Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án
29 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2; 3; −4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3; - 3;12} \right) = - 3\left( {1;1; - 4} \right)\)
Đường thẳng MN đi qua điểm M(2; 3; −4) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 4} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = - 4 - 4t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng Oxy có phương trình là z = 0.
Gọi D là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = - 4 - 4t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\\t = - 1\end{array} \right.\). Vậy D(1; 2; 0).
Ta có \(MD = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {18} \); \(MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {162} \).
Vì MD < MN nên D nằm giữa M và N.
Vậy tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.
Trong không gian, cho điểm M và vectơ u→ khác vectơ – không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của u→.
b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của u→.
a) Trong không gian thì có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của u→ nên khẳng định này sai.
b) Qua M có duy nhất một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của u→ cho trước. Do đó khẳng định này đúng.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
Những vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'A'} \).
Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi u→=a;b;c≠0→ và xuất phát từ điểm A(x0; y0; z0) (H.5.26).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo a, b, c, x0, y0, z0 và t.
a) Một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right) \ne \overrightarrow 0 \) và xuất phát từ điểm A(x0; y0; z0). Vectơ vận tốc này chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng mà vật thể chuyển động.
Do đó đường thẳng này đi qua điểm A(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right).\)
b) Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow {MA} \) cùng phương với \(\overrightarrow u \).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} = t\overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = ta\\y - {y_0} = tb\\z - {z_0} = tc\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + ta\\y = {y_0} + tb\\z = {z_0} + tc\end{array} \right.,t > 0\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x=2+ty=3tz=1+t.
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc ∆ và một vectơ chỉ phương của ∆.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương v→=1;3;1.
a) Ta có A(2; 0; 1), B(3; 3; 2) là các điểm thuộc ∆.
Có \(\overrightarrow u = \left( {1;3;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của ∆.
b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;3;1} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) (a, b, c là các số khác 0).
a) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số \(\frac{{x - {x_0}}}{a},\frac{{y - {y_0}}}{b},\frac{{z - {z_0}}}{c}\) có mối quan hệ gì?
a) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) cùng phương với nhau. Tức là \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = at\\y - {y_0} = bt\\z - {z_0} = ct\end{array} \right.\) (1).
b) Vì a, b, c khác 0 nên từ (1), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - {x_0}}}{a} = t\\\frac{{y - {y_0}}}{b} = t\\\frac{{z - {z_0}}}{c} = t\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c} = t\].
Vậy điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x+13=y−11=z−25. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của ∆ và hai điểm thuộc ∆.
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\) nên A(−1; 1; 2) và B(2; 2; 7) thuộc ∆ và \(\overrightarrow u = \left( {3;1;5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của ∆.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương u→=−1;2;3
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;3} \right)\)có phương trình tham số là:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + 2t\\z = 3t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.
Ta có mặt phẳng Oyz có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Giá của vectơ \(\overrightarrow i \) và ∆ cùng vuông góc với mặt phẳng Oyz nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.
Do đó ∆ nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; −1; 3) và \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1\\z = 3\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2).
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2.
b) Viết phương trình đường thẳng A1A2.
a) Đường thẳng A1A2 có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1}} \right)\).
b) Đường thẳng A1A2 đi qua điểm A1(x1; y1; z1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1}} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)t\\y = {y_1} + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)t\\z = {z_1} + \left( {{z_2} - {z_1}} \right)t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).
Đường thẳng AB đi qua điểm A(2; 1; 3) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3;3} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + 3t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\).
(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.
b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.
c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?
a) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3; - 3;12} \right) = - 3\left( {1;1; - 4} \right)\)
Đường thẳng MN đi qua điểm M(2; 3; −4) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 4} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = - 4 - 4t\end{array} \right.\).
b) Mặt phẳng Oxy có phương trình là z = 0.
Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = - 4 - 4t\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\\t = - 1\end{array} \right.\). Vậy D(1; 2; 0).
c) Ta có \(MD = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {18} \); \(MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {162} \).
Vì MD < MN nên D nằm giữa M và N.
Vậy tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\).
a) Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) để ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau.
a) Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau. Tức là \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
b) Theo câu a, để ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau thì \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
Vậy để ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−12=y1=z−1−1. Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và trục Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k = - 1 \ne 0\). Do đó đường thẳng ∆ không vuông góc với trục Oz.
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.,{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\).
Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Ta có \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( { - 2;2;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} .\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = - 2 + 2 = 0\) nên hai con đường trên vuông góc với nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D1; D2 lần lượt đi qua các điểm A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để D1 và D2 song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì D1 và D2 có cắt nhau hay không?
c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì D1 và D2 có chéo nhau hay không?
a) D1 // D2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}} \\{A_1} \notin {\Delta _2}\end{array} \right.\).
D1 ≡ D2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}} \\{A_1} \in {\Delta _2}\end{array} \right.\).
b) D1 và D2 cắt nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \)không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \) đồng phẳng. Tức là \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\).
c) D1 và D2 chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \) không đồng phẳng. Tức là: \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Ta có đường thẳng D1 đi qua điểm A(3; 0; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua điểm B(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) và A ÏD2 nên D1 // D2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:x−11=y+21=z−34 và Δ2:x+11=y+11=z4. Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng D1 và D2 song song với nhau;
b) Đường thẳng D1 và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng D2 trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng D2 cắt trục Oz.
Đường thẳng D1 đi qua điểm A(1; −2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua điểm B(−1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1;1;4} \right)\).
a) Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1;1;4} \right)\) và A ÏD2 nên hai đường thẳng D1 và D2 song song với nhau.
b) Trục Ox đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = \left( {0; - 4;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0\). Do đó đường thẳng D1 và trục Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng D3 đi qua điểm C(−2; −2; −4) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}} = \left( {1;1;4} \right)\) và B ÎD3 nên đường thẳng D2 trùng với đường thẳng D3.
d) Trục Oz đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {OB} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = \left( { - 1;1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \).
Có \(\overrightarrow {OB} .\left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0\).
Do đó đường thẳng D2 cắt trục Oz.
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Đường thẳng ∆1 đi qua điểm A(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {2;\,\,1;\,\, - 1} \right).\]
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1;\,\,2;\,\,3} \right).\]
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = \left( {5;\,\, - 7;\,\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,\, - 2;\,\, - 1} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 5 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 6 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau.
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?
Hai vật thể chuyển động trên hai đường thẳng
Vật 1 chuyển động trên đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_1}} \).
Vật 2 chuyển động trên đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_2}} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;0} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = - 10 + 3 = - 7 \ne 0\).
Do đó hai đường thẳng này chéo nhau.
Vậy trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên không va chạm vào nhau.
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\).
Vì D // d nên đường thẳng D nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Vì D^ (P) nên đường thẳng D nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng D đi qua A(2; −1; 4), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 4 - t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 5;5} \right)\).
Đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 5;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - 5t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: Δ1:x=1+2ty=3−tz=2+3t và Δ2:x−8−1=y+21=z−22.
a) Chứng minh rằng D1 và D2 cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và D2.
a) Đường thẳng D1 đi qua điểm A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua điểm B(8; −2; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 5;0} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) (1).
Có \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 35 + 35 = 0\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra D1 và D2 cắt nhau.
b) Mặt phẳng (P) chứa D1 và D2 nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right).\)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 3; 2), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5; - 7;1} \right)\) có phương trình là: −5(x – 1) – 7(y – 3) + (z – 2) = 0 Û 5x + 7y – z – 24 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: Δ1:x−13=y−31=z−22 và Δ2:x−13=x+11=z2.
a) Chứng minh rằng D1 và D2 song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và D2.
a) Đường thẳng D1 đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1;2} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua B(1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\) và A ÏD2 do đó D1 và D2 song song với nhau.
b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 4; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) chứa D1 và D2 có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 6; - 6;12} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 6; - 6;12} \right)\) có phương trình là: −6(x – 1) −6(y – 3) + 12(z – 2) = 0 Û 6x + 6y – 12z = 0 hay x + y – 2z = 0.
Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.\).
Đường thẳng D1 đi qua A(−1; 1; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0;2} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua B(−1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;1;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \).
Có \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 1 - 2 = - 1 \ne 0\).
Do đó D1 và D2 chéo nhau.
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\).
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
a) Đường thẳng D1 đi qua A(1; 0; −1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng D2 đi qua B(3; −1; 0) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = - 2 - 1 + 3 = 0\) nên hai đường thẳng D1 và D2 vuông góc với nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 4; - 5;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - 8 + 5 + 1 = - 2 \ne 0\).
Do đó D1 và D2 chéo nhau.
Vậy nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;1;6} \right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\).
b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).
Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 + 6t\end{array} \right.\)
a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình chuyển động, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 2t\\\frac{7}{2} = 3 + t\\21 = 4 + 6t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{2}\\t = \frac{{17}}{6}\end{array} \right.\).
Ta thấy các giá trị t này đều khác nhau do đó điểm M không nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm M.
b) Thay tọa độ điểm N vào phương trình chuyển động của viên đạn ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 + 2t\\1 = 3 + t\\ - 8 = 4 + 6t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 2\\t = - 2\end{array} \right.\).
Suy ra điểm N nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn.
Do đó viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm N.
Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
Để viết được phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét ta cần xác định tọa độ của A (đỉnh cột) và A' (bóng của đỉnh cột).
Ta có A(0; 0; 6).
Hoành độ của điểm A' là x = 3cos60° = \(\frac{1}{2}\).
Tung độ của điểm A' là y = 3cos30° = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \(A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).
Đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua A(0; 0; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2}; - 6} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}t\\y = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}t\\z = 6 - 6t\end{array} \right.\).
