Trắc nghiệm Nguyên hàm lớp 12 (có đáp án - phần 1)
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] nếu
\[F'\left( x \right) = - f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[f'\left( x \right) = F\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[F'\left( x \right) = f\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
\[f'\left( x \right) = F\left( x \right),{\rm{ }}\forall x \in K.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] nếu \[F'\left( x \right) = f\left( x \right),\]\[\forall x \in K\].
Cho \[\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right),{\rm{ }}\int {g\left( x \right)dx = G\left( x \right)} \]. Khi đó, \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
\[2F\left( x \right) + G\left( x \right).\]
\[2F\left( x \right) - G\left( x \right).\]
\[2G\left( x \right) - F\left( x \right).\]
\[F\left( x \right) - 2G\left( x \right).\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \]
\[I = \int {2g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx} \]
\[I = 2\int {g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx} \]
\[I = 2G\left( x \right) - F\left( x \right)\]
\[\int {{x^5}dx} \] bằng
\[5{x^4} +C.\]
\[\frac{{{x^6}}}{6} + C.\]
\[{x^4} + C.\]
\[ - \frac{{{x^6}}}{6} + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {{x^5}dx} = \frac{{{x^6}}}{6} + C\].
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos x\] bằng
\[\int {\cos xdx = \sin x + C.} \]
\[\int {\cos xdx = \frac{{\sin x}}{2} + C.} \]
\[\int {\cos xdx = - \sin x + C.} \]
\[\int {\cos xdx = \frac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C.} \]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {\cos xdx = \sin x + C.} \]
Cho hai hàm số \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] là hàm số liên tục, có \[F\left( x \right),G\left( x \right)\] lần lượt là nguyên hàm của \[f\left( x \right),g\left( x \right)\]. Xét các mệnh đề sau:
(I). \[F\left( x \right) + G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) + g\left( x \right).\]
(II). \[kF\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[kf\left( x \right)\] với \[k \ne 0.\]
(III). \[F\left( x \right).G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right).g\left( x \right)\].
Các mệnh đề đúng là
(I) và (II).
(II) và (III).
(I) và (III).
Cả ba mệnh đề.
Đáp án đúng là: A
II. Thông hiểu
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x\] bằng
\[\int {\cos 3xdx = 3\sin 3x + C.} \]
\[\int {\cos 3xdx = \frac{{\sin 3x}}{3} + C.} \]
\[\int {\cos 3xdx = - 3\sin 3x + C.} \]
\[\int {\cos 3xdx = - \frac{{\sin 3x}}{3} + C.} \]
Đáp án đúng là: B
Ta có công thức \[\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C} \].
Do đó \[\int {\cos 3xdx = \frac{{\sin 3x}}{3} + C.} \]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
\[2x - 3 - \frac{1}{{{x^2}}} + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]
\[ = \int {{x^2}dx - \int {3xdx + \int {\frac{1}{x}dx} } } \]
\[ = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\[f\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x - 3\sin x.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {2\sin x - 3\cos x + 1} \right)^\prime }\]\[ = 2\cos x + 3\sin x.\]
Vậy \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}} + C.\]
\[{e^{3x}} + 6{e^{ - 2x}} + C.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)dx} \]
\[ = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}}} \right)dx} \]
\[ = \int {{e^{3x}}dx} - 3\int {{e^{ - 2x}}dx} \]
\[ = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} } \]\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.\]
Mà \[f\left( 0 \right) = 1\] nên \[\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1\] hay C = 2.
Vậy \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
\[{e^2} - e - 6.\]
\[{e^2} + e - 6.\]
\[{e^2} - e + 6.\]
\[{e^2} + e + 6.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx} \] \[ = {e^x} + {x^2} + C.\]
Mà \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\] nên \[{e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}\].
Suy ra \[C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\].
Do đó \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.\]
Có: \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}\]\[ = {e^2} + e + 6.\]
Vậy \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.\]
Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}\] là
\[ - \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C.\]
\[ - \frac{2}{{{x^2}}} - 2x + C.\]
\[\frac{{ - {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C.\]
\[\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{1}{x} - \frac{x}{3} + C.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}} \right)} dx\]
\[ = \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} - \int {{x^2}dx} - \int {\frac{1}{3}dx} \]
\[ = - \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}x + C\]
\[ = - \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: A
Xét các đáp án, ta có:
(I): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]\[ = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
Mệnh đề (I) là mệnh đề đúng.
(II): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {5x + 3} \right)}^5}dx} \]\[ = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\]
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
Mệnh đề (II) là mệnh đề sai.
(III). Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C} \right)^\prime }\]
\[ = {\left( {\frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{4}{x^{\frac{5}{4}}} + C} \right)^\prime }\]
\[ = \frac{9}{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{16}}{9}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{{25}}{{16}}{x^{\frac{1}{4}}}\]
\[ = \frac{9}{4}\sqrt x + \frac{{16}}{9}\sqrt[3]{x} + \frac{{25}}{{16}}\sqrt[4]{x}\].
Vậy mệnh đề (III) là sai.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x + {e^x}\]. Tìm một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2024.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} } \]\[ = {x^2} + {e^x} + C.\]
Mà \[F\left( 0 \right) = 2024\] nên \[{0^2} + {e^0} + C = 2024\] hay C = 2023.
Vậy \[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
\[F\left( 2 \right) = 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = - 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 1 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 7.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]
\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]
Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.
Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]
Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].
III. Vận dụng
Một vật chuyển động với gia tốc \[a\left( t \right) = 3{t^2} + t{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)\]. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là \[2{\rm{ }}\left( {m/s} \right).\] Vận tốc của vật đó sau hai giây là.
\[{\rm{8 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{12 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{10 }}\left( {m/s} \right).\]
\[{\rm{16 }}\left( {m/s} \right).\]
Đáp án đúng là: B
Phương trình vận tốc của vật là \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3}{\rm{ + }}\frac{{{t^2}}}{2}{\rm{ + C}}{\rm{. }}\]
Mà vận tốc ban đầu của vật là \[2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\] hay \[v\left( 0 \right) = 2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\].
Do đó, ta có C = 2.
Suy ra \[v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2.\]
Vậy vận tốc của vật đó sau 2 giây là: \[v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm \[t\] giây (coi \[t = 0\] là thời điểm viên đạn được bắn lên trên), vận tốc của nó được cho bởi \[v\left( t \right) = 25 - 9,8t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]. Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất lên) đạt giá trị lớn nhất là
\[\frac{{125}}{{49}}.\]
\[\frac{{1125}}{{98}}.\]
\[\frac{{2375}}{{392}}.\]
\[\frac{{3125}}{{98}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có phương trình độ cao của viên đạn là:
\[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)} dt = 25t - 4,9{t^2} + C.\]
Do coi \[t = 0\] là thời điểm viên đạn được bắn lên trên nên C = 0.
Suy ra \[h\left( t \right) = 25t - 4,9{t^2} = - 4,9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}}\].
Nhận thấy \[ - 4,9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}} \le \frac{{3125}}{{98}}\] do đó, độ cao của viên đạn đạt giá trị lớn nhất bằng \[\frac{{3125}}{{98}}\] khi \[t = \frac{{125}}{{49}}\].
Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1\], trong đó \[t\] được tính bằng giây, quãng đường \[s\left( t \right)\] được tính bằng mét. Khi đó:
a) Quãng đường đi được của vật sau 2 giây là \[\frac{2}{3}{\rm{ }}\left( m \right).\]
b) Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là \[\frac{1}{3}{\rm{ }}\left( m \right).\]
c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm mà vận tốc đạt \[9{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\] là \[\frac{{26}}{3}{\rm{ }}\left( m \right).\]
d) Quãng đường vật đi được từ 0 giây đến thời gian mà gia tốc bằng \[{\rm{10 }}\left( {m/{s^2}} \right)\] là \[{\rm{44 }}\left( m \right)\].
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: C
Ta có: Phương trình biểu diễn quãng đường của vật là \[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} \]
Suy ra \[s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + t.\]
a) Quãng đường vật đi được sau 2 giây là \[s\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - {2^2} + 2 = \frac{2}{3}\] (m).
Do đó, ý a đúng.
b) Ta có phương trình gia tốc là \[a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2\].
Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là \[a\left( t \right) = 0\] hay \[t = 1.\]
Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là \[s\left( 1 \right) = \frac{{{1^3}}}{3} - {1^2} + 1 = \frac{1}{3}\] (m).
Do đó, ý b đúng.
c) Thời điểm vận tốc đạt 9 m/s là nghiệm dương của phương trình \[{t^2} - 2t + 1 = 9\].
Giải phương trình ta được \[t = 4\] và \[t = - 2\] (loại do \[t > 0\]).
Suy ra quãng đường vật đi được sau 4 giây là \[s\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - {4^2} + 4 = \frac{{28}}{3}\] (m).
Có \[s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}\] (m) nên Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm \[t = 4\] là \[s\left( 4 \right) - s\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\].
Do đó, ý c đúng.
d) Thời điểm gia tốc bằng \[{\rm{10 }}\left( {m/{s^2}} \right)\] là \[a\left( t \right) = 2t - 2 = 10\] hay t = 6 giây.
Vậy quãng đường vật đi được sau 6 giây là \[s\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} - {6^2} + 6 = 42\] (m).
Vậy ý d sai.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ \[v\left( t \right) = 19 - 2t\] (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?
70 m.
9 m.
29 m.
85 m.
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình biểu diễn quãng đường của ô tô là
\[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {19 - 2t} \right)dt = 19t - {t^2} + C} \] (m).
Ta có: \[s\left( 0 \right) = 0\] nên C = 0.
Suy ra \[s\left( t \right) = 19t - {t^2}\].
Vậy sau 5 giây kể từ khi hãm phanh tức t = 5, quãng đường ô tô đi được là
\[s\left( 5 \right) = 19.5 - {5^2} = 70\]m.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = 12x + 2\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 1 \right) = 3.\] Biết \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2\]. Tính giá trị của \[F\left( 1 \right).\]
\[F\left( 1 \right) = 1.\]
\[F\left( 1 \right) = 0.\]
\[F\left( 1 \right) = 9.\]
\[F\left( 1 \right) = 14.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = 6{x^2} + 2x + C.} \]
Mà \[f\left( 1 \right) = 3\]nên \[{6.1^2} + 2.1 + C = 3\] hay C = −5.
Suy ra \[f\left( x \right) = 6{x^2} + 2x - 5.\]
Lại có, \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = 2{x^3} + {x^2} - 5x + {C_1}} \].
Mà \[F\left( 0 \right) = 2\] nên \[{C_1} = 2\].
Suy ra \[F\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\].
Vậy \[F\left( 1 \right) = 0\].
