Bài tập Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Chọn câu sai.
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
.
Chọn câu đúng.
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
.
Giá trị của biểu thức \(A = cos\frac{{2\pi }}{7} + cos\frac{{4\pi }}{7} + cos\frac{{6\pi }}{7}\) bằng
\(\frac{1}{2}\);
\( - \frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{4}\);
\( - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(A = cos\frac{{2\pi }}{7} + cos\frac{{4\pi }}{7} + cos\frac{{6\pi }}{7}\)\( = \frac{{\sin \frac{\pi }{7}\left( {cos\frac{{2\pi }}{7} + cos\frac{{4\pi }}{7} + cos\frac{{6\pi }}{7}} \right)}}{{\sin \frac{\pi }{7}}}\)
\[ = \frac{{\sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{6\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}}\]
Ta có \[\sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{2\pi }}{7}\]\[ = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {\frac{\pi }{7} - \frac{{2\pi }}{7}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{7} + \frac{{2\pi }}{7}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( { - \frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{{3\pi }}{7}} \right]\]\[ = \frac{1}{2}\left( { - sin\frac{\pi }{7} + \sin \frac{{3\pi }}{7}} \right)\].
\[\sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{4\pi }}{7}\]\[ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{7} - \frac{{4\pi }}{7}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{7} + \frac{{4\pi }}{7}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - \frac{{3\pi }}{7}} \right) + \sin \frac{{5\pi }}{7}} \right]\]\[ = \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{{3\pi }}{7} + \sin \frac{{5\pi }}{7}} \right)\].
\[\sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{6\pi }}{7}\]\[ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{7} - \frac{{6\pi }}{7}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{7} + \frac{{6\pi }}{7}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - \frac{{5\pi }}{7}} \right) + \sin \pi } \right]\]\[ = \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{{5\pi }}{7} + \sin \pi } \right)\].
Do đó \[\sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7}cos\frac{{6\pi }}{7}\]
\[ = \frac{1}{2}\left( { - sin\frac{\pi }{7} + \sin \frac{{3\pi }}{7}} \right)\]\[ + \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{{3\pi }}{7} + \sin \frac{{5\pi }}{7}} \right)\]\[ + \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{{5\pi }}{7} + \sin \pi } \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( { - sin\frac{\pi }{7} + \sin \pi } \right)\]\[ = - \frac{1}{2}sin\frac{\pi }{7}\].
Do đó \[A = \frac{{ - \frac{1}{2}sin\frac{\pi }{7}}}{{sin\frac{\pi }{7}}} = - \frac{1}{2}\].
Giá trị của biểu thức \(\tan \frac{\pi }{{24}} + \tan \frac{{7\pi }}{{24}}\) bằng
\(2\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\);
\(2\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right)\);
\(2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\);
\(2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(\tan \frac{\pi }{{24}} + \tan \frac{{7\pi }}{{24}}\)\( = \frac{{\sin \frac{\pi }{{24}}}}{{cos\frac{\pi }{{24}}}} + \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{{24}}}}{{cos\frac{{7\pi }}{{24}}}}\)\( = \frac{{\sin \frac{\pi }{{24}}cos\frac{{7\pi }}{{24}} + cos\frac{\pi }{{24}}\sin \frac{{7\pi }}{{24}}}}{{cos\frac{\pi }{{24}}cos\frac{{7\pi }}{{24}}}}\)
\( = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{24}} + \frac{{7\pi }}{{24}}} \right)}}{{\frac{1}{2}\left[ {cos\left( {\frac{\pi }{{24}} - \frac{{7\pi }}{{24}}} \right) + cos\left( {\frac{\pi }{{24}} + \frac{{7\pi }}{{24}}} \right)} \right]}}\)\( = \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\frac{1}{2}\left[ {cos\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + cos\frac{\pi }{3}} \right]}}\)
\( = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2}} \right]}}\)\( = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + 1}}\)\( = 2\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)\( = 2\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\).
Cho hai góc nhọn a, b thỏa mãn \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{4}\). Giá trị của biểu thức \(P = cos(a + b)cos(a - b)\) bằng
\( - \frac{{133}}{{144}}\);
\( - \frac{{115}}{{144}}\);
\( - \frac{{117}}{{144}}\);
\( - \frac{{119}}{{144}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(P = cos(a + b)cos(a - b)\)\( = \frac{1}{2}\left\{ {cos\left[ {(a + b) - (a - b)} \right] + cos\left[ {(a + b) + (a - b)} \right]} \right\}\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {cos(2b) + cos(2a)} \right]\)\( = \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}a - 1 + 2{{\cos }^2}b - 1} \right]\)\( = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1\)
\( = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 1\)\( = - \frac{{119}}{{144}}\).
Tích số cos10°.cos30°.cos50°.cos70° bằng
\(\frac{1}{{16}}\);
\(\frac{1}{8}\);
\(\frac{3}{{16}}\);
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
cos10°×cos30°×cos50°×cos70°
= \(cos10^\circ \cdot cos30^\circ \cdot \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {50^\circ - 70^\circ } \right) + cos\left( {50^\circ + 70^\circ } \right)} \right]\)
\( = cos10^\circ \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {cos20^\circ + cos120^\circ } \right)\)
\( = cos10^\circ \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {cos20^\circ - \frac{1}{2}} \right)\)
\( = \frac{{\sqrt 3 }}{4}cos10^\circ \left( {cos20^\circ - \frac{1}{2}} \right)\)
\( = \frac{{\sqrt 3 }}{4}cos10^\circ cos20^\circ - \frac{{\sqrt 3 }}{8}cos10^\circ \)
\( = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {10^\circ - 20^\circ } \right) + cos\left( {10^\circ + 20^\circ } \right)} \right] - \frac{{\sqrt 3 }}{8}cos10^\circ \)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{1}{2}\left( {cos10^\circ + cos30^\circ } \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{8}cos10^\circ \)
\( = \frac{3}{{16}}\).
Biểu thức \(A = \frac{1}{{2\sin 10^\circ }} - 2\sin 70^\circ \) có giá trị đúng bằng
1;
−1;
2;
−2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(A = \frac{1}{{2\sin 10^\circ }} - 2\sin 70^\circ \)\( = \frac{{1 - 4\sin 70^\circ \sin 10^\circ }}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{1 - 4 \cdot \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {70^\circ - 10^\circ } \right) - cos\left( {70^\circ + 10^\circ } \right)} \right]}}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{1 - 4 \cdot \frac{1}{2}\left( {cos60^\circ - cos80^\circ } \right)}}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{1 - 4 \cdot \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - cos80^\circ } \right)}}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{1 - \left( {1 - 2cos80^\circ } \right)}}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{2cos80^\circ }}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{2cos\left( {90^\circ - 10^\circ } \right)}}{{2\sin 10^\circ }}\)
\( = \frac{{2\sin 10^\circ }}{{2\sin 10^\circ }} = 1\).
Viết biểu thức cos2xsin5xcos3x dưới dạng tổng ta được kết quả là
\(\frac{{\sin 10x - \sin 6x + \sin 4x}}{4}\);
\(\frac{{\sin 10x + \sin 6x - \sin 4x}}{4}\);
\(\frac{{\sin 10x - \sin 6x - \sin 4x}}{4}\);
\(\frac{{\sin 10x + \sin 6x + \sin 4x}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(cos2x \cdot \sin 5x \cdot cos3x = cos2x \cdot \frac{1}{2} \cdot \left[ {\sin \left( {5x - 3x} \right) + \sin \left( {5x + 3x} \right)} \right]\)
\( = cos2x \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( {\sin 2x + \sin 8x} \right)\)
\( = \frac{1}{2}cos2x\sin 2x + \frac{1}{2}cos2x\sin 8x\)
\( = \frac{1}{4}\sin 4x + \frac{1}{4}\left[ {\sin \left( {8x - 2x} \right) + \sin \left( {8x + 2x} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{4}\sin 4x + \frac{1}{4}\left( {\sin 6x + \sin 10x} \right)\)
\( = \frac{{\sin 10x + \sin 6x + \sin 4x}}{4}\).
Biểu thức bằng
sin2;
cos2;
sin;
cos.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Tính giá trị .
;
;
;
.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi M = cos(a + b)cos(a – b) – sin(a + b)sin(a −b) thì:
M = 1 – 2cos2a.
M = 1 – 2sin2a.
M = cos4a.
M = sin4a.
Đáp án đúng là: B
M = cos(a + b)cos(a – b) – sin(a + b)sin(a −b)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right] - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) - \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b - \cos 2b + \cos 2a} \right)\)
= \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \cos 2a = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).
Cho \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\). Tính \(\cos \frac{{3\alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2}\).
\(\frac{{23}}{{16}}\).
\(\frac{{21}}{{16}}\).
\(\frac{7}{{16}}\).
\(\frac{{23}}{8}\).
Đáp án đúng là: C
\(\cos \frac{{3\alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} - \frac{\alpha }{2}} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos \alpha } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1 + \cos \alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {2 \cdot \frac{9}{{16}} - 1 + \frac{3}{4}} \right) = \frac{7}{{16}}\).
\(\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) có kết quả là
\(\frac{1}{4}\cos 3x\).
\(\frac{{ - 1}}{4}\cos 3x\).
\(\frac{1}{4}\sin 3x\).
\(\frac{{ - 1}}{4}\sin 3x\).
Đáp án đúng là: A
\(\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos x \cdot \left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right]\)
\( = \cos x \cdot \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \frac{\pi }{3} - x} \right)} \right] = \cos x \cdot \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)\)
= \(\cos x \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( {\cos 2x - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\cos x \cdot \cos 2x - \frac{1}{4}\cos x\)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 2x} \right) + \cos \left( {x - 2x} \right)} \right] - \frac{1}{4}\cos x = \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) - \frac{1}{4}\cos x = \frac{1}{4}\cos 3x\)
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\).
Đáp án đúng là: D
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\).
Hệ thức nào sau đây là sai?
\(\cos 5\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\left( {\cos 7\alpha + \cos 3\alpha } \right)\).
\(\sin 5\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\left( {\sin 3\alpha + \sin 7\alpha } \right)\).
\(\sin 6\alpha \cdot \sin 2\alpha = \frac{1}{2}\left( {\cos 4\alpha - \cos 8\alpha } \right)\).
\(\cos 2\alpha \cdot \sin 5\alpha = \frac{1}{2}\left( {\sin 7\alpha - \sin 3\alpha } \right)\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos 2\alpha \cdot \sin 5\alpha = \frac{1}{2}\left( {\sin 7\alpha + \sin 3\alpha } \right)\)
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và α ∈ \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};0} \right)\).
Khi đó:
\(\sin \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 }}\).
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 6 \cdot \left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{6}\).
Giá trị của biểu thức \(A = \sin 3\alpha \cdot \cos \alpha - \frac{1}{4}\sin 4\alpha \) là \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\).
Giá trị của biểu thức \(B = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) \cdot \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) - \frac{1}{2} \cdot \sin 2\alpha \) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. sin2α + cos2α = 1 nên \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{2}{3}\).
Do α ∈ \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};0} \right)\) nên \(\sin \alpha = \frac{{ - \sqrt 6 }}{3}\).
b) Đúng. \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cdot \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \cdot \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{ - \sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
= \(\frac{{\sqrt 6 \cdot \left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{6}\).
c) Sai. \(A = \sin 3\alpha \cdot \cos \alpha - \frac{1}{4}\sin 4\alpha = \left( {\sin 3\alpha \cdot \cos \alpha } \right) - \frac{1}{4}\sin 4\alpha \)
= \(\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3\alpha + \alpha } \right) + \sin \left( {3\alpha - \alpha } \right)} \right] - \frac{1}{4}\sin 4\alpha = \frac{1}{2}\left( {\sin 4\alpha + \sin 2\alpha } \right) - \frac{1}{4}\sin 4\alpha \)
= \(\frac{1}{4}\sin 4\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha = \frac{1}{4} \cdot \left( {2\sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha } \right) + \frac{1}{2}\sin 2\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha \cdot \left( {\cos 2\alpha + 1} \right)\)
= \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1 + 1} \right) = \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot 2{\cos ^2}\alpha = 2{\cos ^3}\alpha \cdot \sin \alpha \)
= \(2 \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} \cdot \left( {\frac{{ - \sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{9}\).
d) Đúng. \(B = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) \cdot \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) - \frac{1}{2} \cdot \sin 2\alpha \)
= \(\frac{1}{2} \cdot \sin 2\alpha + \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi }{3} - \frac{1}{2} \cdot \sin 2\alpha = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Cho α thoả mãn tanα = 3 và 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\).
Khi đó:
Giá trị của \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).
Giá trị của \(A = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 4\).
Giá trị của \(B = \frac{{\sin \alpha + 5\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 6\cos \alpha }} = \frac{8}{{15}}\).
Rút gọn biểu thức C = \(\frac{{\sin 3\alpha \cdot \cos 2\alpha + \sin \alpha \cdot \cos 6\alpha }}{{\sin 4\alpha }}\) ta được \(C = \cos 3\alpha \).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).
b) Sai. Ta có \(A = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 10\).
c) Đúng. Do tanα = 3 nên cosα ≠ 0.
\(B = \frac{{\sin \alpha + 5\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 6\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{6\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha + 5}}{{3\tan \alpha + 6}} = \frac{{3 + 5}}{{3 \cdot 3 + 6}} = \frac{8}{{15}}\).
d) Đúng. C = \(\frac{{\sin 3\alpha \cdot \cos 2\alpha + \sin \alpha \cdot \cos 6\alpha }}{{\sin 4\alpha }}\)
= \(\frac{{\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3\alpha + 2\alpha } \right) + \sin \left( {3\alpha - 2\alpha } \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + 6\alpha } \right) - \sin \left( {\alpha - 6\alpha } \right)} \right]}}{{\sin 4\alpha }}\)
\( = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sin 5\alpha + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha } \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 7\alpha - \sin 5\alpha } \right)}}{{\sin 4\alpha }} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sin \alpha + \sin 7\alpha } \right)}}{{\sin 4\alpha }} = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha + \sin 7\alpha }}{{2\sin 4\alpha }}\)
= \(\frac{{\left( {\sin 7\alpha + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha } \right) \cdot \cos 3\alpha }}{{2\sin 4\alpha \cdot \cos 3\alpha }} = \frac{{\left( {\sin 7\alpha + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha } \right) \cdot \cos 3\alpha }}{{\sin 7\alpha + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha }} = \cos 3\alpha \).
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?
\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{1}{2}\cos x\).
4sinx∙sin2x∙sin3x = sin4x + sin2x – sin6x.
\(2\sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \sin 2x + \cos 2x\).
4sin3x∙sin2x∙sinx = sin6x + sin4x + sin2x.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có: \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \frac{1}{2} \cdot \cos x\).
b) Đúng. \(4\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = 4 \cdot \left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \sin 2x} \right) \cdot \sin 3x\)
= \(\)\(4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {x - 2x} \right) - \cos \left( {x + 2x} \right)} \right] \cdot \sin 3x = 2 \cdot \left( {\cos x - \cos 3x} \right) \cdot \sin 3x\)
= \(2 \cdot \cos x \cdot \sin 3x - 2 \cdot \cos 3x \cdot \sin 3x\)
= \(2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + 3x} \right) - \sin \left( {x - 3x} \right)} \right] - 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + 3x} \right) - \sin \left( {3x - 3x} \right)} \right]\)
= \(\sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\).
c) Sai. \(2\sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \left( {\cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)
= \(2\sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \left( {\cos x \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
= 2sinx∙cosx + 2sinx∙sinx = 2sinx(sinx + cosx).
d) Sai. 4sin3x∙sin2x∙sinx = −2sin2x∙(cos4x – cos2x)
= −2cos4x∙sin2x + 2sin2x∙cos2x = −(sin6x – sin2x) + sin4x
= −sin6x + sin4x + sin2x
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?
2cos2x∙cos3x = cos3x + cosx.
2sin2x∙cos\(\frac{x}{2}\) = sin3x + sin2x
\( - 2\sin \frac{{5x}}{2} \cdot \sin \frac{{3x}}{2}\) = cos4x – cosx.
2cos3x∙sin2x = sin5x – sinx.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. 2cos2x∙cos3x = 2∙\(\frac{1}{2}\)[cos(2x – 3x) + cos(2x + 3x)] = cos(x) + cos5x.
b) Sai. 2sin2x∙cos\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{1}{2} \cdot 2\left[ {\sin \left( {2x + \frac{x}{2}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{x}{2}} \right)} \right] = \sin \frac{{5x}}{2} + \sin \frac{{3x}}{2}\).
c) Đúng. \( - 2\sin \frac{{5x}}{2} \cdot \sin \frac{{3x}}{2} = - 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{{3x}}{2}} \right) - \cos \left( {\frac{{5x}}{2} + \frac{{3x}}{2}} \right)} \right]\)
= −cosx + cos4x.
d) Đúng. 2cos3x∙sin2x = \(\frac{1}{2} \cdot 2\)\(\left[ {\sin \left( {2x + 3x} \right) + \sin \left( {2x - 3x} \right)} \right] = \sin 5x - \sin x\).
Cho tam giác ABC.
Khi đó:
tanA = tan(2A + B + C).
Tam giác ABC cân khi cosB∙cosC = sinB∙sinC.
\(\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cot C\).
A= \(4\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} = \sin A + \sin B - \sin C\).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Do A, B, C là ba góc trong tam giác nên A + B + C = 180°.
Vậy ta có tan(2A + B + C) = tan(A + 180°) = tan A.
b) Sai. Ta có cosB∙cosC = sinB∙sinC
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {B - C} \right) + \cos \left( {B + C} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {B - C} \right) - \cos \left( {B + C} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos \left( {B - C} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {B + C} \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {B - C} \right) - \frac{1}{2}\cos \left( {B + C} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos \left( {B + C} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {B + C} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {B + C} \right) = 0\)
B + C = 90°.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
c) Đúng. \(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90\)°
\( \Rightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cot \left[ {90^\circ - \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right] = \cot \left[ {\left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}} \right) - \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
= cotC.
d) Sai. \(4\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right)} \right] \cdot \sin \frac{C}{2}\)
Vì A + B + C = 180 nên \(\frac{{A + B}}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}\) do đó \(\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \frac{C}{2}\).
A = \(2\left[ {\sin \frac{C}{2} + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right)} \right] \cdot \sin \frac{C}{2} = 2 \cdot {\sin ^2}\frac{C}{2} + 2 \cdot \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) \cdot \sin \frac{C}{2}\)
= \(2{\sin ^2}\frac{C}{2} + 2\cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{B}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right)\)
= 2\({\sin ^2}\frac{C}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{A + B}}{2} + \frac{{A - B}}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{A + B}}{2} - \frac{{A - B}}{2}} \right)} \right]\)
= 2\({\sin ^2}\frac{C}{2} + \cos A + \cos B\) = 1 − \(\cos C\) + cosA + cosB.
Cho biểu thức P = 4sin3xsin2xcosx. Biết biểu thức P có dạng acos2x + bcos4x + ccos6x + d. Tính giá trị của a + b + c + d bằng bao nhiêu?
Đáp án: 0
\(P = 4\sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \cos x = 4 \cdot \left( {\sin 3x \cdot \cos x} \right) \cdot \sin 2x\)
= \(4 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + x} \right) + \sin \left( {3x - x} \right)} \right] \cdot \sin 2x = 2\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) \cdot \sin 2x\)
\( = 2\sin 4x \cdot \sin 2x + 2{\sin ^2}2x = 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {4x - 2x} \right) - \cos \left( {4x + 2x} \right)} \right] + 2 \cdot \left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)\)
= \(\cos 2x - \cos 6x + 1 - \cos 4x\).
Vậy a + b + c + d = 1 – 1 – 1 + 1 = 0.
Cho biểu thức B = sin5x – 2sinx∙(cos4x + cos2x). Biết biểu thức B có dạng ksinx. Khi đó k bằng bao nhiêu?
Đáp án: 1
\(B = \sin 5x - 2\sin x \cdot \left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \sin 5x - 2\sin x \cdot \cos 4x - 2\sin x \cdot \cos 2x\)
= \( = \sin 5x - 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + 4x} \right) + \sin \left( {x - 4x} \right)} \right] - 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + 2x} \right) + \sin \left( {x - 2x} \right)} \right]\)
= \(\sin 5x - \sin 5x + \sin 3x - \sin 3x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx = sinx}}\).
Vậy k = 1.
Cho biểu thức C = \(2\sin \alpha \cdot \left( {\cos 4\alpha + \cos 2\alpha + \frac{1}{2}} \right)\). Biết biểu thức C có dạng m∙sin(k∙α). Khi đó giá trị của m + k bằng bao nhiêu?
Đáp án: 6
\(2\sin \alpha \cdot \left( {\cos 4\alpha + \cos 2\alpha + \frac{1}{2}} \right)\)
= \(2\sin \alpha \cdot \cos 4\alpha + 2\sin \alpha \cdot \cos 2\alpha + \sin \alpha \)
= \(2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + 4\alpha } \right) + \sin \left( {\alpha - 4\alpha } \right)} \right] + 2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + 2\alpha } \right) + \sin \left( {\alpha - 2\alpha } \right)} \right] + \sin \alpha \)
= \(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha + \sin 3\alpha - \sin \alpha + \sin \alpha = \sin 5\alpha \)
Vậy m + k = 1 + 5 = 6.
Cho biểu thức \(D = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - 2{\cos ^2}x\) . Khi đó giá trị của biểu thức D bằng bao nhiêu?
Đáp án: −1,5
\(D = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - 2{\cos ^2}x\)
= \(\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \left( { - 2x} \right)} \right] - 2{\cos ^2}x = \frac{{ - 1}}{2} + \cos 2x - 2{\cos ^2}x\)
\( = \frac{{ - 1}}{2} + 2{\cos ^2}x - 1 - 2{\cos ^2}x = \frac{{ - 3}}{2} = - 1,5\).
Giả sử \(E = \tan x \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\). Biết E có dạng tan(k∙x). Khi đó k bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
\(E = \tan x \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \tan x\frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}\)
\(E = \tan x\frac{{\frac{{ - 1}}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} - \cos 2x} \right)}}{{\frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)}} = \tan x\frac{{ - \left( {\frac{{ - 1}}{2} - \cos 2x} \right)}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \cos 2x}}\)
\(E = \tan x\frac{{2\cos 2x + 1}}{{2\cos 2x - 1}} = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}} \cdot \frac{{2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 1}}{{2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 1}} = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( { - 4{{\sin }^2}x + 3} \right)}}{{\cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right)}}\)
\(E = \frac{{3\sin x - 4\sin {}^3x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \tan 3x\).
