Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 4 có đáp án
26 câu hỏi
Trong không gian cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Nếu c là một đường thẳng song song với a thì
A. c và b song song với nhau.
B. c và b cắt nhau.
C. c và b chéo nhau.
D. c và b không song song với nhau.
Đáp án đúng là: D
Bài toán này xảy ra 2 trường hợp:
+ TH1: ba đường thẳng a, b, c đồng phẳng thì c và b cắt nhau.
+ TH2: ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng thì c và b chéo nhau.
Do đó, trong mọi trường hợp thì c và b không song song với nhau.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Khi đó
A. MN, AC, PQ đồng quy.
B. MN, AC, PQ đôi một song song.
C. MN, AC, PQ đôi một chéo nhau.
D. MN, AC, PQ đôi một song song hoặc đồng quy.
Đáp án đúng là: D
Ta có: (MNPQ) ∩ (ABC) = MN.
(ABC) ∩ (ACD) = AC.
(MNPQ) ∩ (ACD) = PQ.
Ba mặt phẳng (MNPQ), (ABC) và (ACD) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến MN, AC và PQ nên theo định lí về 3 đường giao tuyến thì MN, AC, PQ đôi một song song hoặc đồng quy.
Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b là
A. song song.
B. chéo nhau.
C. trùng nhau.
D. cắt nhau.
Đáp án đúng là: A
Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng d cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Đường thẳng d' cắt các mặt phẳng phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A', B', C'. Biết rằng ABAC=23, tỉ số A'B'A'C' bằng
A. 13.
B. 23.
C. 32.
D. 12.
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lý Thalès trong không gian, ta có ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'.
Suy ra A'B'A'C'=ABAC=23.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Khi đó d đi qua S và song song với
A. AC.
B. CD.
C. BD.
D. BC.
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng AB, CD song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với CD.
Cho tứ diện ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng EF và cắt mặt phẳng (ABD) theo giao tuyến d. Khi đó
A. d song song với BC.
B. d song song với AB.
C. d song song với BD.
D. d song song với CD.
Đáp án đúng là: C
Vì E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD nên EF là đường trung bình của tam giác BCD, do đó EF // BD.
Hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABD) lần lượt chứa hai đường thẳng EF và BD song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng song song với BD.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu song song của điểm A trên mặt phẳng (CDD'C') theo phương BC' là
A. D'.
B. D.
C. B.
D. C'.
Đáp án đúng là:
Tứ giác AD'C'B có AB // D'C' (cùng song song với A'B') và AB = D'C' (= A'B').
Do đó, tứ giác AD'C'B là hình bình hành, suy ra AD' // BC'.
Ta có, D' là giao điểm của AD' và mặt phẳng (CDD'C') và AD' // BC'.
Vậy hình chiếu song song của điểm A trên mặt phẳng (CDD'C') theo phương BC' là điểm D'.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó
A. d là tập hợp tất cả các điểm nằm trong mặt phẳng (P) và nằm ngoài mặt phẳng (Q).
B. d là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và nằm trong mặt phẳng (Q).
C. d là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
D. d là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Đáp án đúng là: D
Giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P).
B. Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).
C. Qua A không có mặt phẳng nào song song với (P).
D. Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P).
Đáp án đúng là: B
Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Qua A có đúng một và chỉ một mặt phẳng song song với (P).
Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE. Giả sử AB song song với DE.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).
a) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AD và BE thì SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE).
b) Vì AB // DE nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) là đường thẳng m đi qua S và song song với AB.
c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) song song với đường thẳng AE. Chứng minh rằng AE // BC.
c) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) thì d // AE. Vì d nằm trong mặt phẳng (SBC) nên AE // (SBC).
Mặt phẳng (SBC) song song với đường thẳng AE nằm trong mặt phẳng (ABCDE) nên giao tuyến BC của hai mặt phẳng đó song song với AE.
Vậy AE // BC.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB, AC.
a) Chứng minh rằng BC // (MNP).
a) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC, do đó BC // NP.
Lại có NP ⊂ (MNP). Vậy BC // (MNP).
b) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNP) và (A'B'C').
b) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của MN và A'B'.
Trong mặt phẳng (ACC'A'), gọi F là giao điểm của MP và A'C'.
Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (A'B'C').
Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng EF.
c) Chứng minh rằng d // NP.
c) Vì NP // BC và BC // B'C' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).
Do đó, NP // B'C'. Lại có B'C' ⊂ (A'B'C'). Suy ra NP // (A'B'C').
Mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng NP song song với mặt phẳng (A'B'C') nên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó song song với B'C', suy ra d // NP.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD và cắt hai cạnh SB, SC lần lượt tại E, F.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).
a) Ta có hai đường thẳng EB và FC cắt nhau tại S nên S là một điểm chung của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).
Lại có hai mặt phẳng này lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau (do ABCD là hình bình hành).
Vậy giao tuyến là đường thẳng m qua S và song song với AB.
b) Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình thang.
b) Ta có AD // BC (do ABCD là hình bình hành).
Mà BC ⊂ (SBC). Do đó AD // (SBC).
Ta cũng có E và F lần lượt thuộc SB và SC nên EF ⊂ (SBC). Mà EF ⊂ (P).
Suy ra EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (P).
Khi đó, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (SBC) nên giao tuyến EF của hai mặt phẳng đó song song với AD. Vậy tứ giác AEFD là hình thang.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB).
c) Trong mặt phẳng (AEFD) gọi L là giao điểm của hai đường thẳng AF và DE.
Trong mặt phẳng (SBC) gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BF và CE.
Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) là đường thẳng KL.
d) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).
d) Hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là CD và AB nên giao tuyến KL của hai mặt phẳng đó song song với AB.
Do đó KL song song với m.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SAD.
a) Xác định giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).
a) Trong mặt phẳng (SAD) gọi E là giao điểm của AO và SD thì E là giao điểm của AO và mặt phẳng (SCD).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
b) Trong mặt phẳng (SAD) gọi F là giao điểm của SO và AD.
Trong hình thang ABCD, đường thẳng AC cắt BF tại G.
Ta có G ∈ AC ⊂ (SAC) và G ∈ BF ⊂ (SBO) nên G là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
Lại có S cũng là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
Vậy SG là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).
c) Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).
c) Trong mặt phẳng (SBO) gọi H là giao điểm của BO và SG.
Do G thuộc mặt phẳng (SAC) nên đường thẳng SG nằm trong mặt phẳng (SAC).
Vậy H là giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, M', N' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, A'B', C'D'.
a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' đồng phẳng và tứ giác MNN'M' là hình bình hành.
a) Vì M, M' lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, A'B' của hình bình hành ABB'A' nên MM' // AA' và MM' = AA'.
Tương tự NN' // DD' và NN' = DD'.
Tứ giác ADD'A' là hình bình hành nên AA' // DD' và AA' = DD'.
Vì vậy MM' // NN' và MM' = NN', suy ra bốn điểm M, N, M', N' đồng phẳng và tứ giác MNN'M' là hình bình hành.
b) Giả sử MN không song song với BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNN'M') và (BCC'B').
b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và BC.
Vì hai mặt phẳng (MNN'M') và (BCC'B') lần lượt chứa hai đường thẳng MM' và BB' song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNN'M') và (BCC'B') là đường thẳng d đi qua P và song song với BB'.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC', DD'. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MNPQ là hình bình hành.
Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA', BB' của hình bình hành ABB'A' nên ta có MN // AB, suy ra MN // (ABCD).
Tương tự NP // (ABCD), do đó (MNP) // (ABCD).
Lập luận tương tự suy ra (NPQ) // (ABCD).
Qua điểm N có hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
Ngoài ra từ M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA', BB' của hình bình hành ABB'A' ta suy ra được MN = AB.
Do đó, MN // AB và MN = AB.
Tương tự, ta chứng minh được PQ // CD và PQ = CD.
Mà AB // CD và AB = CD (do ABCD là hình bình hành).
Khi đó, MN // PQ và MN = PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Một người thợ đang cố gắng đặt tấm kính ABCD (mép AB không song song với CD) dựa vào tường sao cho mép kính CD song song với đường chân tường, còn mép kính AB nằm hoàn toàn trên tường. Sau một hồi loay hoay, người thợ vẫn không thể đặt được tấm kính như mong muốn. Hãy giải thích tại sao.
Có cách nào đặt tấm kính để một mép kính song song với đường chân tường, một mép kính khác nằm hoàn toàn trên tường không?
Áp dụng định lí ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng gồm: mặt đất, mặt tường và mặt kính. Khi đó ba giao tuyến là mép chân tường và hai mép kính AB, CD.
Vì AB không song song với CD nên ba giao tuyến đồng quy, vì vậy không thể đặt tấm kính sao cho mép CD song song với đường chân tường.
Có thể đặt tấm kính sao cho mép kính BC nằm trên tường và mép kính AD nằm trên mặt đất. Khi đó cả hai mép kính đều song song với đường chân tường.
