Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
\(\sqrt 2 \sin x\).
\( - \sqrt 2 \sin x\).
\(\sqrt 2 \cos x\).
\( - \sqrt 2 \cos x\).
Chọn B
Ta có: \(\cos (x + \frac{\pi }{4}) - \cos (x - \frac{\pi }{4}) = \, - \,2\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4}\, + \,x - \frac{\pi }{4}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4}\, - \,x + \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)\)
\( = \, - \,2\sin x.\sin \frac{\pi }{4} = \, - \,\sqrt 2 \sin x\)
\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
–\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\).
Chọn C
Ta có: \[\cos \frac{{37\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\]
\[ = \cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} - \sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{{7\pi }}{{12}} = - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\]
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn A
Ấn máy tính được đáp án\(A\).
\(M = 1.\)
\(M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(M = \frac{1}{4}.\)
\(M = 0.\)
Chọn B
\(\begin{array}{l}M = {\cos ^4}{15^{\rm{o}}} - {\sin ^4}{15^{\rm{o}}} = {\left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)^2} = \left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}} - {{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)\left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}{15^{\rm{o}}} - {\sin ^2}{15^{\rm{o}}} = \cos \left( {{{2.15}^{\rm{o}}}} \right) = \cos {30^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
–\(\frac{1}{4}\).
Chọn B
Sử dụng máy tính dễ dàng có được đáp án \(B\).
\(P = 0\).
\(P = - 1\).
\(P = \frac{1}{2}\).
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}\).
Từ \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = - \frac{1}{2}\).
Do đó \(P = \cos \left( {2\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}\)
\( = \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right).\frac{1}{2} + 2\sin \alpha \cos \alpha .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\cos ^2}\alpha - \frac{1}{2} + \sqrt 3 \sin \alpha \cos \alpha = - 1\).
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{1}{9}\].
\[\frac{1}{{12}}\].
\[A = 2\cos a.\sin b.\sin \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\sin a.\cos b.\cos \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\cos a.\cos b.\cos \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\sin a.\sin b.\cos \left( {a + b} \right).\]
Chọn D
Ta có :
\( = {\sin ^2}\left( {a + b} \right) - 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\)\( = - {\cos ^2}\left( {a + b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\)
\( = \cos \left( {a + b} \right)\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)\( = 2\sin a\sin b\cos \left( {a + b} \right)\).
\(x + y = \frac{\pi }{4}\).
\(x + y = \frac{{2\pi }}{3}\).
\(x + y = \frac{{3\pi }}{4}\).
\(x + y = \frac{{5\pi }}{6}\)
Chọn C
\(\cot x = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan x = \frac{4}{3};\,\,\cot y = \frac{1}{7} \Rightarrow \tan y = 7\). \(t = \tan \frac{x}{2} = 2\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\frac{1}{3},\,\frac{5}{3}\) hoặc ngược lại.
\(\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\) hoặc ngược lại.
\(1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) hoặc ngược lại.
\(1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hoặc ngược lại.
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = 2\\\tan \left( {a + b} \right) = 4\end{array} \right.\).
từ \(\tan \left( {a + b} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 4 \Rightarrow 2 = 4 - 4\tan a.\tan b \Rightarrow \tan a.\tan b = \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \tan a,\,\tan b\) theo thứ tự là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X + \frac{1}{2} = 0\).
\( \Rightarrow \tan a = 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\tan b = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hoặc ngược lại.
\(\sin x.{\cos ^3}x - \cos {\rm{ }}x{\sin ^3}x = \frac{{\sin 4x}}{4}\).
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).
\(\frac{{1 + \sin x}}{{{\rm{cos }}x}} = \cot \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)\).
\({\cot ^2}x + {\tan ^2}x = \frac{{2\cos 4x + 6}}{{1 - \cos 4x}}\).
Chọn C
A. \(\sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - {\rm{cos }}x{\sin ^3}x = \sin x.{\rm{cos}}x({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x) = \frac{1}{2}\sin 2x.{\rm{cos2}}x = \frac{{\sin 4x}}{4}\).
B. \({\sin ^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}(\frac{{1 - {\rm{cos}}4x}}{2}) = \frac{{3 + {\rm{cos}}4x}}{4}\).
C. \(\frac{{1 + \sin x}}{{{\rm{cos }}x}} = \frac{{1 - {\rm{cos(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)}}}}{{\sin {\rm{(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)}}}} = \frac{{2{{\sin }^2}(\frac{\pi }{4}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{2})}}{{2\sin {\rm{(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)cos}}(\frac{\pi }{4}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{2})}} = \tan (\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2})\).
D. \({\cot ^2}x + {\tan ^2}x = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + {{\sin }^4}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.{{\sin }^2}x}} = \frac{{\frac{{3 + {\rm{cos}}4x}}{4}}}{{\frac{{1 - {\rm{cos}}4x}}{8}}} = \frac{{2\cos 4x + 6}}{{1 - {\rm{cos}}4x}}\).
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).{\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x + }}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\sin \frac{\pi }{5}.\sin \frac{{2\pi }}{5} = \frac{1}{2}\left( {{\rm{cos}}\frac{\pi }{5}{\rm{ + cos}}\frac{{2\pi }}{5}} \right)\).
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\,{\rm{ }}\cos 2x = \frac{1}{4}{\rm{ }}\cos 2x - \frac{1}{8}{\rm{ }}\cos 4x\, - \frac{1}{8}\).
\(8\cos x.\sin 2x.\sin 3x = 2\left( {\cos 2x - \cos 4x - \cos 6x\, + \,1} \right)\).
Chọn C
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\,{\rm{ }}\cos 2x = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} - \cos 2x} \right){\rm{ }}\cos 2x\).
\( = \frac{1}{4}\cos 2x - {\rm{ }}\frac{1}{2}{\cos ^2}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 4x - \frac{1}{4}.\)
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
a) Vì \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos x > 0\).
Ta có: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \sqrt {1 - \frac{1}{3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} - \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 3}}{6}{\rm{. }}\)
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Vì \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin x < 0\).
Ta có: \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \sin x = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{5}{{13}}\).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos x - \cos \frac{\pi }{3}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) - \frac{1}{2}\left( { - \frac{5}{{13}}} \right) = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\)
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{4}{{25 c o s{ ^2}\alpha }} + c o s{ ^2}\alpha = 1}\\{ s i n \alpha = - \frac{2}{{5 c o s \alpha }}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25{{\cos }^4}\alpha - 25{{\cos }^2}\alpha + 4 = 0}\\{\sin \alpha = - \frac{2}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos { ^2}\alpha = \frac{4}{5}\\\cos { ^2}\alpha = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\\\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.\)
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
\(\sin \alpha = \frac{2}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
Ta có: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{ - \sqrt 5 }}{3}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\)
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\). nên \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
Ta có: \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{8}{9};{\sin ^2}b = 1 - {\cos ^2}b = \frac{{15}}{{16}}\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}P&{ = (\cos a\cos b - \sin a\sin b)(\cos a\cos b + \sin a\sin b)}\\{}&{ = {{(\cos a\cos b)}^2} - {{(\sin a\sin b)}^2} = {{\cos }^2}a{{\cos }^2}b - {{\sin }^2}a{{\sin }^2}b}\\{}&{ = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{16}} - \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} = - \frac{{119}}{{144}}}\end{array}\)
\(4\sin 3x\sin 2x\cos x = 4(\sin 3x\cos x)\sin 2x = 4 \cdot \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)\sin 2x\) \( = 2\sin 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}2x = (\cos 2x - \cos 6x) + 2\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1\).
Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách \(d\left( m \right)\) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g}\) trong đó\({v_0}\left( {m/s} \right)\) là vận tốc ban đầu của quả bóng, \(g\left( {m/{s^2}} \right)\) là gia tốc trọng trường và \(\alpha \)là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Tính khoảng cách \(d\) biết rằng \({v_0} = 15\left( {m/s} \right);\)\(g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\) và \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\] với \[\left( {0 \le \alpha \le {{45}^0}} \right)\].
Ta có: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\) và \[0 \le \alpha \le {45^0} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{24}}{{25}}.\]
Khi đó \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g} = \frac{{{{15}^2}.\frac{{24}}{{25}}}}{{10}} = \frac{{108}}{5}\).
Vậy \[d = \frac{{108}}{5}\,{\rm{cm}}\].
Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;m\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9\;m\) và \(AD = 12\;m\). Tìm góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng \(\alpha \) (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \tan (\widehat {BAD} - \widehat {CAD})\\ = \frac{{\tan \widehat {BAD} - \tan \widehat {CAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAD}\tan \widehat {CAD}}} = \frac{{\frac{{15}}{{12}} - \frac{9}{{12}}}}{{1 + \frac{{15}}{{12}} \cdot \frac{9}{{12}}}} = \frac{8}{{31}}.\end{array}\)
Vì vậy
\(\begin{array}{*{20}{l}}B&{ = \frac{{\sin 2x + 2\sin 3x + \sin 4x}}{{\cos 3x + 2\cos 4x + \cos 5x}} = \frac{{2\sin 3x\cos x + 2\sin 3x}}{{2\cos 4x\cos x + 2\cos 4x}} = \frac{{2\sin 3x(\cos x + 1)}}{{2\cos 4x(\cos x + 1)}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 4x}}}\\{}&{}\end{array}\)
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB,BC,CD,EF,FG,GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Biết chiều rộng cổng là \(120\,{\rm{cm}}\) và khoảng cách từ \(B\) đến đường kính \(AH\) bằng \(27\,{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách từ \(C\)đến \(AH\).
Gọi \(\widehat {BOA} = \alpha \) \[\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\]
Vẽ \[BB' \bot AH\], \[CC' \bot AH\]\[\left( {B' \in AH,\,C' \in AH} \right)\]
Khi đó ta có \(\sin \alpha = \frac{{27}}{{60}} = \frac{9}{{20}} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt {319} }}{{20}}\).
Lại có \(\widehat {COA} = 2\alpha \Rightarrow \sin \widehat {COA} = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha = 2.\frac{9}{{20}}.\frac{{\sqrt {319} }}{{20}} = \frac{{9\sqrt {319} }}{{200}}\).
Trong tam giác \(COC'\) ta có \(\frac{{CC'}}{{OC}} = \sin 2\alpha \Rightarrow CC' = OC.\sin 2\alpha = 60.\frac{{9\sqrt {319} }}{{200}} \approx 48.2\).
Vậy khoảng cách từ \(C\)đến \(AH\)khoảng \[48,2\,{\rm{cm}}\].
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
