Tuyển tập Bài tập Hình học không gian ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng $a^3$. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị của $\tan \alpha$.

Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng dạng hình trụ với thể tích đựng được là V. Biết rằng diện tích toàn phần nhỏ nhất thì tiết kiệm chi phí nhất. Tính bán kính của lon để tiết kiệm chi phí nhất.

Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2, cạnh bên SA =1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của AD. Tính diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 2a. Tính độ dài đường sinh  l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC.

Một công ty Container cần thiết kết các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích là $108m^3$. Tìm tổng diện tích nhỏ nhất của các mặt xung quanh và mặt đáy

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (C'BD) hợp với đáy góc ${45}^{\circ }$. Tính thể tích lăng trụ

Hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h, các mặt bên hợp với đáy một góc ${45}^{\circ }$. Tính diện tích đáy.

Cho hình chóp S.ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABC) bằng ${60}^{\circ }$. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cạnh bên AA' = 2, đáy là tam giác vuông cân ABC đỉnh A, canh huyền  $BC = a\sqrt{2}$. Tính thể tích của hình trụ tròn xoay có đáy là hai đường tròn tâm A, bán kính AB và đường tròn tâm A', bán kính A'B'.

Cho tứ diện S.ABCD có SA = AB = AC = a và AS, AB, AC vuông góc nhau từng đôi một. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Khi dung tích của cái hộp đó là $4800c{m}^3$, tính độ dài cạnh của tấm bìa

Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc $\stackrel{⏜}{BAD} = {60}^{\circ }$, cạnh bên hợp với đáy góc ${45}^{\circ }$sao cho A’ chiếu xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo mặt đáy. Tính thể tích hình hộp.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và  SH = $a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA $\perp$(ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD)  bằng ${45}^{\circ }$. Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.MCD và khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BD

Cho $∆$ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Quay tam giác quanh AB ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh $S_1$ và quay tam giác quanh AC ta thu được hình nón xoay có diện tích xung quanh $S_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = $\frac{4}{\sqrt{3}}$, AD = 1. Lấy điểm M  trên CD sao cho MD = $\sqrt{3}$. Cho hình vẽ quay quanh AB, tam giác MAB tạo thành vật tròn xoay gồm 2 hình nón chung đáy. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay này.

Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Tỉ số thể tích  của hai hình nón cùng đỉnh S, đáy lần lượt là hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC là

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng ${60}^{\circ }$; cạnh AB = a. Tính thể tích khối đa diện ABCC'B'

Cho hình chóp tứ giác đều  S.ABCD, cạnh đáy AB = 2a, góc $\stackrel{⏜}{ASB}=2\alpha (0^{\circ } < \alpha < {90}^{\circ })$. Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\stackrel{⏜}{BCD}={120}^{\circ }$ và  AA' = $\frac{7a}{2}$. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng  ${30}^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của A' trên  (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC

Cho hình chữ nhật  ABCD có AB= 2AD = 2. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Cho $△$ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có  $\widehat{BAC} = {75}^{\circ }, \widehat{ACB} = {60}^{\circ }$. Kẻ BH vuông góc với AC. Quay  $△$ABC quanh AC thì $△$BHC  tạo thành hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay này.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH với $\overrightarrow{AE}= \overrightarrow{BF} =\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{HD}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh BF, FE, DH, DC. Hỏi mệnh đề nào đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với SA = $\frac{a}{2}$, SB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $\stackrel{⏜}{BAD} = {60}^{\circ }$ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích V của tứ diện K.SDC

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Xét hình cầu nhận hai đáy của hình trụ là hai hình tròn nhỏ đối xứng nhau qua tâm hình câu. Gọi  $V_1, V_2$lần lượt là thể tích của hình trụ và hình cầu. Tính tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}$

Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a.

Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.