10 Bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I, J thỏa mãn: IA→=2IB→, 3JA→+2JC→=0→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
A, B, G;
A, C, G;
A, I, G;
I, J, G.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G nằm trong tam giác ABC, do đó ba điểm A, B, G và A, C, G không thể thẳng hàng.
+ Vì IA→=2IB→ nên A, I, B thẳng hàng và I không phải trung điểm AB nên A, I, G không thẳng hàng.
+ Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên:
JA→+JB→+JC→=3JG→
⇔2JA→+2JB→+2JC→=6JG→
Mà:3JA→+2JC→=0→⇒2JC→=−3JA→
Nên:2JA→+2JB→−3JA→=6JG→
⇔2JB→=6JG→+JA→
Mặt khác:IA→=2IB→⇔IJ→+JA→=2IJ→+2JB→
Mà 2JB→=6JG→+JA→ nên ta lại có:
IJ→+JA→=2IJ→+6JG→+JA→
⇔IJ→=−6JG→
Vậy I, J, G thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P thỏa mãn: MA→+MB→=0→, 3AN→−2AC→=0→, PB→=2PC→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
M, N, P;
A, M, B;
A, N, C;
M, N, B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
3AN→−2AC→=0→
⇔3AM→+3MN→−2AP→−2PC→=0→ (quy tắc ba điểm)
⇔AM→+3MN→+2PM→−2PC→=0→
Mà: AM→=MB→ và 2PC→=PB→ nên ta có:
AM→+3MN→+2PM→−2PC→=0→
⇔MB→+3MN→+2PM→+BP→=0
⇔MP→+3MN→+2PM→=0
⇔3MN→=MP→.
Vậy M, N, P thẳng hàng.
Cho điểm A, B, C sao cho:CA→−2CB→=0→ . Cho điểm M bất kỳ trong mặt phẳng và gọi MN→là vectơ định bởi MN→=MA→−2MB→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
M, N, A;
M, B, A;
M, N, C;
A, N, B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
CA→−2CB→=0→⇔CA→−CB→=CB→⇔BA→=CB→
⇔BC→+CA→=CB→⇔CA→−2CB→=0→
Mặt khác ta có:
MN→=MA→−2MB→=MC→+CA→−2MC→+CB→=−MC→+CA→−2CB→=−MC→
⇒MN→=−MC→
Vậy M, N, C thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên đoạn BC lấy điểm H, trên đoạn BD lấy điểm K sao cho: BH = CH, DK = 2BK. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
A, K, H;
A, B, C;
A, K, C;
B, K, H.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
AK→=AB→+BK→=AB→+13BD→=AB→+13AD→−AB→=23AB→+13AD→
⇒3AK→=2AB→+AD→ (1)
Lại có:AH→=AB→+BH→=AB→+12BC→
Do ABCD là hình bình hành nên ta có:BC→=AD→
Do đó, ta có: AH→=AB→+12AD→⇒2AH→=2AB→+AD→(2)
Từ (1) và (2) ⇒3AK→=2AH→⇔AK→=23AH→
Vậy A, K, H thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: BH→=15BC→, BK→=16BD→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
A, K, H;
A, B, C;
A, K, C;
B, K, H.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
AK→=AB→+BK→=AB→+16BD→=AB→+16AD→−AB→=56AB→+16AD→
⇒6AK→=5AB→+AD→(1)
AH→=AB→+BH→=AB→+15BC→
Do ABCD là hình bình hành nên ta có:BC→=AD→
Do đó, ta có: AH→=AB→+15AD→⇒5AH→=5AB→+AD→ (2)
Từ (1) và (2) ⇒6AK→=5AH→⇔AK→=56AH→
Vậy A, K, H thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có M, N, P thỏa mãn: MB→=3MC→, NA→+3NC→=0→, PA→+PB→=0→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
A, B, C;
M, N, A;
M, N, P;
B, N, C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
PA→+PB→=0→⇔−AP→+PB→=0⇔−AP→+AB→−AP→=0→⇔AP→=12AB→
NA→+3NC→=0→⇔−AN→+3AC→−AN→=0→⇔4AN→=3AC→⇔AN→=34AC→
MB→=3MC→⇔AB→−AM→=3AC→−AM→⇔2AM→=3AC→−AB→⇔AM→=32AC→−12AB→
Do đó, có:
MP→=AP→−AM→=12AB→−32AC→+12AB→=AB→−32AC→
MN→=AN→−AM→=34AC→−32AC→+12AB→=12AB→−34AC→
⇒MP→=2MN→
Vậy M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm I sao cho: IC→−IB→+IA→=0→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
I, G, C;
I, G, A;
I, A, B;
I, G, B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên có:
IA→+IB→+IC→=3IG→⇔IA→+IC→=3IG→−IB→
Theo bài ra ta có:IC→−IB→+IA→=0→
⇔IC→+IA→−IB→=0→
⇔3IG→−IB→−IB→=0→
⇔3IG→=2IB→⇔IG→=23IB→
Vậy I, G, B thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có điểm I nằm trên cạnh AC sao cho BI→=34AC→−AB→, J là điểm thỏa mãn BJ→=12AC→−23AB→. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
I, J, C;
I, J, B;
I, A, B;
I, G, B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:BJ→=12AC→−23AB→
BI→=34AC→−AB→=32.12AC→−32.23AB→=3212AC→−23AB→=32BJ→
Do đó, BI→=32BJ→
Vậy B, I, J thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có điểm D sao cho: BD→=23BC→và I là trung điểm của AD. Gọi M là điểm thỏa mãn AM→=xAC→ với x là số thực. Để B, I, M thẳng hàng thì x = ?
1;
2;
52;
25.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Vì I là trung điểm AD nên có:
BI→=12BA→+BD→=12BA→+23BC→=12BA→+13BC→
AM→=xAC→⇔BM→−BA→=xBC→−BA→⇔BM→=1−xBA→+xBC→
Ba điểm B, I, M thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho
BM→=kBI→
⇔(1−x)BA→+xBC→=k2BA→+k3BC→
⇔1−x−k2BA→+x−k3BC→=0→
⇔1−x−k3=0x−k2=0
⇔x=25k=65
Vậy x = 25 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC sao cho 3AE = 2AC. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng ?
D, E, I;
D, E, C;
A, I, E.
D, E, A;
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: DI→=DC→+CI→⇔DI→=DC→+12CB→(1)
Lại có: CE→=13CA→=13CD→+DA→=13CD→+CB→
Và DE→=DC→+CE→=DC→+13CD→+13CB→=23DC→+13CB→=23DC→+12CB→ (2)
Từ (1) và (2) ⇒DE→=23DI→
Vậy D, E, I thẳng hàng.
