Trắc nghiệm Bài tập cuối chương IV lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho tam giác ABC ở trong mặt phẳng (α) và phương l. Biết hình chiếu (theo phương l) của tam giác ABC lên mặt phẳng (P) là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
(α) // (P).
(α) ≡ (P).
(α) // l hoặc l Ì (α).
l Ì (P).
C
Khi phương chiếu l thỏa mãn (α) // l hoặc l Ì (α) thì các đoạn thẳng AB, BC, CA có hình chiếu lên (P) nằm trên giao tuyến của (α) và (P).
Cho tứ diện ABCD. I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
qua I và song song với AB.
qua J và song song với BD.
qua G và song song với CD.
qua G và song song với BC.
C
Gọi d là giao tuyến của (GIJ) và (BCD).
Ta có G Î (GIJ) Ç (BCD), IJ // CD, IJ Ì (GIJ), CD Ì (BCD).
Suy ra d đi qua G và song song với CD.
Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sau đây?
(ABD).
(BCD).
(CMN).
(ACD).
D
Vì I = MN Ç BD nên I Î (ABD), I Î (BCD), I Î (CMN).
Cho tứ diện ABCD. Gọi J, I lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
IJ song song với CD.
IJ song song với AB.
IJ chéo CD.
IJ cắt AB.
A
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BCD.
Do đó MN // CD (1).
Vì J, I lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow IJ//MN\)(2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ // CD.
Chọn khẳng định đúng.
Trong không gian, hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song.
Trong không gian, hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng trùng nhau.
Trong không gian, hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Trong không gian hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng bất kì.
C
Trong không gian, hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. Khi đó MN song song với mặt phẳng nào dưới đây?
(SAC).
(SBD).
(SBC).
(SCD).
C
Do MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN // AD.
Mà AD // BC (do ABCD là hình thang).
Suy ra BC // MN.
Lại có BC Ì (SBC) nên MN // (SBC).
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
A
Giả sử (α) // (β).
Một đường thẳng a song song với (β) thì a có thể nằm trên (α).
Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Mặt phẳng (AB'D') song song với mặt phẳng nào sau đây?
(BA'C').
(BDA').
(ACD').
(C'BD).
D
Ta có B'D' // BD; AD' // C'B. Suy ra (AB'D') // (C'BD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm I trên đoạn SO sao cho \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\), BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N. MNBD là hình gì?
Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
B
I trên đoạn SO và \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\) nên I là trọng tâm tam giác SBD.
Suy ra M là trung điểm của SD, N là trung điểm SB.
Do đó MN // BD và \(MN = \frac{1}{2}BD\) nên MNBD là hình thang.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh SB, SC sao cho \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{2}{3}\). Khi đó MG song song với đường thẳng nào dưới đây?
AB.
CD.
AD.
AC.
C
Vì \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) nên MG // BC // AD (theo định lí thales đảo).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A'B', AB và I là tâm của hình bình hành BCC'B'.
a) Điển N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACN.
c) Giao tuyến của mặt phẳng (MIN) và mặt phẳng (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.
d) Đường thẳng MI cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm K. Khi đó NK = AC.
a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.
c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I mà MN // BB', MN Ì (MNI), BB' Ì (BCC'B') nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua I và song song BB'.
d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.
Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).
Có NJ = JK = MH suy ra NK = 2MH = AC.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD), các điểm M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, SC. Gọi O = AC Ç BD.
a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD) là điểm nằm trên đường thẳng SD.
c) Giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) là điểm nằm trên đường thẳng SO.
d) Ba điểm I, J, B thẳng hàng.
a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Trong mặt phẳng (ABCD) có O = AC Ç BD.
Trong (SAC), gọi I = SO Ç AN.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = AN \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy điểm I là điểm nằm trên đường thẳng SO.
c) Trong (ABCD), gọi P = CM Ç BD.
Trong (SCM), gọi J = MN Ç SP.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J = MN \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy J là điểm nằm trên đường thẳng SP.
d) Dễ thấy B Î (ABN) Ç (SBD) (1).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN,AN \subset \left( {ABN} \right)\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (2).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN,MN \subset \left( {ABN} \right)\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra B, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SBD) nên ba điểm này thẳng hàng.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AD = 3AM. Gọi G, N theo thứ tự là trọng tâm các tam giác SAB, ABC. Khi đó:
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AC, BD.
b) \(\frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).
c) MN song song với mặt phẳng (SCD).
d) NG cắt với mặt phẳng (SAC).
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB//CD\\AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)Þ (SAB) Ç (SCD) = Sx // AB // CD.
b) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Vì N là trọng tâm của DABC nên \(BN = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD\) Þ \(\frac{{DN}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
c) Ta có AD = 3AN \( \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác ADB có \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) nên MN // AB Þ MN // CD
mà CD Ì (SCD) Þ MN // (SCD).
d) Gọi P là trung điểm AB.
Tam giác SPC có \(\frac{{PG}}{{PS}} = \frac{{PN}}{{PC}} = \frac{1}{3}\) suy ra NG // SC mà SC Ì (SAC) Þ NG // (SAC).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD, AB > CD).
a) Hai đường thẳng SD và AB chéo nhau.
b) DC // (SAB).
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) song song với đường thẳng AD.
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với đường thẳng CD.
a) Do 4 điểm S, D, A, B không đồng phẳng nên hai đường thẳng SD và AB chéo nhau.
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DC//AB\\AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DC//\left( {SAB} \right)\).
c) Do AD Ç BC = I nên I Î (SAD) Ç (SBC) mà S Î (SAD) Ç (SBC) nên SI = (SAD) Ç (SBC).
Mặt khác SI và AD cắt nhau tại I suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt đường thẳng AD.
d) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng d đi qua S và song song AB, CD.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AD và BC. Gọi M là trọng tâm tam giác SAD, N là điểm thuộc đoạn AC sao cho NA = 2NC.
a) AD // (SBC).
b) MN cắt (SCD).
c) Mặt phẳng (MBC) giao (SAD) theo giao tuyến HK (H Î SA, K Î SD) song song với AD.
d) Tứ giác BCKH là hình bình hành khi và chỉ khi AD = 2BC.
a) Do AD // BC Ì (SBC) nên AD // (SBC).
b) Gọi E là trung điểm của SD.
Khi đó \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) Þ MN // CE Ì (SCD) nên MN // (SCD).
c) Do AD // BC, BC Ì (MBC), AD Ì (SAD) nên (MBC) Ç (SAD) = HK thì AD // HK.
d) Tứ giác BCKH là hình bình hành Û HK = BC Û \(\frac{2}{3}AD = BC \Leftrightarrow 2AD = 3BC\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD. Gọi Q là giao điểm của SA với (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SA}}\).
Trong (ABCD), gọi E = MN Ç AC.
Trong (SAC) vẽ EQ // SC với Q Î SA.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}QE//PN\left( {//SE} \right)\\PN \subset \left( {MNP} \right)\\E \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)Þ Q Î (MNP).
Þ Q = SA Ç (MNP).
Ta có MN là đường trung bình của DBCD nên MN // BD hay ME // BO.
Suy ra E là trung điểm của OC.
Khi đó \(\frac{{CE}}{{CO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
Xét DSAC, ta có QE // SC nên \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Chohình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho \(SM = \frac{1}{2}SC\). Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD. Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SB}} + \frac{{SF}}{{SD}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \cap SO = I\\AM \subset \left( P \right)\\SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Mà SD // (P), SD Ì (SBD) suy ra (P) Ç (SBD) = d // BD với I Î d.
Gọi E = d Ç SB, F = d Ç SD. Khi đó E, F chính là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD.
Xét DSAC có O là trung điểm của AC, M là trung điểm của SC nên I là trọng tâm của tam giác SAC. Suy ra \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Lại có EF // BD nên \(\frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{SE}}{{SB}} + \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,3\).
Trả lời: 1,3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4 tâm O. Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SC, SD và (H) là ảnh của tam giác MPQ qua phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu MA. Tính diện tích của hình (H).
Ảnh của tam giác MPQ qua phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu MA là tam giác AOI với O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.
Ta có \({S_{\Delta AOI}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{{{4^2}}}{8} = 2\).
Trả lời: 2
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) chứa BG và song song với AC, cắt AD tại K. Biết AK = mKD. Tính m.
Gọi I, M lần lượt là trung điểm của CD, BC.
Ta có (P) Ç (ACD) = IK // AC.
Suy ra IK là đường trung bình của tam giác ACD nên AK = KD.
Vậy m = 1.
Trả lời: 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm SC. Gọi F là điểm trên đoạn BD sao cho 3BF = 2BD và M là giao điểm của SB và (AEF). Khi đó tỉ số \(\frac{{SM}}{{SB}}\) là \(\frac{a}{b}\) với a, b Î ℕ và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính 3a + b.
Gọi I = SO Ç AE suy ra I là trọng tâm DSAC; kéo dài FI cắt SB tại M.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SB\\M \in FI \subset \left( {AEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M = SB \cap \left( {AEF} \right)\).
Ta có \(BF = \frac{2}{3}BD\) \( \Rightarrow DF = \frac{1}{3}BD = \frac{2}{3}DO\) Þ F là trọng tâm DACD.
Suy ra \(\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OF}}{{OD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IF//SD\).
Do đó FM // SD Þ \(\frac{{BM}}{{BS}} = \frac{{BF}}{{BD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra 3a + b = 6.
Trả lời: 6
