Khái niệm và tính chất bất đẳng thức

Do x> 0 nên  $\frac{2}{x}>0$.

Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số dương $x;\frac{2}{x}$ ta được:

$f\left(x\right)=x+\frac{2}{x}\ge 2.\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$

$f\left(x\right)=2\sqrt{2}\iff x=\frac{2}{x}\iff x^2=2\iff x=\sqrt{2} \left(x>0\right)$.

 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{2}{x}$ với x > 0 là $2\sqrt{2}$.

Đáp án là D.

Ta có $x^2+3x=x^2+2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$

Lại có: ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2\ge 0\forall x\Rightarrow {\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}\ge \frac{-9}{4}$ 

 Do đó ; $x^2+3x\ge \frac{-9}{4}$

$x^2+3x=\frac{-9}{4}$ khi $x=-\frac{3}{2}$ 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2$ + 3x là $-\frac{9}{4}$ đạt được khi $x=-\frac{3}{2}$.

Đáp án là B.

Ta có :  $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2a-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x=2a\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=1-a\\ x=a\end{array}\right.\right.$

Do đó :

$$\begin{gathered} xy=a.\left(1-a\right)=a-a^2=-\left(a^2-2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4} \\ =-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4} \end{gathered}$$  

Do $-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0\forall a\Rightarrow -{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$

Suy ra,giá  trị lớn nhất của xy là $\frac{1}{4}$ khi $a=\frac{1}{2}$.

Đáp án là B.

Nếu m >0 thì – m <0

Ta có:  n <0 và – m <0 nên n + (-m) < 0 hay n – m < 0 

Chọn B.

Ta có: 5 >3 nên cộng cả hai vế với a ta được: 5 + a >  3 + a

Do a< b mà 2 > 0 nên 2a < 2b  (*)

Cộng cả 2 vế của (*)  với 5c ta được: 2a +  5c <  2b +  5c

Nếu a> b >0  và c> d > 0 thì

* a+ c > b + d

* Từ a > b > 0  và c > 0 nên ac >  bc   (1)

Lại có c > d và b > 0 nên bc >  bd   (2)

Từ(1) và (2) suy ra: ac >  bd.

* Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b}>\frac{b}{b}=1; \frac{d}{c}<\frac{c}{c}=1 \\ \Rightarrow \frac{a}{b}>1>\frac{d}{c} \end{gathered}$$

Vậy khẳng định C sai.

* Từ a- b > a suy ra: a – b + ( -a) > a + (-a) hay – b >0

$\iff$b < 0  ( nhân cả 2 vế với -1).

* Từ a + b < b suy ra: a + b + (- b) <  b + (-b)

Hay a < 0

Vậy a < 0 và  b < 0 .

Do a + 4 c >  b +  4c nên : a + 4c + (- 4c) > b + 4c + (-4c) hay a>  b.

Nhân cả 2 vế với 6> 0 ta được: 6a > 6b.

Do đó C đúng

Cho a = 0, b = -2

$\Rightarrow$ -2.0<-2.-2. Nên A sai.

$\Rightarrow 0^2<{\left(-2\right)}^2$. Nên B sai.

$\Rightarrow \frac{1}{0}$ không tồn tại. Nên D sai.

Chọn C.

Vì độ dài các cạnh của tam giác là 1; 2; x nên áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 

  $1+2>x; 1+x>2; 2+x>1$  do đó $1<x<3$ , mà x nguyên nên x= 2.

Ta có:

* a² + 2a + 1 = (a+ 1)²

*$a^2+a+1=a^2+2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall a$

* a² – 2a + 1 = (a- 1)²

Do đó, chỉ có biểu thức a² + 2a – 1  có thể nhận giá trị âm .

* Ta có  15   < 16 nên $\sqrt{15}<\sqrt{16}=4$

$\sqrt{2}>1\Rightarrow 3+\sqrt{2}>3+1$ hay $3+\sqrt{2}>4$

 *  Do ${\left(\sqrt{15}\right)}^2=15 ; {\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=7+4\sqrt{3}$ ;

$2>\sqrt{3}\iff 8>4\sqrt{3}\iff 8+7>7+4\sqrt{3}$ hay  15$>7+4\sqrt{3}$

* Từ trên suy ra:$7+4\sqrt{3}<15<16<11+6\sqrt{2}$

Nên:  $2+\sqrt{3}<\sqrt{15}<4<3+\sqrt{2}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y=a^2+a+1\\ x-y=-a^2+a-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=a^2+a+1\\ 2x=2a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=a^2+1\\ x=a\end{array}\right.$

Do đó $3x+y=a^2+3a+1={\left(a+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}\ge -\frac{5}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi $a=-\frac{3}{2}$.

Ta có :

$$\begin{gathered} 0\le {\left(x-y\right)}^2\iff 0\le x^2-2xy+y^2\iff 2xy\le x^2+y^2 \\ \iff x^2+y^2+2xy\le x^2+y^2+x^2+y^2 \\ \iff {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)\iff {\left(x+y\right)}^2\le 2 \\ \iff -\sqrt{2}\le x+y\le \sqrt{2} \end{gathered}$$

Do đó $-\sqrt{2}\le S\le \sqrt{2}$ .

Do x> 2 nên 0 < x- 1 < x< x+ 1, do đó $\frac{2}{x+1}< \frac{2}{x}< \frac{2}{x-1}$ và $\frac{x+1}{2}> \frac{x}{2}$.

Hơn nữa, do x > 2 nên $\frac{x}{2}>\frac{2}{2}>\frac{2}{x}$ .

 Suy ra biểu thức luôn nhận giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức đã cho là $\frac{2}{x+1}$.

Ta có $x^2-6\left|x\right|={\left(\left|x\right|-3\right)}^2-9\ge -9$  với mọi x.

$x^2-6\left|x\right|=-9\iff \left|x\right|-3=0\iff \left|x\right|=3\iff x=\pm 3$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức với $x\in \mathrm{ℝ}$  là $-9$ , đạt được khi $x=\pm 3$ .

Ta có: $x^2\ge 0; 3\left|x\right|\ge 0 \forall x\Rightarrow g\left(x\right)=x^2+3\left|x\right|\ge 0 \forall x$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức g(x) là 0 khi x= 0.

Với 2 số thực a và b tùy ý, ta luôn có:$\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$

Dấu “=” xảy ra khi a và b cùng dấu.

* Mệnh đề C:  Nếu $\left|a\right|<\left|b\right|$$\Rightarrow$$a^2<b^2$ là đúng.

* Mệnh đề A cần sửa thành: $\left|-ab\right|=\left|a\right|.\left|b\right|$

* Mệnh đề B cần sửa thành:$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|-b\right|}$ $b\ne 0$

* Mệnh đề D cần sửa thành:  $\left|a-b\right|\le \left|a\right|-\left|b\right|$

Khi x >0 thì 2x > 0 và $\frac{3}{x}>0$

 Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương 2x và $\frac{3}{x}$ ta được:

$2x+\frac{3}{x}\ge 2.\sqrt{2x.\frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$

Dấu “=” xảy ra khi $2x=\frac{3}{x}\iff x=\sqrt{\frac{3}{2}}>0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là $2\sqrt{6}$ .

Áp dụng bất đẳng thức cô- si ngược ta có:$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$

$$\begin{gathered} \sqrt{x-2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left(x-2\right)}\le \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{2+x-2}{2} \\ \iff \sqrt{x-2}\le \frac{x}{2\sqrt{2}}\iff \frac{\sqrt{x-2}}{x}\le \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là: $\frac{1}{2\sqrt{2}}$  khi x = 4.

Do x> 0  nên $\frac{1}{x^2}>0$; áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 3 số x, x, $\frac{1}{x^2}$  ta được:

$f\left(x\right)=2x+\frac{1}{x^2}=x+x+\frac{1}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{x.x.\frac{1}{x^2}=3}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 3 khi x = 1.

Ta có: $P=\frac{x^2+2x+5}{2\left(x+1\right)}=\frac{{\left(x+1\right)}^2+4}{2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}$

Vì $x\ge 0\Rightarrow x+1>0\Rightarrow \frac{x+1}{2}>0; \frac{2}{x+1}>0$

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho 2 số dương

$\frac{x+1}{2};\frac{2}{x+1}$ :$\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}\ge 2.\sqrt{\frac{x+1}{2}.\frac{2}{x+1}}=2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 1.