Bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Hình bên mô tả một sân cầu lông với kích thước tiêu chuẩn quốc tế. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên (đơn vị trên mỗi trục là mét), giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới, hãy xác định tọa độ của B.
(6,1; 6,7; 1,55);
(6,7; 6,1; 1,55);
(6,1; 0; 1,55);
(0; 6,7; 1,55).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ điểm B(6,7; 6,1; 1,55).
Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50; \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ ;\left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 48^\circ \). Tìm tọa độ điểm M.
M(37,2; 14,7; 30,1);
M(14,7; 37,2; 30,1);
M(30,1; 14,7; 37,2);
M(14,7; 30,1; 37,2).
Đáp án đúng là: D
Tam giác OMH vuông tại H, có OH = OM.cos48° ≈ 33,5; OC = MH = OM.sin48° ≈ 37,2.
Tam giác OAH vuông tại A, có OA = OH.cos64° ≈ 14,7; OB = AH = OH.sin64° ≈ 30,1.
Suy ra \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 14,7\overrightarrow i + 30,1\overrightarrow j + 37,2\overrightarrow k \).
Vậy M(14,7; 30,1; 37,2).
Dùng dữ liệu sau để trả lời các câu hỏi ở bài 3, bài 4, bài 5
Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp dỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa). Ta chọn hệ trục Oxyz thỏa mãn trục Ox trùng với trục chân đế, trục Oy vuông góc với trục Ox và trục Oz trùng với trục cần cẩu (theo đơn vị mét, như hình vẽ). Gọi M là vị trí tại đỉnh cần cẩu, H là hình chiếu của M lên (Oxy). Biết tay cần KM của cần trục dài 50m, trục cần OK dài 50m, \(\left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow {KM} } \right) = 60^\circ ;\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \).
Điểm M có cao độ zM là bao nhiêu?
\(\frac{{100\sqrt 3 }}{2}\);
93,3;
75;
60.
Đáp án đúng là: C
Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.
Ta có EK = MK.cos60° = 50.cos60° = 25 m zM = OE = OK + KE = 50 + 25 = 75 m.
Tọa độ điểm H là
\(\left( {25\sqrt 2 ;25\sqrt 2 ;0} \right)\);
(25; 25; 0);
\(\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)\);
\(\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2};\frac{{5\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta gọi E là hình chiếu của M lên Oz.
Ta có ME = MK.sin60° = \(50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \). Suy ra \(OH = ME = 25\sqrt 3 \) m.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy.
Vì \(\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 45^\circ \Rightarrow OP = OQ = OH.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy điểm \(H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)\).
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {KM} \) là
\(\left( {25\sqrt 2 ;25\sqrt 2 ;25} \right)\);
(25; 25; 25);
\(\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};25} \right)\);
\(\left( {\frac{{25\sqrt 2 }}{2};\frac{{25\sqrt 2 }}{2};25} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(H\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};0} \right)\) và OE = 75 nên \(M\left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};75} \right)\).
Mà K Oz nên K(0; 0; 50).
Vậy \(\overrightarrow {KM} = \left( {\frac{{25\sqrt 6 }}{2};\frac{{25\sqrt 6 }}{2};25} \right)\).
Theo quy định của liên đoàn bóng chuyền quốc tế (FIVB), sân bóng chuyền có hình dạng chữ nhật. Kích thước tiêu chuẩn của sân bóng chuyền là 9m × 18 m. Chiều cao của lưới bóng chuyền là 2,24 m đối với nữ. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình vẽ thứ hai (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ để căng lưới bóng chuyền. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
(9; 9; 0);
(9; 9; 2,24);
(0; 0; 2,24);
(0; 0; −2,24).
Đáp án đúng là: C
Gọi tọa độ điểm A(xA; yA; zA).
Vì một nửa chiều dài của sân là 9 m nên xA = 9.
Do chiều rộng của sân là 9 m nên yA = 9.
Điểm A (Oxy) nên zA = 0.
Do đó tọa độ điểm A(9; 9; 0).
Độ dài đoạn thẳng AB = 2,24 m nên B(9; 9; 2,24).
Vậy ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;2,24} \right)\).
Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.
Máy bay đang ở độ cao là
9 m;
9 km;
300 km;
150 km.
Đáp án đúng là: B
Máy bay đang ở độ cao là 9 km.
Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.
Tọa độ của máy bay là
(300; 150; 9);
(150; 300; 9);
(0; 0; 9);
(300; 150; 0).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ của máy bay là (150; 300; 9).
Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với chiều rộng AB = 4, chiều dài AD = 8, chiều cao AA' = 10 được gắn vào hệ trục Oxyz như hình vẽ. Người ta muốn gắn bức tranh ở vị trí điểm C'. Tìm tọa độ điểm C'.
(4; 8; 10);
(8; 4; 10);
(2; 4; 5);
(4; 8; 0).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 8\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 10\overrightarrow k \).
Mà \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 4\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 10\overrightarrow k \).
Do đó \(C'\left( {4;8;10} \right)\).
Hình sau minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AH} \) là
(4; 8; 10);
(4; 0; 3);
(4; 5; 3);
(−4; 5; 3).
Đáp án đúng là: D
Vì nền nhà là hình chữ nhật nên OABC là hình chữ nhật, suy ra xA = xB = 4; yC = yB = 5.
Do điểm A nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm A(4; 0; 0); điểm C nằm trên trục Oy nên tọa độ điểm C(0; 5; 0).
Tường nhà là hình chữ nhật nên OCHE là hình chữ nhật, suy ra yH = yC = 5; zH = zE = 3.
Do H nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên tọa độ điểm H(0; 5; 3).
Vậy \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, trục Oz hướng thẳng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét). Một chiếc drone đang bay tại điểm D, cách mặt đất 4 m, cách mặt phẳng (Oxz) và (Oyz) lần lượt là 2m và 3m. Drone hạ thẳng xuống điểm H, cách mặt đất 1m, cách mặt phẳng (Oxz) và (Oyz) lần lượt là 1,5m và 2m. Khi đó:
\(\overrightarrow {DH} = \left( { - 0,5; - 1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {DH} = \left( {0,5;1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {DH} = \left( { - 1; - 0,5; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {DH} = \left( { - 0,5;1;3} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có D(3; 2; 4) và H(2; 1,5; 1).
Do đó \(\overrightarrow {DH} = \left( { - 1; - 0,5; - 3} \right)\).
\(\left( {3;2;1} \right)\).
\(\left( {6;4;2} \right)\).
\(\left( {2;2;1} \right)\).
\(\left( {3;4;1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi M(x; y; z).
Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6 - x\\y = 4 - y\\z = 2 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\end{array} \right.\)Þ M(3; 2; 1).
(10; 8; 9).
(8; 4; 6).
(6; 4; 5).
(4; 2; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi C(x; y; z).
Vì drone vẫn tiếp tục bay theo quán tính, giữ nguyên hướng với vận tốc như trước đó trong cùng khoảng thời gian nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = x - 6\\4 = y - 4\\4 = z - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 8\\x = 9\end{array} \right.\)Þ C(10; 8; 9).
(3; 7; 2).
(3; −7; 2).
(−3; 7; 2).
(3; 7; −2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi D(x; y; z). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4; - 1} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - x;3 - y;1 - z} \right)\).
Để ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = - x\\ - 4 = 3 - y\\ - 1 = 1 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 7\\z = 2\end{array} \right.\)ÞD(−3; 7; 2).
Trong một khu vực đồng bằng, ba khinh khí cầu được thả lên từ cùng một điểm xuất phát O(0; 0; 0). Sau một thời gian bay, vị trí của chúng được xác định như sau:
Khinh khí cầu A cách điểm xuất phát 3 km về phía Tây, 2 km về phía Bắc và cao 1,5 km.
Khinh khí cầu B cách điểm xuất phát 4 km về phía Đông, 3 km về phía Nam và cao 2 km.
Khinh khí cầu C cách điểm xuất phát 2 km về phía Đông, 2 km về phía Nam, cao 2,5 km.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với trục Ox hướng về hướng Đông, trục Oy hướng về hướng Bắc, trục Oz hướng lên trời, đơn vị đo trên các trục là kilômét.
Khinh khí cầu nào ở vị trí cao nhất?
Khinh khí cầu A.
Khinh khí cầu B.
Khinh khí cầu C.
Cả ba khinh khí cầu có độ cao bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Sau một thời gian khinh khí cầu A ở vị trí A(−3; 2; 1,5), khinh khí cầu B ở vị trí B(4; −3; 2), khinh khí cầu C ở vị trí C(2; −2; 2,5).
Vì zC > zB > zA nên khinh khí cầu C ở vị trí cao nhất.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz các đơn vị trên mỗi trục tọa độ đều tính bằng mét. Một camera được treo bằng 4 dây cáp bằng nhau nối tới 4 điểm trên trần nhà A(0; 0; 12); B(8; 0; 12); C(8; 6; 12); D(0; 6; 12). Camera ở vị trí K sao cho KA = KB = KC = KD và cách mặt đất 8m.
Điểm K nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại tâm hình chữ nhật.
Tọa độ điểm K là K(4; 3; 8).
Nếu camera hạ thêm 2m thì hoành độ và tung độ của K thay đổi.
\(\overrightarrow {OK} = \left( {4;3;8} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.ABCD là hình chữ nhật mà KA = KB = KC = KD nên điểm K nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại tâm hình chữ nhật.
b) Đúng. Gọi I(x; y; z) là tâm của hình chữ nhật ABCD.
Khi đó \(\overrightarrow {AI} = \left( {x;y;z - 12} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {8 - x;6 - y;12 - z} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 - x\\y = 6 - y\\z - 12 = 12 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 12\end{array} \right.\)Þ I(4; 3; 12).
Khi đó K(4; 3; 8).
c) Sai. Nếu camera hạ thêm 2m thì hoành độ và tung độ của K không thay đổi.
d) Đúng. \(\overrightarrow {OK} = \left( {4;3;8} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;0} \right)\).
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \).
Tọa độ điểm C là C(7; 8; 0).
\(\overrightarrow {AC} = \left( {6;6;0} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1;5 - 2;0} \right) = \left( {3;3;0} \right)\).
b) Sai. Vì \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và cùng độ dời với \(\overrightarrow {AB} \)nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
c) Đúng. Gọi C(x; y; z). Khi đó \(\overrightarrow {BC} = \left( {x - 4;y - 5;z} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 3\\y - 5 = 3\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 8\\z = 0\end{array} \right.\) Þ C(7; 8; 0).
d) Đúng. \(\overrightarrow {AC} = \left( {7 - 1;8 - 2;0} \right) = \left( {6;6;0} \right)\).
Hai chiếc flycam A và B cùng xuất phát từ gốc tạo độ O(0; 0; 0). Sau một thời gian bay, flycam A đến vị trí A cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 3 m về phía Nam và 2 m về phía Đông. Flycam B cách mặt đất 5 m, cách điểm xuất phát 6 m về phía Bắc và 6 m về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo trên mỗi trục là mét.
Tọa độ điểm A là A(2; 3; 5).
Tọa độ điểm B là B(−6; −6; 5).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 9; - 8;0} \right)\).
\(\overrightarrow {BA} = \left( {9;8;0} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. A(3; 2; 5).
b) Đúng. B(−6; −6; 5).
c) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 9; - 8;0} \right)\).
d) Đúng. \(\overrightarrow {BA} = \left( {9;8;0} \right)\).
Tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là A(2; 0; 0,5).
Tọa độ khinh khí cầu thứ hai là B(−1; −1; 0,3).
Tọa độ khinh khí cầu thứ ba là C(0; 5; 0,4).
Ba khinh khí cầu cùng nằm trên mặt phẳng song song với mặt đất.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
Ta có A(2; y; 0,5); B(−1; −1; 0,3); C(x; 5; 0,4).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1 - y; - 0,2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {x + 1;6;0,1} \right)\).
Vì A, B , C thẳng hàng nên \(\frac{{ - 3}}{{x + 1}} = \frac{{ - 1 - y}}{6} = \frac{{ - 0,2}}{{0,1}} = - 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,5\\y = 11\end{array} \right.\).
a) Sai. A(2; 11; 0,5).
b) Đúng. B(−1; −1; 0,3).
c) Sai. C(0,5; 5; 0,4).
d) Sai. Ba khinh khí cầu ở ba độ cao khác nhau nên chúng không cùng nằm trên mặt phẳng song song với mặt đất.
Một công ty xây dựng thiết kế một kho hàng dạng khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh dài 7m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục là mét. Một robot lấy hàng ở điểm F là trung điểm của đoạn AC'. Khi đó:
A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 7; 0), A'(0; 0; 7).
C'(7; 7; 7).
\(F\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
\(\overrightarrow {FD} = \left( { - \frac{7}{2}; - \frac{7}{2}; - \frac{7}{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. A(0; 0; 0), B(7; 0; 0), D(0; 7; 0), A'(0; 0; 7).
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA'} = 7\overrightarrow i + 7\overrightarrow j + 7\overrightarrow k \) Þ C'(7; 7; 7).
c) Đúng. Giả sử F(a; b; c).
Ta có \(\overrightarrow {OF} = \overrightarrow {FC'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - a\\b = 7 - b\\c = 7 - c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
d) Sai. Có \(\overrightarrow {FD} = \left( {0 - \frac{7}{2};7 - \frac{7}{2};0 - \frac{7}{2}} \right) = \left( { - \frac{7}{2};\frac{7}{2}; - \frac{7}{2}} \right)\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm t chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 4 km về phía tây và 3 km về phía nam, đồng thời cách mặt đất 1,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía đông và 5 km về phía bắc, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình), đơn vị đo lấy theo kilômét. Giả sử tại thời điểm t vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất là điểm A, vị trí khinh khí cầu thứ hai là điểm B. Để theo dõi tín hiệu của hai chiếc khinh khí cầu tại hai điểm A và B, người ta bắc trạm ra đa tại vị trí điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy). Tín hiệu thu được tốt nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ là (a; b; c). Tính a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Ta có A(4; 3; 1,5); B(−2; −5; 2).
Gọi A'(4; 3; −1,5) là điểm đối xứng với A(4; 3; 1,5) qua mặt phẳng (Oxy).
Ta có MA + MB = MA' + MB ≥ A'B.
Suy ra MA + MB nhỏ nhất khi A', M, B thẳng hàng.
Với M(x; y; 0). Ta có \(\overrightarrow {MA'} = \left( {4 - x;3 - y; - 1,5} \right),\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6; - 8;3,5} \right)\).
Khi đó ta có \(\frac{{4 - x}}{{ - 6}} = \frac{{3 - y}}{{ - 8}} = \frac{{ - 1,5}}{{3,5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{7}\\y = - \frac{3}{7}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{10}}{7}; - \frac{3}{7};0} \right)\).
Suy ra \(a = \frac{{10}}{7};b = - \frac{3}{7};c = 0\). Vậy a + b + c = 1.
Trong không gian với một hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị là km), một chiếc máy bay di chuyển từ điểm A(400; 350; 6) đến điểm B(250; 200; 10) trong 2 giờ. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên hướng và vận tốc bay thì sau 2 giờ tiếp theo, máy bay sẽ đến điểm C(a; b; c). Tính 5a + 3b + 21c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −56
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 150; - 150;4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {a - 250;b - 200;c - 10} \right)\).
Vì hướng máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến C nên AB = BC.
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 250 = - 150\\b - 200 = - 150\\c - 10 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 100\\b = 50\\c = 14\end{array} \right.\).
Khi đó 5a + 3b + 21c = 5×(−100) + 3×50 + 21×14 = −56.
Một thiết bị bay (drone) được gắn bằng 4 dây cáp nối tới 4 điểm cố định trên mái nhà có tọa độ A(0; 0; 20), B(40; 0; 20), C(40; 60; 20), D(0; 60; 20).
Ban đầu drone ở vị trí H0 ∈ (ABCD) sao cho H0A = H0B = H0C = H0D. Sau đó drone hạ thẳng đứng xuống vị trí H1 có độ cao z = 10. Tìm cao độ vectơ \(\overrightarrow {{H_0}{H_1}} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −10
4 điểm A, B, C, D tạo thành hình chữ nhật.
H0A = H0B = H0C = H0D và H0 ∈ (ABCD) nên H0 là tâm hình chữ nhật.
Drone hạ thẳng đứng nên chỉ thay tọa độ z.
Gọi H0(x; y; z).
Có \(\overrightarrow {A{H_0}} = \left( {x;y;z - 20} \right);\overrightarrow {{H_0}C} = \left( {40 - x;60 - y;20 - z} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {A{H_0}} = \overrightarrow {{H_0}C} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 40 - x\\y = 60 - y\\z - 20 = 20 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 30\\z = 20\end{array} \right.\)Þ H0(20; 30; 20).
Khi đó H1(20; 30; 10).
Vậy \(\overrightarrow {{H_0}{H_1}} = \left( {0;0; - 10} \right)\).
Vậy cao độ của vectơ \(\overrightarrow {{H_0}{H_1}} \) là −10.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, chọn O là trạm điều khiển, mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông, trục Oz hướng lên trên. Mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét. Một thiết bị bay ở vị trí A cách O 400 m về phía bắc, 300 m về phía đông, cao 150 m sau đó bay đến vị trí B cách O 200 m về phía nam, 500 m về phía tây, cao 50 m. Biết \(\overrightarrow {AB} = \left( {x;y;z} \right)\). Tính x + y + z.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −300
Từ giả thiết ta có A(−400; 300; 150); B(200; −500; 50).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {600; - 800; - 100} \right)\).
Vậy x + y + z = −300.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị ứng với 1 mét. Trong một tòa nhà, một thang nâng di chuyển từ vị trí A(2; 5; 8) đến vị trí B(7; 1; 3), Hỏi khi di chuyển từ A đến B, thang nâng đã giảm bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Độ cao giảm là zA – zB = 8 – 3 = 5.
