Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 4 có đáp án

a) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AD và BE thì SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).

b) Vì AB // DE nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) là đường thẳng m đi qua S và song song với AB.

c) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) thì d // AE. Vì d nằm trong mặt phẳng (SBC) nên AE // (SBC).

Mặt phẳng (SBC) song song với đường thẳng AE nằm trong mặt phẳng (ABCDE) nên giao tuyến BC của hai mặt phẳng đó song song với AE.

Vậy AE // BC.

a) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó BC // NP.

Lại có NP ⊂ (MNP). Vậy BC // (MNP).

b) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của MN và A'B'.

Trong mặt phẳng (ACC'A'), gọi F là giao điểm của MP và A'C'.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (A'B'C').

Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng EF.

c) Vì NP // BC và BC // B'C' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).

Do đó, NP // B'C'. Lại có B'C' ⊂ (A'B'C'). Suy ra NP // (A'B'C').

Mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng NP song song với mặt phẳng (A'B'C') nên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó song song với B'C', suy ra d // NP.

a) Ta có hai đường thẳng EB và FC cắt nhau tại S nên S là một điểm chung của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).

Lại có hai mặt phẳng này lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau (do ABCD là hình bình hành).

Vậy giao tuyến là đường thẳng m qua S và song song với AB.

b) Ta có AD // BC (do ABCD là hình bình hành).

Mà BC ⊂ (SBC). Do đó AD // (SBC).

Ta cũng có E và F lần lượt thuộc SB và SC nên EF ⊂ (SBC). Mà EF ⊂ (P).

Suy ra EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (P).

Khi đó, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (SBC) nên giao tuyến EF của hai mặt phẳng đó song song với AD. Vậy tứ giác AEFD là hình thang.

c) Trong mặt phẳng (AEFD) gọi L là giao điểm của hai đường thẳng AF và DE.

Trong mặt phẳng (SBC) gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BF và CE.

Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) là đường thẳng KL.

d) Hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là CD và AB nên giao tuyến KL của hai mặt phẳng đó song song với AB.

Do đó KL song song với m.

a) Trong mặt phẳng (SAD) gọi E là giao điểm của AO và SD thì E là giao điểm của AO và mặt phẳng (SCD).

b) Trong mặt phẳng (SAD) gọi F là giao điểm của SO và AD.

Trong hình thang ABCD, đường thẳng AC cắt BF tại G.

Ta có G ∈ AC ⊂ (SAC) và G ∈ BF ⊂ (SBO) nên G là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).

Lại có S cũng là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).

Vậy SG là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).

c) Trong mặt phẳng (SBO) gọi H là giao điểm của BO và SG.

Do G thuộc mặt phẳng (SAC) nên đường thẳng SG nằm trong mặt phẳng (SAC).

Vậy H là giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

a) Vì M, M' lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, A'B' của hình bình hành ABB'A' nên MM' // AA' và MM' = AA'.

Tương tự NN' // DD' và NN' = DD'.

Tứ giác ADD'A' là hình bình hành nên AA' // DD' và AA' = DD'.

Vì vậy MM' // NN' và MM' = NN', suy ra bốn điểm M, N, M', N' đồng phẳng và tứ giác MNN'M' là hình bình hành.

b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và BC.

Vì hai mặt phẳng (MNN'M') và (BCC'B') lần lượt chứa hai đường thẳng MM' và BB' song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNN'M') và (BCC'B') là đường thẳng d đi qua P và song song với BB'.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA', BB' của hình bình hành ABB'A' nên ta có MN // AB, suy ra MN // (ABCD).

Tương tự NP // (ABCD), do đó (MNP) // (ABCD).

Lập luận tương tự suy ra (NPQ) // (ABCD).

Qua điểm N có hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Ngoài ra từ M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA', BB' của hình bình hành ABB'A' ta suy ra được MN = AB.

Do đó, MN // AB và MN = AB.

Tương tự, ta chứng minh được PQ // CD và PQ = CD.

Mà AB // CD và AB = CD (do ABCD là hình bình hành).

Khi đó, MN // PQ và MN = PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Áp dụng định lí ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng gồm: mặt đất, mặt tường và mặt kính. Khi đó ba giao tuyến là mép chân tường và hai mép kính AB, CD.

Vì AB không song song với CD nên ba giao tuyến đồng quy, vì vậy không thể đặt tấm kính sao cho mép CD song song với đường chân tường.

Có thể đặt tấm kính sao cho mép kính BC nằm trên tường và mép kính AD nằm trên mặt đất. Khi đó cả hai mép kính đều song song với đường chân tường.