Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Rút gọn biểu thức: \[\sin \left( {a--17^\circ } \right).\cos \left( {a + 13^\circ } \right)--\sin \left( {a + 13^\circ } \right).\cos \left( {a--17^\circ } \right)\], ta được
\[\sin 2a.\]
\[\cos 2a.\]
\[ - \frac{1}{2}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Chọn C
Ta có: \[\sin \left( {a--17^\circ } \right).\cos \left( {a + 13^\circ } \right)--\sin \left( {a + 13^\circ } \right).\cos \left( {a--17^\circ } \right) = \sin \left[ {\left( {a - 17^\circ } \right) - \left( {a + 13^\circ } \right)} \right]\]
\( = \sin \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{1}{2}\).
Gọi \(M = \tan x - \tan y\) thì:
\(M = \tan \left( {x - y} \right).\)
\(M = \frac{{\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos x.\cos y}}.\)
\(M = \frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x.\cos y}}.\)
\(M = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x.\tan y}}.\)
Chọn C
Ta có: \(M = \tan x - \tan y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin \,y}}{{\cos \,y}} = \frac{{\sin x\cos \,y - \cos x\sin \,y}}{{\cos x\cos \,y}}\)\( = \frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x\cos \,y}}\).
Nếu \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2x\) bằng
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{8}\)
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\frac{{ - 3}}{4}\)
Chọn D
Ta có \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 3}}{4}\)
Biểu thức \[\frac{{1 + \sin 4\alpha - cos4\alpha }}{{1 + \sin 4\alpha + cos4\alpha }}\] có kết quả rút gọn bằng:
\[\sin 2\alpha \].
\[\cos 2\alpha \].
\[\tan 2\alpha \].
\[\cot 2\alpha \].
Chọn C
\[\frac{{1 + \sin 4\alpha - cos4\alpha }}{{1 + \sin 4\alpha + cos4\alpha }} = \frac{{2{{\sin }^2}2\alpha + 2\sin 2\alpha cos2\alpha }}{{2{{\cos }^2}2\alpha + 2\sin 2\alpha cos2\alpha }} = \frac{{2\sin 2\alpha (\sin 2\alpha + cos2\alpha )}}{{2\cos 2\alpha (\sin 2\alpha + cos2\alpha )}} = \tan 2\alpha \].
Biết \[\sin x = \frac{1}{3}\] và \({90^0} < x < {180^0}\)thì biểu thức \(\frac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\) có giá trị bằng:
\(2\sqrt 2 \).
\(\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
\( - 2\sqrt 2 \).
\(\frac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}\).
Chọn C
Ta có: \[\sin x = \frac{1}{3}\] và \({90^0} < x < {180^0}\).
\[ \Rightarrow \cos x = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\], \[\sin 2x = 2.{\mathop{\rm sinx}\nolimits} .cosx = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{9}\], \[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = \frac{7}{9}\].
thay vào biểu thức ta được: \(\frac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\)\( = \frac{{1 - \frac{{4\sqrt 2 }}{9} + \frac{7}{9}}}{{1 - \frac{{4\sqrt 2 }}{9} - \frac{7}{9}}} = - 2\sqrt 2 \).
Rút gọn biểu thức \(P = \cos \left( {120^\circ + x} \right) + \cos \left( {120^\circ - x} \right) - \cos x\) ta được kết quả là:
\(0\).
\( - \cos x\).
\( - 2\cos x\).
\(\sin x - \cos x\).
Chọn C
Ta có: \(P = 2\cos 120^\circ \cos x - \cos x\)\( = - \cos x - \cos x = - 2\cos x\).
Nếu \[\sin a - \cos a = \frac{1}{5}({135^0} < a < {180^0})\] thì giá trị đúng của \[\tan 2a\] là:
\[ - \frac{{20}}{7}\].
\[\frac{{20}}{7}\].
\[\frac{{24}}{7}\].
\[ - \frac{{24}}{7}\].
Chọn C
\[\sin a - \cos a = \frac{1}{5} \Rightarrow 1 - \sin 2a = \frac{1}{{25}} \Rightarrow \sin 2a = \frac{{24}}{{25}} \Rightarrow \cos 2a = \sqrt {1 - \frac{{576}}{{625}}} = \frac{7}{{25}}\]\[ \Rightarrow \tan 2a = \frac{{24}}{7}.\]
Nếu biết tanα=12(0<a<90°),tanb=−13(90°<b<180°) thì\[{\rm{cos(2a - b)}}\]có giá trị đúng bằng:
\[ - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[ - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Chọn A
\(\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow c{\rm{os2a = }}\frac{{1 - \frac{1}{4}}}{{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin 2a = \frac{4}{5}\)
tanb=−13(90°<b<180°)⇒cosb=−41+(−13)2=−310
\[ \Rightarrow \sin b = \tan b.\cos b = \frac{{ - 1}}{3}.\frac{{ - 3}}{{\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\]
\[ \Rightarrow cos(2a - b) = \cos 2a\cos b + \sin 2a\sin b\] \[ = \frac{3}{5}.\frac{{ - 3}}{{\sqrt {10} }}5\frac{4}{5}.\frac{1}{{\sqrt[{}]{{10}}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}.\]
Giá trị lớn nhất của \(M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) bằng
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Chọn A
Ta có \(M = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
Vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\)
\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\).
Nên giá trị lớn nhất là \(1\).
Giá trị nhỏ nhất của \(M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)là
\(0\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(1\).
Chọn C
\(M = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Một tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,B,\,C\) thỏa mãn \(\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0\) thì tam giác đó có gì đặc biệt?
Không có gì đặc biệt.
Tam giác đó vuông.
Tam giác đó đều.
Tam giác đó cân.
Chọn D
Ta có \(\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{A}{2}}} = \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}\).
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{A}{2}} \right) = \tan \frac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{B}{2}} \right) \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \frac{B}{2} \Leftrightarrow A = B\).
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
\(\frac{{{\rm{cos2}}x}}{{1 + \sin 2x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\).
\(4\sin a.\cos a(1 - 2{\sin ^2}a) = \sin 4a\).
\(\cos {\rm{ }}4a{\rm{ }} = {\rm{ }}8\cos {{\rm{ }}^4}a - 8{\cos ^2}a + 1\).
\(\cos {\rm{ }}4a - 4\cos {\rm{ }}2a + 3 = 8{\cos ^4}a\).
Chọn D
A. \(\frac{{{\rm{cos2}}x}}{{1 + \sin 2x}} = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{(\sin x + {\rm{cos}}x)}^2}}} = \frac{{{\rm{(cos}}x - \sin x)(\sin x + {\rm{cos}}x)}}{{{{(\sin x + {\rm{cos}}x)}^2}}} = \frac{{{\rm{cos}}x - \sin x}}{{\sin x + {\rm{cos}}x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\).
B. \(4\sin a.\cos a{\rm{(1 - 2si}}{{\rm{n}}^2}a{\rm{) = }}2\sin 2a.{\rm{cos2}}a{\rm{ = }}\sin 4a\).
C. \({\rm{cos 4}}a{\rm{ = 2}}{\cos ^2}2a - 1{\rm{ = 2(2}}{\cos ^2}a - 1{)^2}{\rm{ = 8cos}}{{\rm{ }}^4}a - 8{\cos ^2}a + 1\).
D. \[{\rm{cos 4}}a{\rm{ - 4cos }}2a + 3 = 2{(1 - 2{\sin ^2}a)^2} - 1 - 4(1 - 2{\sin ^2}a) + 3 = 8{\sin ^4}a\]\(\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Biết \(\sin a = \frac{8}{{17}},\tan b = \frac{5}{{12}}\) và \(a\), \(b\) là các góc nhọn. Khi đó:
a) \(\tan a = \frac{8}{{15}}\)
b) \(\sin (a - b) = \frac{{21}}{{221}}\)
c) \(\cos (a + b) = \frac{{14}}{{22}}\)
d) \(\tan (a + b) = \frac{{17}}{{14}}.\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Vì \(a,b\) là các góc nhọn nên \(\cos a > 0,\cos b > 0\).
Ta có: \(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \frac{{15}}{{17}} \Rightarrow \tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{8}{{15}}\);
\(\cos b = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}b}}} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \sin b = \cos b\tan b = \frac{5}{{13}}{\rm{. }}\)Khi đó: \(\sin (a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b = \frac{8}{{17}} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \frac{{15}}{{17}} \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{21}}{{221}}\).
\(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{{15}}{{17}} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \frac{8}{{17}} \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{140}}{{221}}\)
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{8}{{15}} + \frac{5}{{12}}}}{{1 - \frac{8}{{15}} \cdot \frac{5}{{12}}}} = \frac{{171}}{{140}}.\)
Biết \(0 < a,b < \frac{\pi }{2},a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \). Khi đó:
a) \(\tan a + \tan b = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
b) \(\tan a = - 1 + \sqrt 2 \)
c) \(\tan b = - 1 - \sqrt 2 \)
d) \(\tan a - \tan b = - 2 - 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan (a + b)(1 - \tan a\tan b)\) mà \(a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan \frac{\pi }{4}[1 - (3 - 2\sqrt 2 )] = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Đặt \(S = \tan a + \tan b;P = \tan a\tan b\).
Khi đó \(\tan a,\tan b\) là nghiệm của phương trình
\({X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - (2\sqrt 2 - 2)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow X = - 1 + \sqrt 2 {\rm{. }}\)Suy ra \(\tan a = \tan b = - 1 + \sqrt 2 \).
Biết: \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khi đó:
a) \(\sin 2\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{9}\)
b) \(\cos 2\alpha = \frac{7}{9}\)
c) \(\tan 2\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{7}\)
d) \(\cot 2\alpha = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).
\({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\\\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2}:\frac{7}{9} = \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\\\cot 2\alpha = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2}:\frac{7}{9} = \frac{{7\sqrt 2 }}{8}.\end{array}\)
Biết: cos2α=59,0°<α<90°. Khi đó:
a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}\)
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\)
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{53}}\)
d) \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: cos2α=59,0°<α<90°
\({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{28}}{{81}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {28} }}{9}\)
Vì 0°<α<90° nên \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}\)
\({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {28} }}{9}} \right)^2} = \frac{{53}}{{81}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {53} }}{{81}}\)
Vì 0°<α<90° nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\)
\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt {371} }}{{53}}\\\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}.\end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho \(\sin \alpha = - \frac{1}{3}\), với 180°<α<270°. Tính \(\cos \alpha \).
Ta có \(\sin \alpha = - \frac{1}{3} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\).Vì \({270^^\circ } < \alpha < {360^^\circ }\) nên \(\cos \alpha > 0\) do đó \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\) với \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Tính \(a + b\).
Ta có: \(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}} = 1\), suy ra \(a + b = 45^\circ \)
Biến đổi thành tổng biểu thức \(\sin x\sin 2x\sin 3x\).
Ta có: \(\sin x\sin 2x\sin 3x = (\sin 3x\sin x)\sin 2x = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)\sin 2x\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}(\sin 2x\cos 2x - \sin 2x\cos 4x) = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\sin 4x - \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 2x)} \right]\\ = \frac{1}{4}(\sin 4x - \sin 6x + \sin 2x)\end{array}\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}A&{ = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}}}\\{}&{ = \frac{{(\sin 3x + \sin x) + (\sin 4x + \sin 2x)}}{{(\cos 3x + \cos x) + (\cos 4x + \cos 2x)}} = \frac{{2\sin 2x\cos x + 2\sin 3x\cos x}}{{2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x}}}\\{}&{ = \frac{{2\cos x(\sin 2x + \sin 3x)}}{{2\cos x(\cos 2x + \cos 3x)}} = \frac{{2\sin \frac{{5x}}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2\cos \frac{{5x}}{2}\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{{5x}}{2}}\end{array}\)
Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần \({f_1}(t) = 5\sin t\) và phát lại được nốt thuần \({f_2}(t) = 5\cos t\) thì âm kết hợp là \(f(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t)\), trong đó \(t\) là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng \(f(t) = k\sin (t + \varphi )\), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm \(k\) và pha ban đầu \(\varphi ( - \pi \le \varphi \le \pi )\) của sóng âm.
Ta có: \(f(t) = = f1(t) + f2(t) = 5\sin t + 5\cos t = 5(\sin t + \cos t)\)
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được
\(\sin t + \cos t = \sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Do đó, \(f(t) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng \(f(t) = k\sin (t + \varphi )\), trong đó biên độ âm \(k = 5\sqrt 2 \) và pha ban đầu của sóng âm là \(\varphi = \frac{\pi }{4}\)
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao \(5\;m\). Từ vị trí quan sát \(A\) cao \(7\;m\) so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh \(B\) và chân \(C\) của cột ăng-ten dưới góc \(\alpha \) và \(\beta \) so với phương nằm ngang. Biết chiều cao của toà nhà là \(18,9\;m\), hai toà nhà cách nhau \(10\;m\).
a) Tính \(\tan \alpha \); b) Tính góc \(\alpha \)
a) Ta có: \(AD = 10\;m\)
\(CD = 18,9 - 7 = 11,9\;m\)
\(BD = BC + CD = 11,9 + 5 = 16,9\;m\)
\(\tan \alpha = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{16,9}}{{10}}\)
b) tanα=16,910⇒α=59°
