Tạo đề online từ PDF/Word Trộn đề thi Nhập mã Ngân hàng đề thi

Bài giảng Toán 11 Công thức lượng giác

Bài giảng

Bài giảng Toán 11 Công thức lượng giác

A

AdminToánLớp 1136 lượt thi

Bắt đầu ngay

Bắt đầu ngay

67 câu hỏi

Hiển thị đáp án

1. Slide nội dung

• 1 điểm

TOÁN 11 – KNTT
GV: …….
Lớp: …….

2. Slide nội dung

• 1 điểm

KHỞI ĐỘNG
Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu
đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một
thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt
thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời
gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ),
tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và
pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

3. Slide nội dung

• 1 điểm

CHƯƠNG I. HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. CÔNG THỨC
LƯỢNG GIÁC

4. Slide nội dung

• 1 điểm

1 Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản

Mục tiêu 2
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá
trị lượng giác

5. Slide nội dung

• 1 điểm

NỘI DUNG BÀI HỌC

1 Công thức cộng

2 Công thức nhân đôi

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

6. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

7. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ1
𝜋 𝜋
a) Cho 𝑎 = ; 𝑏 = , hãy chứng tỏ cos (𝑎 – 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
4 6

Giải:
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 6+ 2
Ta có: 𝑎−𝑏 = − = nên 𝑐𝑜𝑠 (𝑎−𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 =
4 6 12 12 4
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑎 .𝑐𝑜𝑠 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛 𝑎.𝑠𝑖𝑛 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 .𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 .𝑠𝑖𝑛
4 6 4 6
2 3 2 1 6 2 6+ 2
= . + . = + =
2 2 2 2 4 4 4

Vậy cos (𝑎 – 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏

8. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ1
b) Bằng cách viết 𝑎 + 𝑏 = 𝑎−(−𝑏) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính
cos 𝑎 + 𝑏

Giải:

Ta có: cos (𝑎 + 𝑏) = cos [𝑎 –(–𝑏)] = cos 𝑎 cos (–𝑏) + sin 𝑎 sin (–𝑏)

Mà cos (–𝑏) = cos 𝑏, sin (–𝑏) = –sin 𝑏 (hai góc đối nhau).

Do đó cos (𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 . (–sin 𝑏)

= cos 𝑎 cos 𝑏 – sin 𝑎 sin 𝑏

9. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ1
𝜋 𝜋
c) Bằng cách viết 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝑎−𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 −𝑎 +𝑏 và sử dụng
2 2

công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin 𝑎 – 𝑏 .

Giải:
𝜋 𝜋
Ta có: 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 − 𝑎−𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 −𝑎 +𝑏
2 2
𝜋 𝜋
= 𝑐𝑜𝑠 −𝑎 .𝑐𝑜𝑠 𝑏−𝑠𝑖𝑛 −𝑎 .𝑠𝑖𝑛 𝑏
2 2

= 𝑠𝑖𝑛 𝑎 .𝑐𝑜𝑠 𝑏−𝑐𝑜𝑠 𝑎.𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝜋 𝜋
(do cos −𝑎 = sin 𝑎 ;𝑠𝑖𝑛 −𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ).
2 2

Vậy sin (𝑎 – 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 – cos 𝑎 sin 𝑏.

10. Slide nội dung

• 1 điểm

cos a−b = cos a cos b + sin a sin b
cos a + b = cos a cos b−sin a sin b

Công thức: sin (a−b) = sin a cos b−cos a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
tan a −tan b
tan (a−b) =
1+tan a tan b
tan a +tan b
tan (a + b) =
1−tan a tan b

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

11. Slide nội dung

• 1 điểm

𝜋
a) cos 75° ; b) 𝑡𝑎𝑛
Ví dụ 1 Không dung máy tính, hãy tính: 12

Giải

𝑎) cos 75° = 𝑐𝑜𝑠 45° + 30° = 𝑐𝑜𝑠45°𝑐𝑜𝑠30°−𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛30°

2 3 2 1 6− 2
= . − . =
2 2 2 2 4

𝑡𝑎𝑛 𝜋 −𝑡𝑎𝑛 𝜋 2
𝜋 𝜋 𝜋 3 4 3−1 3−1
b) 𝑡𝑎𝑛 = 𝑡𝑎𝑛 − = 𝜋 𝜋 = = = 2− 3
12 3 4 1 + 𝑡𝑎𝑛 .𝑡𝑎𝑛 1+ 3 3−1
3 4

12. Slide nội dung

• 1 điểm

Chứng minh rằng 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝜋
Ví dụ 2
4

Giải

Ta có:
𝜋 𝜋 𝜋 2 2
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥. + 𝑐𝑜𝑠𝑥.
4 4 4 2 2

= 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

Đẳng thức được chứng minh.

13. Slide nội dung

• 1 điểm

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝜋
4

b) 𝑡𝑎𝑛 𝜋
−𝑥 = 1 −𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜋 3𝜋
𝑥 ≠ + 𝑘𝜋;𝑥 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍
4 1+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 4

Giải
a) Ta có:
𝜋 𝜋 𝜋
𝑉𝑃 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥− = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛
4 4 4
2 2
= 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 . − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 .
2 2

= 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑉𝑇 (đpcm).

14. Slide nội dung

• 1 điểm

LUYỆN TẬP 1: Chứng minh rằng:
a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝜋
4

b) 𝑡𝑎𝑛 𝜋
−𝑥 = 1 −𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜋 3𝜋
𝑥 ≠ + 𝑘𝜋;𝑥 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍
4 1+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 4

Giải
𝜋
𝑡𝑎𝑛 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥
b) Ta có: 𝜋 4
𝑉𝑇 = 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = 𝜋 = 𝑉𝑃
4 1 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥
4

𝜋
(do 𝑡𝑎𝑛 = 1)
4

15. Slide nội dung

• 1 điểm

VẬN DỤNG 1 Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải

Ta có: 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 (𝑡) = 5𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 5𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 5(𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 )
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được:
𝜋
𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 2(𝑠𝑖𝑛 1+
4
𝜋
Do đó, 𝑓 𝑡 = 5 2𝑠𝑖𝑛 𝑡+
4

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ
𝜋
âm 𝑘 = 5 2 và pha ban đầu của sóng âm là 𝜑 = .
4

16. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

17. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ2 Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:
sin 2𝑎; cos 2𝑎; tan 2𝑎.

Giải

• sin 2𝑎 = sin 𝑎 + 𝑎 = sin 𝑎 cos 𝑎 + cos 𝑎 sin 𝑎

= sin 𝑎 cos 𝑎 + sin 𝑎 cos 𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎.
• cos 2𝑎 = cos (𝑎 + 𝑎) = cos 𝑎 cos 𝑎 – sin 𝑎 sin 𝑎 = cos2 𝑎 – sin2 𝑎

Mà sin2 𝑎 + cos2 𝑎 = 1, suy ra sin2 𝑎 = 1 – cos2 𝑎 và cos2 𝑎 = 1 – sin2 𝑎

Do đó, cos 2𝑎 = cos2 𝑎 – sin2 𝑎 = 2cos2 𝑎 – 1 = 1 – 2sin2 𝑎.

18. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ2 Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:
sin 2𝑎; cos 2𝑎; tan 2𝑎.

Giải

• tan 2𝑎 = tan (𝑎 + 𝑎)

tan 𝑎 + tan 𝑎
=
1− tan 𝑎 tan 𝑎

2 tan 𝑎
=
1− tan2 𝑎

19. Slide nội dung

• 1 điểm

KẾT LUẬN

Công thức nhân đôi

𝑠𝑖𝑛 2𝑎 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎
2 2
𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = cos 𝑎 − sin 𝑎
2 2
= 2 cos 𝑎 −1 = 1−2 sin 𝑎
2 𝑡𝑎𝑛 𝑎
𝑡𝑎𝑛 2𝑎 = 2
1− tan 𝑎

20. Slide nội dung

• 1 điểm

−1 𝜋
Ví dụ 3 Cho 𝑐𝑜𝑠𝑎 = < 𝑎 < 𝜋 . Tính sin2𝑎
3 2

Giải

𝜋
Vì 2 < 𝑎 < 𝜋 nên sin𝑎 > 0.

2
2 1 1 8 2 2
Do đó sin𝑎 = 1−𝑐𝑜𝑠 𝑎 = 1− − = 1− = =
3 9 9 3

2 2 1 4 2
Vậy sin2𝑎 = 2sin𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎 = 2. 3 . − 3 = − 9

21. Slide nội dung

• 1 điểm

Công thức hạ bậc

1 + cos 2a 1− cos 2a
cos a =
2 sin a =
2
2 2

22. Slide nội dung

• 1 điểm

LUYỆN TẬP 2: Không dùng máy tính, cos
π
8
tính
Giải

2 π π 2π
= cos = cos 2. = 2 cos −1
Ta có: 2 4 8 8

2π 2 2π 2+ 2
Suy ra 2 cos = 1 + ⇒ cos =
8 2 8 4

π π 2+ 2
Vì cos > 0 nên suy ra cos =
8 8 2

23. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

24. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ3

a) Từ các công thức cộng cos (𝑎 + 𝑏) và cos (𝑎 –𝑏) hãy tìm:

cos 𝑎 cos 𝑏; sin 𝑎 sin 𝑏

b) Từ các công thức cộng sin (𝑎 + 𝑏) và sin 𝑎 – 𝑏 , hãy tìm:

sin 𝑎 cos 𝑏.

25. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

a) Ta có: cos (𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 – sin 𝑎 sin 𝑏 (1);

cos (𝑎 – 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 (2).

Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:

cos (𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 – 𝑏) = 2 cos 𝑎 cos 𝑏
1
cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos (𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 – 𝑏)]
Từ đó suy ra: 2
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được:

cos (𝑎 – 𝑏) – cos (𝑎 + 𝑏) = 2 sin 𝑎 sin 𝑏.
1
sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos (𝑎 – 𝑏) – cos (𝑎 + 𝑏)]
Từ đó suy ra: 2

26. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

b) Ta có:

sin (𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 (3)

sin (𝑎 – 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 – cos 𝑎 sin 𝑏 (4)

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:

sin 𝑎 + 𝑏 + sin (𝑎 –𝑏) = 2sin 𝑎 cos 𝑏

Từ đó suy ra:
1
sin 𝑎 cos 𝑏 = [sin (𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 – 𝑏)]
2

27. Slide nội dung

• 1 điểm

KẾT LUẬN

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos (𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 – 𝑏)]
2
1
sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos (𝑎 – 𝑏) – cos (𝑎 + 𝑏)]
2
1
sin 𝑎 cos 𝑏 = [sin (𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 – 𝑏)]
2

28. Slide nội dung

• 1 điểm

Ví dụ 4 Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋 7𝜋
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ; 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠75°𝑠𝑖𝑛15°
12 12

Giải

Ta có:
5𝜋 5𝜋 1 5𝜋 7𝜋 5𝜋 7𝜋
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 = 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑐𝑜𝑠 +
12 12 2 12 12 12 12

1 𝜋 1 3 3−2
= 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1 =
2 6 2 2 4

29. Slide nội dung

• 1 điểm

Ví dụ 4 Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋 7𝜋
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ; 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠75°𝑠𝑖𝑛15°
12 12

Giải

Ta có:
1
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠75°𝑠𝑖𝑛15° = 𝑠𝑖𝑛 15°−75° + 𝑠𝑖𝑛 15° + 75°
2

1 1 3 2− 3
= 𝑠𝑖𝑛 −60° + 𝑠𝑖𝑛 90° = − +1 =
2 2 2 4

30. Slide nội dung

• 1 điểm

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
LUYỆN TẬP 3: o o 5π 7π
A = cos 75 cos 15 ; B = sin cos
12 12

Giải

1 o o o o
o o = [cos 75 −15 + cos (75 + 15 )
Ta có: A = cos 75 cos 15 2

1 o o 1 1 1
= cos 60 + cos 90 = . + 0 =
2 2 2 4

31. Slide nội dung

• 1 điểm

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
LUYỆN TẬP 3: o o 5π 7π
A = cos 75 cos 15 ; B = sin cos
12 12

Giải
5π 7π 1 5π 7π 5π 7π
B = sin cos = [sin − + sin +
12 12 2 12 12 12 12
1 π 1 π
= sin − + sin π = −sin + sin π
2 6 2 6
1 1 1
= − +0 =−
2 2 4

32. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

33. Slide nội dung

• 1 điểm

HĐ4

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt 𝑢 = 𝑎 –𝑏; 𝑣 = 𝑎 + 𝑏 và
viết các công thức nhận được

Giải
1
cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos (𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 – 𝑏)] (1)
2
1
sin 𝑎 sin 𝑏 = [cos (𝑎 – 𝑏) – cos (𝑎 + 𝑏)] (2)
2
1
sin 𝑎 cos 𝑏 = [sin (𝑎 + 𝑏) + sin (𝑎 – 𝑏)] (3)
2

34. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

Đặt 𝑢 = 𝑎 –𝑏; 𝑣 = 𝑎 + 𝑏

Ta có: 𝑢 + 𝑣 = 𝑎−𝑏 + 𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 và 𝑢−𝑣 = 𝑎−𝑏 − 𝑎 + 𝑏 = −2𝑏
𝑢+𝑣 𝑢−𝑣
Suy ra 𝑎 = ;𝑏 = −
2 2
Khi đó: (1) trở thành:
𝑢+𝑣 𝑢−𝑣 1
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 − = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐𝑜𝑠 𝑣
2 2 2

𝑢+𝑣 𝑢−𝑣
⇔ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
2 2
𝑢−𝑣 𝑢−𝑣
(do 𝑐𝑜𝑠 − = 𝑐𝑜𝑠 ).
2 2

35. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

• (2) trở thành: 𝑢+𝑣 𝑢−𝑣 1
𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 − = 𝑐𝑜𝑠 𝑢−𝑐𝑜𝑠 𝑣
2 2 2
𝑢+𝑣 𝑢−𝑣
⇔ 𝑐𝑜𝑠 𝑢−𝑐𝑜𝑠 𝑣 = −2𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
2 2

−𝑢−𝑣 𝑢−𝑣
(do 𝑠𝑖𝑛 = −𝑠𝑖𝑛 )
2 2

𝑢+𝑣 −𝑢−𝑣 1
𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 = (𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑠𝑖𝑛 𝑣)
• (3) trở thành: 2 2 2
𝑢+𝑣 𝑢−𝑣
⇔ 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑠𝑖𝑛 𝑣 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
2 2

36. Slide nội dung

• 1 điểm

KẾT LUẬN Công thức biến đổi tổng thành tích
u+v u−v
cos u + cos v = 2cos cos
2 2
u+v u−v
cos u −cos v = −2sin sin
2 2
u+v u−v
sin u + sin v = 2sin cos
2 2
u+v u−v
sin u−sin v = 2cos sin
2 2

37. Slide nội dung

• 1 điểm

Ví dụ 5 Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
𝜋 4𝜋 7𝜋
A = sin −sin + sin
9 9 9

Giải

𝜋 7𝜋 4𝜋 4𝜋 𝜋 4𝜋
A = sin + sin −sin = 2𝑠𝑖𝑛 cos −sin
9 9 9 9 3 9
4𝜋 4𝜋
= sin −sin =0
9 9

38. Slide nội dung

• 1 điểm

Biến đổi tổng thành tích:
CÂU HỎI
a) cosx + cos2x + cos3x + cos4x; b) sina + sinb + sin(a + b)

Giải

a) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = cos 4x + cos x + cos 3x + cos 2x
5x 3x 5x x 5x 3x x
= 2cos cos + 2cos cos = 2cos cos + cos
2 2 2 2 2 2 2
5x x 5x x
= 4cos cos x cos = 4cos x cos cos
2 2 2 2

39. Slide nội dung

• 1 điểm

Biến đổi tổng thành tích:
CÂU HỎI
a) cosx + cos2x + cos3x + cos4x; b) sina + sinb + sin(a + b)

Giải
a+b a−b a+b a+b
sin a + sin b + sin a + b = 2sin cos + 2sin cos
b) 2 2 2 2
a+b a−b a+b a+b a b
= 2sin cos + cos = 2sin .2cos cos −
2 2 2 2 2 2
a+b a b
= 4sin cos cos
2 2 2

40. Slide nội dung

• 1 điểm

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
LUYỆN TẬP 4: 𝜋 5𝜋
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 11𝜋
9 9 9

Giải
𝜋 5𝜋 11𝜋 𝜋 11𝜋 5𝜋
Ta có: 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 = (𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 ) + 𝑐𝑜𝑠
9 9 9 9 9 9
𝜋 11𝜋 𝜋 11𝜋
+ − 5𝜋 2𝜋 5𝜋 5𝜋
= 2𝑐𝑜𝑠 9 9 𝑐𝑜𝑠 9 9 + 𝑐𝑜𝑠 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 − + 𝑐𝑜𝑠
2 2 9 3 9 9
2𝜋 5𝜋 5𝜋 1 5𝜋 5𝜋
= 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 = 2. − 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠
3 9 9 2 9 9
5𝜋 5𝜋
= −𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 = 0
9 9

41. Slide nội dung

• 1 điểm

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết
hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy
tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra
sóng âm 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 .f1𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 2𝜋.f2𝑡 ở đó 𝑡 là
biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi
nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích
của một hàm số sin và một hàm số côsin.

42. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra
có tần số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz.
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là:
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 . 770𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 2𝜋.1209𝑡 = 𝑠𝑖𝑛(1540𝜋𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(2418𝜋𝑡).
b) Ta có: 𝑠𝑖𝑛 1540𝜋𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 (2418𝜋𝑡)
1540𝜋𝑡 + 2418𝜋𝑡 1540𝜋𝑡−2418𝜋𝑡
= 2𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
2 2
= 2𝑠𝑖𝑛 (1979 𝜋𝑡)𝑐𝑜𝑠 (−439𝜋𝑡) = 2𝑠𝑖𝑛 (1979 𝜋𝑡)𝑐𝑜𝑠 (439𝜋𝑡)
Vậy ta có hàm số: 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 1979𝜋𝑡 𝑐𝑜𝑠 (439𝜋𝑡).

43. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

44. Slide nội dung

• 1 điểm

50:50

45. Slide nội dung

• 1 điểm

Key 50:50

π π π π
Câu 1. Giá trị của biểu thức cos cos + sin sin
30 5 30 5

là?

3 3
A. 𝐶.
2 4
3
𝐵. −
2 1
𝐷.
2

46. Slide nội dung

• 1 điểm

Key 50:50

tan 2250−cot 810.cot 690
Câu 2. Giá trị đúng của biểu thức
cot 2610+tan 2010

bằng

1
𝐴.
3 𝐶. 3
1
𝐵. −
3
𝐷.− 3

47. Slide nội dung

• 1 điểm

Key 50:50

Câu 3. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC.
Khi đó P = sin 2A + sin 2B + sin 2C tương đương với:

C. P = −4cos A .cos B.cos C
A. P = 4cos A.cos B.cos C

D. P = −4sin A .sin B.sin C
B. P = 4sin A .sin B.sin C

48. Slide nội dung

• 1 điểm

Key 50:50

Câu 4. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
π π
1) cos x−sin x = 2sin x + . 2) cos x−sin x = 2cos x + .
4 4
π π
3) cos x−sin x = 2sin x− . 4) cos x−sin x = 2sin −x .
4 4

B. 2 C. 3 D. 4
A. 1

49. Slide nội dung

• 1 điểm

Key 50:50

Câu 5. Rút gọn
M = cos a + b cos a−b − sin a + b sin a−b

C. M = cos 4 a
A. M = 1−2 cos a
2

B. M = 1−2 sin a
2
D. M = sin 4 a

50. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng 15° = 45o −30o, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Giải

o o o o o o o
• sin 15 = sin (45 −30 ) = sin 45 cos 30 −cos45 sin 30

2 3 2 1 6− 2
= . − . =
2 2 2 2 4
o o o o o o o
• cos 15 = cos 45 −30 = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30

2 3 2 1 6+ 2
= . + . =
2 2 2 2 4

51. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng 15° = 45o −30o, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Giải
o o 1− 3
o o o tan 45 − tan 30 3
tan 15 = tan (45 −30 ) = = = 2− 3
1 + tan 45o tan 30o 3
1 + 1.
3

o 1 1
cot 15 = o = =2+ 3
tan 15 2− 3

52. Slide nội dung

• 1 điểm

π 1 π
Tính: a) cos a + , biết sin 𝑎 = và < a < π
6 3 2
Bài 1.8 (SGK – tr21) b) tan π 1
a− , biết cos 𝑎 = − và π < a < 3π
4 3 2

Giải
π
a) Vì < a < π nên cos a < 0
2

Mặt khác, từ sin 𝑎 + cos 𝑎 = 1 suy ra
1 2 6
cos a = − 1−a = − 1− =
3 3
π 3 1 1 − 6−1 3+3 2
Ta có : cos a+ . − . = =−
6 2 3 2 2 3 6

53. Slide nội dung

• 1 điểm

π 1 π
Tính: a) cos a + , biết sin 𝑎 = và < a < π
6 3 2
Bài 1.8 (SGK – tr21) b) tan π 1
a− , biết cos 𝑎 = − và π < a < 3π
4 3 2

Giải
3π sin a
b) Vì π < a < n sin a < 0, do đó tan a = >0
2 cos a
1 1 1
Mặt khác từ 1 + a = ⇒ tan a = −1 = −1 = 2 2
a a 1 2
−
3

π tan a −tan π 2 2−1 9−4 2
Ta có : tan a− = 4
π = 1+2 2.1 =
4 1+tan a tan 7
4

54. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.9 (SGK – tr21)
Tính sin2𝑎,cos2𝑎,tan2𝑎,biết: 1 π
a) sin𝑎 = và < a < π
3 2

Giải
π
a) Vì < a < π nên cos a < 0
2
2 2 2 1 2 2 2
Mặt khác, từ sin a + cos a = 1 suy ra cos a = − 1− sin a = − 1− =−
3 3

2.1 2 2 4 2
Ta có : sin 2a = 2 sin a cos a = . − =−
3 3 9
4 2
2 1 2 7 sin 2a − 4 2
cos 2a = 1−2 sin a = 1−2. = ; tan 2a = = 7 =−
9
3 9 cos 2a 7
9

55. Slide nội dung

• 1 điểm

1 π 3π
b) sin a + cos a = và < a <
Tính sin2𝑎,cos2tan2𝑎,biết: 2 2 4

Giải

1 2 1
2
b) Ta có : sin a + cos a = 2 2
⇔ sin a + cos a + 2 sin a cos a =
2 4
1 3
⇔ 1 + sin 2a = ⇔ sin 2a = −
4 4
π 3π 3π
Vì < a < nên π < 2a < , do đó cos 2a < 0.
2 4 2

Mặt khác từ sin2 2a + cos2 2a = 1. Ta có :
3
3 2 7 sin 2a − 3 3 7
cos 2a = − 1− sin2 2a = − 1− − = − ; tan 2a = = 7= =
4 .
4 4 cos 2a − 7 7
4

56. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.10 (SGK – tr21) Tính giá trị của các biểu thức sau:

sin π cos π + sin π cos π
a) A = 15 15 10 15
cos 2π π
cos − sin 2π sin π
15 5 15 5

Giải
sin π cos π + sin π cos π sin π + π π 1
sin
a) A = 15 15 10 15 = 15 10 = 6 = 2 = 1
2π π 2π π 2π π cos π 1
cos cos − sin sin cos + 3
15 5 15 5 15 5 2

57. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.10 (SGK – tr21) Tính giá trị của các biểu thức sau:

π π π π
b) B = sin cos cos cos
32 32 16 8

Giải
π π π π 1 π π π π
b) Ta có : B = sin cos cos cos = .2sin cos cos cos
32 32 16 8 2 32 32 16 8
1 π π π 1 π π π
= sin 2. cos cos = sin cos cos
2 32 16 8 2 16 16 8
1 π π π 1 π π 1 π π
= .2sin cos cos = sin cos = .2sin cos
4 16 16 8 4 8 8 8 8 8
1 π 1 2 2
= sin = . =
8 4 8 2 16

58. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.11 (SGK – tr21) Chứng minh đẳng thức sau:
sin (a + b) sin b + a = sin2 a − sin2 b = cos2 b − cos2 a

Giải

Ta có: 1
sin (a + b) sin (a−b) = cos a + b−a + b − cos a + b + a−b
2

1 1 2 2
= cos 2b − cos 2a = 2 cos b −1 − 2 cos a −1
2 2
2 2
= cos b − cos a

Vậy sin a + b 2 2
sin (a−b) = cos b − cos a (1)

59. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

Lại có :
cos 2b − cos 2a = 2
1−2 sin b − 2
1−2 sin a =2 2 2
sin a − sin b

Do đó :
1 1
cos 2b − cos 2a = .2 sin2 a − sin2 b = sin2 a − sin2 b
2 2
Vậy sin (a + b) sin a−b 2 2
= sin a − sin b (2)
Từ (1), (2) suy ra :
sin (a + b) sin b + a 2 2 2 2
= sin a − sin b = cos b − cos a (đpcm)

60. Slide nội dung

• 1 điểm

Nội dung nhập

61. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.12 (SGK – tr21)

o o
Cho tam giác ABC có 𝐵 = 75 ,𝐶 = 45 và 𝑎 = 𝐵𝐶 = 12𝑐𝑚.
1
a) Sử dụng công thức S = ab sin C và định lí sin, hãy chứng minh
2

diện tích của tam giác ABC ho bởi công thức
2
a sin B sin C
S=
2 sin A
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng,
hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

62. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là:
a b c
= =
sin A sin B sin C
Từ đó suy ra asin B
b=
sin A
2
1 1 asin B a sin B sin C
S = ab sin C = a. . sin C =
Diện tích tam giác ABC là: 2 2 sin A 2 sin A
2
a sin B sin C
S=
Vậy 2 sin A

63. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

b) Ta có: A + B + C = 180o ⇒ A = 180o − B + C = 180o − 75o + 45o = 60o

Ta có:

2 2 o o
1 cos 75 o −45 o − cos 75 o + 45 o
a sin B sin C 12 sin 75 sin 45 2
S= = o = 144.
2 sin A 2 sin 60 3
2.
72 3 − − 1 2
o
72 cos 30 − cos 120 o
2 2
= = = 36 + 12 3
3 3

Vậy diện tích ∆ABC là 36 + 12 3

64. Slide nội dung

• 1 điểm

Bài 1.13 (SGK – tr21)
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi
công thức 𝑥(𝑡) = 𝐴.cos (𝜔𝑡 + 𝜑), trong đó 𝑡 là thời điểm (tính bằng giây), 𝑥(𝑡) là
li độ của vật tại thời điểm 𝑡, 𝐴 là biên độ dao động (𝐴 > 0) và 𝜑∈[−𝜋;𝜋] là pha
ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
𝜋 𝜋
x1 t = 2. cos 𝑡 + 𝑐𝑚
3 6
𝜋 𝜋
x2 t = 2.cos ( 𝑡− )(𝑐𝑚)
3 3

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) và sử dụng công thức biến đổi
tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

65. Slide nội dung

• 1 điểm

Giải

Dao động tổng hợp x(t) = x1 (t) + x2 (t)
π π π π π π π π
Suy ra x t = 2 cos t+ + 2 cos t− = 2 cos t+ + cos t−
3 6 3 3 3 6 3 3
π π π π π π π π
t+ + t− t+ − t−
= 2.2 cos 3 6 3 3 cos 3 6 3 3
2 2
π π π π π 2 π π
= 4 cos t− cos = 4 cos t− . =2 2 cos t−
6 12 4 6 12 2 6 12
π π
Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là x t = 2 2 cos t− với
6 12
π
biên độ A = 2 2 và pha ban đầu là φ = −
12

66. Slide nội dung

• 1 điểm

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

1. Ghi nhớ kiến thức trong bài.
2. Hoàn thành bài tập trong SBT.
3. Chuẩn bị bài mới: Bài 3. Hàm số lượng giác.

67. Slide nội dung

• 1 điểm

THANKS FOR WATCHING

Gợi ý cho bạn

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan lớp 11 (có lời giải)

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Bài tập Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (có lời giải)

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Bài tập Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (có lời giải)

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Bài tập Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng lớp 11 (có lời giải)

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Trắc nghiệm Công thức lượng giác lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

67 câu hỏi36 lượt thi

Đề thiToán - Lớp 11

Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 1