Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian có đáp án
20 câu hỏi
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?
Để mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian, chúng ta có thể sử dụng hệ tọa độ trong không gian và khoảng cách các điểm trong không gian.
Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Gọi i→,j→,k→ là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng tọa độ có trong Hình 2.35.
a) Các mặt phẳng tọa độ là (Oxy), (Oxz), (Oyz).
b) Các mặt phẳng tọa độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau?
b) Vì Ox ^ Oy, Ox ^ Oz nên Ox ^ (Oyz) Þ (Oxy) ^ (Oyz); (Oxz) ^ (Oyz).
Tương tự (Oxy) ^ (Oxz).
Do đó các mặt phẳng này đôi một vuông góc với nhau.
Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc tọa độ và các mặt phẳng tọa độ trong hình ảnh đó.
Góc căn phòng trong Hình 2.34 gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian.
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+) Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Oxz) là hai bức tường. Khi đó ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+) Gốc tọa độ O trùng với một góc phòng là giao điểm của 3 trục Ox, Oy, Oz.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ i→,j→,k→ lần lượt cùng hướng với các vectơ CB→,CD→,CC'→ không? Giải thích vì sao.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên các cạnh CC', CB và CD đôi một vuông góc với nhau.
Các vectơ CB→,CD→,CC'→ cùng có điểm đầu là C.
Suy ra có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ i→,j→,k→ lần lượt cùng hướng với các vectơ CB→,CD→,CC'→.
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ OM→ và OA→+OB→+OC→ có bằng nhau không?
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:
OA→+OB→+OC→=OM→.
b) Giải thích vì sao có thể viết OM→=xi→+yj→+zk→ với x, y, z là các số thực.
b) Vì i→ là vectơ đơn vị trên trục Ox nên ta có OA→=xi→ với x là số thực.
Vì j→ là vectơ đơn vị trên trục Oy nên ta có OB→=yj→ với y là số thực.
Vì k→ là vectơ đơn vị trên trục Oz nên ta có OC→=zk→ với z là số thực.
Do đó OM→=xi→+yj→+zk→ với x, y, z là các số thực.
Hãy tìm tọa độ của gốc O.
Gốc O có tọa độ là O(0; 0; 0).
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Ta có ON→=2i→+5j→+4k→.
Do đó N(2; 5; 4).
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C'.
Theo ví dụ 3, ta có: m = 2, n = 3, p = 5.
Theo quy tắc hình bình hành ta có: OB→=OB'→+OA→=3j→+5k→.
Do đó B(0; 3; 5).
Theo quy tắc hình bình hành ta có: OD→=OD'→+OA→=2i→+5k→.
Do đó D(2; 0; 5).
Theo quy tắc hình bình hành ta có: OC'→=OD'→+OB'→=2i→+3j→.
Do đó C'(2; 3; 0).
Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó.
Hệ tọa độ Oxyz có:
+) Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Oxz) là hai bức tường. Khi đó ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+) Gốc tọa độ O trùng với một góc phòng là giao điểm của 3 trục Ox, Oy, Oz.
+) Điểm N là vị trí của đèn.
Khi đó ON→=xi→+yj→+zk→=i→+1,5j→+2k→.
Do đó N(1; 1,5; 2).
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ i→+2j→+5k→.
Tọa độ của vectơ i→+2j→+5k→ là (1; 2; 5).
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D' sao cho ABCD.A'B'C'D' là hình hộp.
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Quãng đường máy bay đi được trong nửa giờ là 890.0,5 = 445 (km).
Vì chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó là: (0; 445; 0).
Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).
Hình vẽ phù hợp là
Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:
a) A trùng với gốc tọa độ;
b) A nằm trên tia Ox và OA = 2.
c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3.
a) A(0; 0; 0).
b) A nằm trên tia Ox và OA = 2 nên OA→=2i→. Suy ra A(2; 0; 0).
c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3 nên OA→=−3j→. Suy ra A(0; −3; 0).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có A(1; 1; −1), B(0; 3; 0), C'(2; −3; 6).
a) Xác định tọa độ của điểm C.
a) Ta có O (0; 0; 0).
Vì OABC là hình bình hành nên OC→=AB→.
Gọi C(x; y; z). Suy ra OC→=x;y;z; AB→=−1;2;1.
Mà OC→=AB→ nên x = −1; y = 2; z = 1.
Vậy C(−1; 2; 1).
b) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.
Khi máy bay di chuyển trên đường băng tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất,tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.
