10 bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Vì Oy (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 6 + t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 12 = 0. Tìm sin của góc giữa d và (P).
0°;
1;
0;
90°.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = - \overrightarrow n \) nên d (P) (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2022 = 0. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\sin \alpha = \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng
60°;
45°;
90°;
0°.
Đáp án đúng là: C
Ta có OA (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian Oxyz, hãy tính số đo góc α giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0.
30°;
60°;
150°;
120°.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\) α = 30°.
Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa đường thẳng chứa trục Oy và mặt phẳng (P): 4x – 3y + \(\sqrt 2 z\) - 7 = 0 bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;\sqrt 2 } \right)\). Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.4 + 1.\left( { - 3} \right) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 2y + 1 = 0 và (β): x – 2z – 3 = 0. Tính góc φ giữa d và (P).
φ = 30°;
φ = 45°;
φ = 60°;
φ = 90°.
Đáp án đúng là: C
Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó \[\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] φ = 60°.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z – 6 = 0. Giá trị của sin(d, (P)) bằng
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{7}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{{42}}\);
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; −3) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 5}}{2}\). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
11°;
10°;
21°;
12°.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\) 3x – 6y + 2z + 6 = 0.
Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)\), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 6} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{21}}\)
(d, (ABC)) ≈ 11°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
60°;
120°;
150°;
30°.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
(d, (P)) = 30°.
