10 bài tập Góc giữa hai mặt phẳng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) φ = 30°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z = 0 và (β): x + z + \(\sqrt 3 \) = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
Khi đó \(\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) φ = 45°.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): 8x – 4y – 8z – 11 = 0 và (Q): \(\sqrt 2 x - \sqrt 2 y + 7 = 0\) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {8; - 4; - 8} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\sqrt 2 + 4.\sqrt 2 - 8.0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) φ = 45°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y – z – 11 = 0 và (Q): 2x + 2y – 2z + 7 = 0 bằng
0°;
45°;
180°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \). Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \). Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
60°;
120°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Do \(\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ > 90^\circ \) φ = 180° - 120° = 60°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + 2y – z – 3 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.
\( - \frac{4}{9}\);
\(\frac{4}{9}\);
\(\frac{2}{3}\);
\( - \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y − z + 2 = 0 và (Q): 2x − y – z + 4 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{6}\).
Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng
60°;
135°;
45°;
90°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow n \left( {1; - 1;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) α = 45°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – 6 = 0 và (Q). Biết rằng điểm H(2; −1; −2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng
45°;
60°;
30°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) ((P), (Q)) = 45°.
