Đề kiểm tra Công thức lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Rút gọn biểu thức \(\cos (x + \frac{\pi }{4}) - \cos (x - \frac{\pi }{4})\) ta được
\(\sqrt 2 \sin x\).
\( - \sqrt 2 \sin x\).
\(\sqrt 2 \cos x\).
\( - \sqrt 2 \cos x\).
Chọn B
Ta có: \(\cos (x + \frac{\pi }{4}) - \cos (x - \frac{\pi }{4}) = \, - \,2\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4}\, + \,x - \frac{\pi }{4}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{x + \frac{\pi }{4}\, - \,x + \frac{\pi }{4}}}{2}} \right)\)
\( = \, - \,2\sin x.\sin \frac{\pi }{4} = \, - \,\sqrt 2 \sin x\)
Giá trị của biểu thức \(\cos \frac{{37\pi }}{{12}}\) bằng
\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).
–\(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\).
Chọn C
Ta có: \[\cos \frac{{37\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\]
\[ = \cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} - \sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{{7\pi }}{{12}} = - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\]
Biểu thức \[M = \cos \left( { - 53^\circ } \right).\sin \left( { - 337^\circ } \right) + \sin \left( {307^\circ } \right).\sin \left( {113^\circ } \right)\] có giá trị bằng:
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn A
Ấn máy tính được đáp án\(A\).
Gọi \(M = {\cos ^4}{15^{\rm{o}}} - {\sin ^4}{15^{\rm{o}}}\) thì:
\(M = 1.\)
\(M = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(M = \frac{1}{4}.\)
\(M = 0.\)
Chọn B
\(\begin{array}{l}M = {\cos ^4}{15^{\rm{o}}} - {\sin ^4}{15^{\rm{o}}} = {\left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)^2} = \left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}} - {{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)\left( {{{\cos }^2}{{15}^{\rm{o}}} + {{\sin }^2}{{15}^{\rm{o}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {\cos ^2}{15^{\rm{o}}} - {\sin ^2}{15^{\rm{o}}} = \cos \left( {{{2.15}^{\rm{o}}}} \right) = \cos {30^{\rm{o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)
Giá trị đúng của \(\cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}\) bằng
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
–\(\frac{1}{4}\).
Chọn B
Sử dụng máy tính dễ dàng có được đáp án \(B\).
Biết \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \(P = \cos \left( {2\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
\(P = 0\).
\(P = - 1\).
\(P = \frac{1}{2}\).
\(P = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}\).
Từ \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha = - \frac{1}{2}\).
Do đó \(P = \cos \left( {2\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2\alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin 2\alpha \sin \frac{\pi }{3}\)
\( = \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right).\frac{1}{2} + 2\sin \alpha \cos \alpha .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\cos ^2}\alpha - \frac{1}{2} + \sqrt 3 \sin \alpha \cos \alpha = - 1\).
Khi \[\alpha = \frac{\pi }{6}\] thì biểu thức \[\frac{{si{n^2}2\alpha + 4si{n^4}\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{4 - {{\sin }^2}2\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha }}\] có giá trị bằng.
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{1}{9}\].
\[\frac{1}{{12}}\].
Chọn C\[\begin{array}{l}\frac{{si{n^2}2\alpha + 4si{n^4}\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{4 - {{\sin }^2}2\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{4si{n^4}\alpha }}{{4(1 - {{\sin }^2}\alpha ) - 4{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}\\ = \frac{{si{n^4}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha (1 - {{\sin }^2}\alpha )}} = \frac{{si{n^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} = {\tan ^4}a \Rightarrow {\rm{BT}} = {\tan ^4}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{9}.\end{array}\]
Cho biểu thức A=sin2a+b–sin2a–sin2b. Hãy chọn kết quả đúng
\[A = 2\cos a.\sin b.\sin \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\sin a.\cos b.\cos \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\cos a.\cos b.\cos \left( {a + b} \right).\]
\[A = 2\sin a.\sin b.\cos \left( {a + b} \right).\]
Chọn D
Ta có :
A=sin2a+b–sin2a–sin2b =sin2a+b−1−cos2a2−1−cos2b2
\( = {\sin ^2}\left( {a + b} \right) - 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\)\( = - {\cos ^2}\left( {a + b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\)
\( = \cos \left( {a + b} \right)\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)\( = 2\sin a\sin b\cos \left( {a + b} \right)\).
Biết \(\cot x = \frac{3}{4},\,\cot y = \frac{1}{7}\), \(x,\,y\) đều là góc dương, nhọn thì:
\(x + y = \frac{\pi }{4}\).
\(x + y = \frac{{2\pi }}{3}\).
\(x + y = \frac{{3\pi }}{4}\).
\(x + y = \frac{{5\pi }}{6}\)
Chọn C
\(\cot x = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan x = \frac{4}{3};\,\,\cot y = \frac{1}{7} \Rightarrow \tan y = 7\). \(t = \tan \frac{x}{2} = 2\).
Nếu biết \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = 2\\\tan \left( {a + b} \right) = 4\end{array} \right.\) thì các giá trị của \(\tan a,\,\tan b\) bằng:
\(\frac{1}{3},\,\frac{5}{3}\) hoặc ngược lại.
\(\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\) hoặc ngược lại.
\(1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) hoặc ngược lại.
\(1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hoặc ngược lại.
Chọn D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = 2\\\tan \left( {a + b} \right) = 4\end{array} \right.\).
từ \(\tan \left( {a + b} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 4 \Rightarrow 2 = 4 - 4\tan a.\tan b \Rightarrow \tan a.\tan b = \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow \tan a,\,\tan b\) theo thứ tự là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X + \frac{1}{2} = 0\).
\( \Rightarrow \tan a = 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\tan b = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hoặc ngược lại.
Hãy xác định hệ thức sai:
\(\sin x.{\cos ^3}x - \cos {\rm{ }}x{\sin ^3}x = \frac{{\sin 4x}}{4}\).
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).
\(\frac{{1 + \sin x}}{{{\rm{cos }}x}} = \cot \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)\).
\({\cot ^2}x + {\tan ^2}x = \frac{{2\cos 4x + 6}}{{1 - \cos 4x}}\).
Chọn C
A. \(\sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - {\rm{cos }}x{\sin ^3}x = \sin x.{\rm{cos}}x({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x) = \frac{1}{2}\sin 2x.{\rm{cos2}}x = \frac{{\sin 4x}}{4}\).
B. \({\sin ^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}(\frac{{1 - {\rm{cos}}4x}}{2}) = \frac{{3 + {\rm{cos}}4x}}{4}\).
C. \(\frac{{1 + \sin x}}{{{\rm{cos }}x}} = \frac{{1 - {\rm{cos(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)}}}}{{\sin {\rm{(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)}}}} = \frac{{2{{\sin }^2}(\frac{\pi }{4}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{2})}}{{2\sin {\rm{(}}\frac{\pi }{2}{\rm{ + x)cos}}(\frac{\pi }{4}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{2})}} = \tan (\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2})\).
D. \({\cot ^2}x + {\tan ^2}x = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + {{\sin }^4}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.{{\sin }^2}x}} = \frac{{\frac{{3 + {\rm{cos}}4x}}{4}}}{{\frac{{1 - {\rm{cos}}4x}}{8}}} = \frac{{2\cos 4x + 6}}{{1 - {\rm{cos}}4x}}\).
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).{\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x + }}\sqrt 3 }}{4}\).
\(\sin \frac{\pi }{5}.\sin \frac{{2\pi }}{5} = \frac{1}{2}\left( {{\rm{cos}}\frac{\pi }{5}{\rm{ + cos}}\frac{{2\pi }}{5}} \right)\).
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\,{\rm{ }}\cos 2x = \frac{1}{4}{\rm{ }}\cos 2x - \frac{1}{8}{\rm{ }}\cos 4x\, - \frac{1}{8}\).
\(8\cos x.\sin 2x.\sin 3x = 2\left( {\cos 2x - \cos 4x - \cos 6x\, + \,1} \right)\).
Chọn C
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\,{\rm{ }}\cos 2x = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} - \cos 2x} \right){\rm{ }}\cos 2x\).
\( = \frac{1}{4}\cos 2x - {\rm{ }}\frac{1}{2}{\cos ^2}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 4x - \frac{1}{4}.\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho biết \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(0 < x < \frac{\pi }{2}\); khi đó:
a) \(\cos x > 0\)
b) \(\cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
c) \(\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
d) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 6 - 3}}{8}{\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Vì \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos x > 0\).
Ta có: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \sqrt {1 - \frac{1}{3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} - \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 3}}{6}{\rm{. }}\)
Cho biết \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}}\) và \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\); khi đó:
a) \(\sin x > 0\)
b) \(\sin x = - \frac{5}{{13}}\)
c) \(\cot x = \frac{5}{{12}}\)
d) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Vì \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin x < 0\).
Ta có: \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \sin x = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{5}{{13}}\).
\(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos x - \cos \frac{\pi }{3}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) - \frac{1}{2}\left( { - \frac{5}{{13}}} \right) = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\)
Biết \(\sin 2\alpha = - \frac{4}{5},\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó:
a) \(\cos \alpha < 0\)
b) \(2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}\)
c) \(\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
d) \(\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{4}{{25 c o s{ ^2}\alpha }} + c o s{ ^2}\alpha = 1}\\{ s i n \alpha = - \frac{2}{{5 c o s \alpha }}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25{{\cos }^4}\alpha - 25{{\cos }^2}\alpha + 4 = 0}\\{\sin \alpha = - \frac{2}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos { ^2}\alpha = \frac{4}{5}\\\cos { ^2}\alpha = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\\\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó:
a) \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
b) \(\tan \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
c) \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{{\sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\)
d) \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\sqrt {10} - 2\sqrt 2 }}{6}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
\(\sin \alpha = \frac{2}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
Ta có: \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{ - \sqrt 5 }}{3}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\)
cosπ4−α=cosπ4cosα+sinπ4sinα=22⋅−53+22⋅23=−10+226
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và 90°<α<180°. Tính \(\cos \alpha \).
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\). 90°<α<180° nên \(\cos \alpha < 0\). Vậy \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\). Biết \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của biểu thức:
\(P = \cos (a + b)\cos (a - b){\rm{. }}\)
Ta có: \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{8}{9};{\sin ^2}b = 1 - {\cos ^2}b = \frac{{15}}{{16}}\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}P&{ = (\cos a\cos b - \sin a\sin b)(\cos a\cos b + \sin a\sin b)}\\{}&{ = {{(\cos a\cos b)}^2} - {{(\sin a\sin b)}^2} = {{\cos }^2}a{{\cos }^2}b - {{\sin }^2}a{{\sin }^2}b}\\{}&{ = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{16}} - \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} = - \frac{{119}}{{144}}}\end{array}\)
Biến đổi thành tổng biểu thức sau: \(4\sin 3x\sin 2x\cos x\).
\(4\sin 3x\sin 2x\cos x = 4(\sin 3x\cos x)\sin 2x = 4 \cdot \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)\sin 2x\)\( = 2\sin 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}2x = (\cos 2x - \cos 6x) + 2\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)\)\( = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1\).
Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách \(d\left( m \right)\) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g}\) trong đó\({v_0}\left( {m/s} \right)\) là vận tốc ban đầu của quả bóng, \(g\left( {m/{s^2}} \right)\) là gia tốc trọng trường và \(\alpha \)là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Tính khoảng cách \(d\) biết rằng \({v_0} = 15\left( {m/s} \right);\)\(g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\) và \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\] với \[\left( {0 \le \alpha \le {{45}^0}} \right)\].
Ta có: \({\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\) và \[0 \le \alpha \le {45^0} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{24}}{{25}}.\]
Khi đó \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g} = \frac{{{{15}^2}.\frac{{24}}{{25}}}}{{10}} = \frac{{108}}{5}\).
Vậy \[d = \frac{{108}}{5}\,{\rm{cm}}\].
Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;m\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9\;m\) và \(AD = 12\;m\). Tìm góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng \(\alpha \) (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \tan (\widehat {BAD} - \widehat {CAD})\\ = \frac{{\tan \widehat {BAD} - \tan \widehat {CAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAD}\tan \widehat {CAD}}} = \frac{{\frac{{15}}{{12}} - \frac{9}{{12}}}}{{1 + \frac{{15}}{{12}} \cdot \frac{9}{{12}}}} = \frac{8}{{31}}.\end{array}\)
Vì vậy α≈14,47°
\(\begin{array}{*{20}{l}}B&{ = \frac{{\sin 2x + 2\sin 3x + \sin 4x}}{{\cos 3x + 2\cos 4x + \cos 5x}} = \frac{{2\sin 3x\cos x + 2\sin 3x}}{{2\cos 4x\cos x + 2\cos 4x}} = \frac{{2\sin 3x(\cos x + 1)}}{{2\cos 4x(\cos x + 1)}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 4x}}}\\{}&{}\end{array}\)
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB,BC,CD,EF,FG,GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Biết chiều rộng cổng là \(120\,{\rm{cm}}\) và khoảng cách từ \(B\) đến đường kính \(AH\) bằng \(27\,{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách từ \(C\)đến \(AH\).
Gọi \(\widehat {BOA} = \alpha \)\[\left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\]
Vẽ \[BB' \bot AH\], \[CC' \bot AH\]\[\left( {B' \in AH,\,C' \in AH} \right)\]
Khi đó ta có \(\sin \alpha = \frac{{27}}{{60}} = \frac{9}{{20}} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt {319} }}{{20}}\).
Lại có \(\widehat {COA} = 2\alpha \Rightarrow \sin \widehat {COA} = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .{\rm{cos}}\alpha = 2.\frac{9}{{20}}.\frac{{\sqrt {319} }}{{20}} = \frac{{9\sqrt {319} }}{{200}}\).
Trong tam giác \(COC'\) ta có \(\frac{{CC'}}{{OC}} = \sin 2\alpha \Rightarrow CC' = OC.\sin 2\alpha = 60.\frac{{9\sqrt {319} }}{{200}} \approx 48.2\).
Vậy khoảng cách từ \(C\)đến \(AH\)khoảng \[48,2\,{\rm{cm}}\].
