
=−114GB→−GA→−314GC→−GA→
=−114GB→−GA→−314−GA→−GB→−GA→
=12GA→+17GB→.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. Biểu diễn vectơ AN→ qua các vectơ AB→ và AC→.
AN→= −AC→+12AB→;
AN→= AC→+12AB→;
AN→= −AC→−12AB→;
AN→= AC→−12AB→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên CN→=12CD→.
Mà ABCD là hình bình hành nên AB→=DC→⇔AB→=−CD→.
Do đó, CN→=−12AB→.
Theo quy tắc ba điểm ta có: AN→=AC→+CN→=AC→−12AB→.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ MN→ qua các vectơ AB→ và AC→.
MN→= 56AB→−2AC→;
MN→= 56AB→+AC→;
MN→= −56AB→+AC→;
MN→= −56AB→−AC→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên MA→=−13AB→.
Ta có: AN→=AC→+CN→=AC→−12AB→
Do đó ta có: MN→=MA→+AN→=−13AB→+AC→−12AB→=−56AB→+AC→.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ AG→ qua các vectơ AB→ và AC→ ta được AG→=abAB→+cdAC→ với ab và cd là các phân số tối giản. Khi đó ta có: ab+cd=?
1118
518
13
−118
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên AM→=13AB→.
Ta có: AN→=AC→+CN→=AC→−12AB→.
G là trọng tâm tam giác MNB nên ta có:
3AG→=AM→+AN→+AB→=13AB→+AC→−12AB→+AB→=56AB→+AC→
⇔AG→=518AB→+13AC→.
Do đó ab=518 và cd=13.
Suy ra ab+cd=518+13=1118.
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ AB→ theo hai vectơ AK→=u→ và BM→=v→ ta được biểu thức là:
23u→−12v→;
23u→+12v→
23u→−23v→
23u→+23v→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
AB→=AK→+KB→=AK→+KM→+MB→
Mà KM→=−12AB→ (vì MK là đường trung bình của tam giác ABC)
Do đó:
AB→=AK→−12AB→−BM→
⇔AB→+12AB→=AK→−BM→
⇔32AB→=AK→−BM→
⇔AB→=23AK→−23BM→=23u→−23v→.
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2IC→=3BI→. Phân tích vectơ AI→ theo hai vectơ AB→ và AC→.
35AB→+15AC→;
35AB→−15AC→
35AB→+25AC→
35AB→−25AC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: 2IC→=3BI→
⇔2AC→−AI→=3AI→−AB→
⇔2AC→−2AI→=3AI→−3AB→
⇔5AI→=3AB→+2AC→
⇔AI→=35AB→+25AC→.
