10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây đúng ?
AK→=14AB→+16AC→
AK→=12AB→+16AC→
AK→=13AB→+16AC→
AK→=14AB→+13AC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do M là trung điểm AB nên AM→=12AB→.
Vì NC = 2NA nên AN→=13AC→.
Ta có:
AK→=12AM→+AN→ (vì K là trung điểm của MN)
=1212AB→+13AC→
=14AB→+16AC→
Vậy AK→=14AB→+16AC→.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
OA→+OB→+OC→+OD→=0→
OA→+OB→+OC→+OD→=AB→
OA→+OB→+OC→+OD→=AC→
OA→+OB→+OC→+OD→=BC→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
OA→+OB→+OC→+OD→
=OA→+OB→+OC→+OD→
=2OE→+2OF→ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)
=2(OE→+OF→)=2.0→=0→ (do O là trung điểm của EF).
Vậy OA→+OB→+OC→+OD→=0→.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
MA→+MB→+MC→+MD→=MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=2MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=3MO→
MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
OA→+OB→+OC→+OD→
=OA→+OB→+OC→+OD→
=2OE→+2OF→ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)
=2(OE→+OF→)=2.0→=0→ (do O là trung điểm của EF)
Do đó, ta có:
MA→+MB→+MC→+MD→
=MO→+OA→+MO→+OB→+MO→+OC→+MO→+OD→ (quy tắc ba điểm)
=4MO→+OA→+OB→+OC→+OD→=4MO→.
Vậy MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→.
Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. Và điểm O sao cho OA→+OB→+OC→=OH→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
OH→=2OG→
OH→=3OG→
OH→=-OG→
OH→=OG→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC thì với O là một điểm bất kì ta luôn có OA→+OB→+OC→=3OG→.
Do đó ta có: OH→=OA→+OB→+OC→=3OG→.
Vậy OH→=3OG→.
Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Biểu thức OB→+OC→ bằng biểu thức nào dưới đây?
2OH→ +HD→
OH→+HD→
3OH→+HD→
-OH→+HD→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ABD^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB.
Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
Do đó, BD // CH.
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành
⇒HB→+HC→=HD→ (quy tắc hình bình hành)
Ta có: OB→+OC→=OH→+HB→+OH→+HC→ (quy tắc ba điểm)
=2OH→+(HB→+HC→)=2OH→+HD→.
Vậy OB→+OC→ = 2OH→+ HD→.
Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Tính HA→−HB→−HC→.
2OA→
OA→
3OA→
-OA→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ABD^=90o (hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB
MÀ CH vuông góc với AB vì H là trực tâm
Do đó, BD // CH
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành.
⇒HB→+HC→=HD→ (quy tắc hình bình hành)
Ta có: HA→−HB→−HC→=HA→−HB→+HC→=HA→−HD→=DA→=2OA→ (do A đối xứng với D qua O nên O là trung điểm của AD).
Vậy HA→−HB→−HC→=2OA→.
Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
MA→+MB→+MC→=MD→−ME→−MF→
MA→+MB→+MC→=MD→+ME→−MF→
MA→+MB→+MC→=MD→−ME→+MF→
MA→+MB→+MC→=MD→+ME→+MF→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
Do F là trung điểm của AB nên MA→+MB→=2MF→.
Do D là trung điểm của BC nên MB→+MC→=2MD→.
Do E là trung điểm của AC nên MC→+MA→=2ME→.
Từ đó, ta có:
MA→+MB→+MB→+MC→+MC→+MA→=2MF→+2MD→+2ME→
⇔2(MA→+MB→+MC→)=2(MF→+MD→+ME→)
⇔MA→+MB→+MC→=MD→+ME→+MF→.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Đẳng thức nào sau đây đúng.
AC→+BD→=IJ→
AC→+BD→=2 IJ→
AC→+BD→=JI→
AC→+BD→=2JI→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Theo quy tắc ba điểm ta có: AC→=AI→+IJ→+JC→; BD→=BI→+IJ→+JD→
Mà I và J là trung điểm của AB, CD nên ta có: AI→+BI→=0→; JC→+JD→=0→
Nên ta có:
AC→+BD→=AI→+BI→+JC→+JD→+2IJ→=2IJ→.
Vậy AC→+BD→=2IJ→.
Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt không thẳng hàng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính: 2AB→+AI→+JA→+DA→=?
3DB→
2DB→
DB→
4DB→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét tam giác BCD có:
I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD
Do đó, IJ lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD
⇒JI→=12DB→.
Ta có:
2AB→+AI→+JA→+DA→
=2DA→+AB→+JA→+AI→
=2DB→+JI→ (quy tắc ba điểm)
=2DB→+2JI→
=2DB→+2.12DB→
=3DB→.
Vậy 2AB→+AI→+JA→+DA→=3DB→.
Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, I là trung điểm của AM. Tính 2OA→+OB→+OC→=?
OI→
2OI→
3OI→
4OI→
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, do đó IB→+IC→=2IM→
Vì I là trung điểm của AM nên IA→+IM→=0→.
Ta có:
2OA→+OB→+OC→
=2OI→+IA→+OI→+IB→+OI→+IC→ (quy tắc ba điểm)
=4OI→+2IA→+IB→+IC→
=4OI→+2IA→+2IM→
=4OI→+2(IA→+IM→)
=4OI→+2.0→=4OI→.
Vậy 2OA→+OB→+OC→=4OI→.
