Khái niệm và tính chất bất đẳng thức

Áp dụng tính chất: Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d, từ đó suy ra a-d>b-c.

Đáp án là C.

Áp dụng tính chất: Nếu a>b và c là số bất kì thì a + c > b + c.

Đáp án là C.

Áp dụng tính chất: Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d.

Đáp án là D.

Áp dụng tính chất:

+ Nếu a > b và c là số dương thì ac > bc.

+ Nếu a > b > 0 thì a2>b2.

+ Nếu a>b>0,c>d>0 thì ac > bd.

Do đó ba bất đẳng thức ở các phương án A, C, D đều đúng.

Bất đẳng thức ở phương án B không đúng, chẳng hạn 5>3,4>1 mà 5-4<3-1. Vậy đáp án là B.

Đặt a=6+13, b=19 và c=3+16 thì a, b, c đều dương.

Vì a2=19+278, b2=19, c2=19+248 nên b2<c2<a2, do đó b<c<a. Đáp án là A.

Bất đẳng thức a4>b4 không đúng. Chẳng hạn 1>-2 nhưng 14<-24.

Các bất đẳng thức còn lại đều đúng. Đáp án là C.

Vì a+b=3 nên b=3-a. Do đó:

ab=a3-a=-a2+3a=-a2-2.32a+94+94=-a-322+94≤94∀a 

ab=94⇔a=b=32 Vậy giá trị lớn nhất của a.b là 94 (đạt được khi a=b=32).

Đáp án là B.

Cách 1: Với mọi x thì x≥x. Đáp án là D.

Cách 2: Dùng cách loại trừ:

+ Lấy x > 0 thì x=x nên bất đẳng thức x>x không đúng.

+ Lấy x < 0 thì x=-x nên bất đẳng thức x>-x không đúng.

+ Ta có x2=x2 với mọi x nên bất đẳng thức x2>x2 không đúng.

Đáp án là D.

Cách 1: Có thể thay a = b = 1 vào các bất đẳng thức ab≤2ab-1 thì thấy ngay bất đẳng thức  không đúng. Đáp án là C.

Cách 2: Do a≥1 nên a-1≥0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a - 1 và 1 ta có a-1+1≥2a-1.1. Do đó a≥2a-1.

Tương tự b-1+1≥2b-1.1, hay b≥2b-1.                           (*)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (*) với a > 0 ta được ab≥2ab-1.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra đáp án là C.

Do x> 0 nên  2x>0.

Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số dương x;2x ta được:

fx=x+2x≥2.x.2x=22

fx=22⇔x=2x⇔x2=2⇔x=2 x>0.

 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x+2x với x > 0 là 22.

Đáp án là D.

Ta có x2+3x=x2+2.x.32+94-94=x+322-94

Lại có: x+322≥0∀x⇒x+322-94≥-94 

 Do đó ; x2+3x≥-94

x2+3x=-94 khi x=-32 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + 3x là -94 đạt được khi x=-32.

Đáp án là B.

Ta có :  x+y=1x-y=2a-1⇔x+y=12x=2a⇔y=1-ax=a

Do đó :

xy=a.1-a=a-a2=-a2-2.12a+14+14=-a-122+14  

Do -a-122≤0∀a⇒-a-122+14≤14

Suy ra,giá  trị lớn nhất của xy là 14 khi a=12.

Đáp án là B.

Nếu m >0 thì – m <0

Ta có:  n <0 và – m <0 nên n + (-m) < 0 hay n – m < 0 

Chọn B.

Ta có: 5 >3 nên cộng cả hai vế với a ta được: 5 + a >  3 + a

Do a< b mà 2 > 0 nên 2a < 2b  (*)

Cộng cả 2 vế của (*)  với 5c ta được: 2a +  5c <  2b +  5c

Nếu a> b >0  và c> d > 0 thì

* a+ c > b + d

* Từ a > b > 0  và c > 0 nên ac >  bc   (1)

Lại có c > d và b > 0 nên bc >  bd   (2)

Từ(1) và (2) suy ra: ac >  bd.

* Ta có:

ab>bb=1; dc<cc=1⇒ab>1>dc

Vậy khẳng định C sai.

* Từ a- b > a suy ra: a – b + ( -a) > a + (-a) hay – b >0

⇔b < 0  ( nhân cả 2 vế với -1).

* Từ a + b < b suy ra: a + b + (- b) <  b + (-b)

Hay a < 0

Vậy a < 0 và  b < 0 .

Do a + 4 c >  b +  4c nên : a + 4c + (- 4c) > b + 4c + (-4c) hay a>  b.

Nhân cả 2 vế với 6> 0 ta được: 6a > 6b.

Do đó C đúng

Cho a = 0, b = -2

⇒ -2.0<-2.-2. Nên A sai.

⇒02<-22. Nên B sai.

⇒10 không tồn tại. Nên D sai.

Chọn C.

Vì độ dài các cạnh của tam giác là 1; 2; x nên áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 

  1+2>x; 1+x>2; 2+x>1  do đó 1<x<3 , mà x nguyên nên x= 2.

Ta có:

* a² + 2a + 1 = (a+ 1)²

*a2+a+1=a2+2.12a+14+34=a+122+34>0∀a

* a² – 2a + 1 = (a- 1)²

Do đó, chỉ có biểu thức a² + 2a – 1  có thể nhận giá trị âm .

* Ta có  15   < 16 nên 15<16=4

2>1⇒3+2>3+1 hay 3+2>4

 *  Do 152=15 ; 2+32=7+43 ;

2>3⇔8>43⇔8+7>7+43 hay  15>7+43

* Từ trên suy ra:7+43<15<16<11+62

Nên:  2+3<15<4<3+2

Ta có: x+y=a2+a+1x-y=-a2+a-1⇔x+y=a2+a+12x=2a⇔y=a2+1x=a

Do đó 3x+y=a2+3a+1=a+322-54≥-54 . Dấu bằng xảy ra khi a=-32.

Ta có :

0≤x-y2⇔0≤x2-2xy+y2⇔2xy≤x2+y2⇔x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2⇔x+y2≤2x2+y2⇔x+y2≤2⇔-2≤x+y≤2

Do đó -2≤S≤2 .

Do x> 2 nên 0 < x- 1 < x< x+ 1, do đó 2x+1< 2x< 2x-1 và x+12> x2.

Hơn nữa, do x > 2 nên x2>22>2x .

 Suy ra biểu thức luôn nhận giá trị nhỏ nhất trong các biểu thức đã cho là 2x+1.

Ta có x2-6x=x-32-9≥-9  với mọi x.

x2-6x=-9⇔x-3=0⇔x=3⇔x=±3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x∈ℝ  là -9 , đạt được khi x=±3 .

Ta có: x2≥0; 3x≥0 ∀x⇒gx=x2+3x≥0 ∀x

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức g(x) là 0 khi x= 0.

Với 2 số thực a và b tùy ý, ta luôn có:a+b≤a+b

Dấu “=” xảy ra khi a và b cùng dấu.

* Mệnh đề C:  Nếu a<b⇒a2<b2 là đúng.

* Mệnh đề A cần sửa thành: -ab=a.b

* Mệnh đề B cần sửa thành:ab=a-b b≠0

* Mệnh đề D cần sửa thành:  a-b≤a-b

Khi x >0 thì 2x > 0 và 3x>0

 Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương 2x và 3x ta được:

2x+3x≥2.2x.3x=26

Dấu “=” xảy ra khi 2x=3x⇔x=32>0

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 26 .

Áp dụng bất đẳng thức cô- si ngược ta có:ab≤a+b2

x-2=12.2x-2≤12.2+x-22⇔x-2≤x22⇔x-2x≤122

Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là: 122  khi x = 4.

Do x> 0  nên 1x2>0; áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 3 số x, x, 1x2  ta được:

fx=2x+1x2=x+x+1x2≥3x.x.1x2=33.

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 3 khi x = 1.

Ta có: P=x2+2x+52x+1=x+12+42x+1=x+12+2x+1

Vì x≥0⇒x+1>0⇒x+12>0; 2x+1>0

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho 2 số dương

x+12;2x+1 :x+12+2x+1≥2.x+12.2x+1=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 1.