Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số có đáp án
37 câu hỏi
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = t3 – 9t2 + 15t, t ³ 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Ta có s(t) = t3 – 9t2 + 15t.
Có v(t) = s'(t) = 3t2 – 18t + 15.
Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.
Có v(t) > 0 ⇔t<1t>5 và v(t) < 0 ⇔ 1 < t < 5.
Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).
Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).
Quan sát đồ thị của hàm số y = x2 (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
a) Hàm số đồng trên khoảng (0; +∞).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Hàm số y = x3 – 3x2 + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Xét hàm số y=−x nê'u x<−11 nê'u −1≤x≤1x nê'u x>1 có đồ thị như hình 1.6
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (−∞; −1), (1; +∞). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
a) +) Với x < −1, ta có y' = −1 < 0.
+) Với x > 1, ta có y' = 1 > 0.
Nhận xét:
+ Với x ∈(−∞; −1), ta có y' < 0 thì hàm số nghịch biến.
+ Với x ∈(1; +∞), ta có y' > 0 thì hàm số đồng biến.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm y' và hàm số y trên khoảng (−1;1)?
b) Với x ∈(−1;1) ta có y' = 0 thì hàm số y không đổi.
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = −x2 + 2x + 3.
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = −2x + 2.
y' > 0 với x ∈ (−∞; 1) và y' < 0 với x ∈ (1; +∞).
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1.
a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x mà f'(x) = 0.
a) Có f'(x) = 3x2 – 6x + 2.
f’(x) = 0 Û 3x2 – 6x + 2 = 0 Û x=3−33x=3+33.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
c) Hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;3−33 và 3+33;+∞.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 3−33;3+33.
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y=13x3+3x2+5x+2;
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: b) y=−x2+5x−7x−2.
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).
a) s(t) = t3 – 9t2 + 15t.
Có v(t) = s'(t) = 3t2 – 18t + 15.
b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
b) Có v(t) > 0 ⇔t<1t>5 và v(t) < 0 ⇔ 1 < t < 5.
Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).
Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).
Quan sát đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:
Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số
Từ đồ thị ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và yCĐ = y(−1) = 5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 1.
Cho hàm số y=13x3−3x2+8x+1.
a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.
a) Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = x2 – 6x + 8.
Có y' = 0 ⇔ x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ x = 4 hoặc x = 2.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
b) Ta có bảng biến thiên
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
c) Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = y(2) = 233.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y(4) = 193.
Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?
Ta có nếu hàm số f(x) có một cực trị tại x = x0 thì đạo hàm của hàm số đó f'(x) tại x = x0 phải bằng 0 hoặc không tồn tại.
Nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 có nghĩa là f'(x) không chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại khi đi từ một phía của x0 sang phía khác. Điều này có nghĩa là f'(x) không đạt đến giá trị 0 tại x = x0. Do đó x0 không thể là một điểm cực trị.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 3x2 + 1;
Tìm cực trị của các hàm số sau:
b) y=−x2+2x−1x+2.
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức : h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t2.
Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có h'(t) = −9,8t + 24,5; h'(t) = 0 Û t=52.
Lập bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có tại thời điểm t=52 thì vật đạt độ cao lớn nhất là 2618
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số y=x3−32x2 (H.1.11);
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).
b) Đồ thị hàm số y=x2−423 (H.1.12).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) y=13x3−2x2+3x+1;
a) Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = x2 – 4x + 3.
Hàm số đồng biến khi y' > 0 ⇔ x2 – 4x + 3 > 0 ⇔ x<1x>3.
Hàm số nghịch biến khi y' < 0 ⇔ x2 – 4x + 3 < 0 ⇔ 1 < x < 3.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞); nghịch biến trên khoảng (1; 3).
b) y = −x3 + 2x2 – 5x + 3.
b) Tập xác định của hàm số là ℝ.
Có y' = −3x2 + 4x – 5
=−3x2−43x−5=−3x2−43x+49+43−5=−3x−232−113<0,∀x
Do đó hàm số luôn nghịch biến.
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y=2x−1x+2;
a) Tập xác định của hàm số là ℝ\{−2}.
Có y'=2x+2−2x−1x+22=5x+22>0,∀x≠−2.
Lập bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
b) y=x2+x+4x−3.
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y=4−x2;
a) Tập xác định của hàm số là D = [−2; 2].
Có y'=4−x2'24−x2=−x4−x2 ; y' = 0 Û x = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
b) y=xx2+1.
Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số Nt=25t+10t+5,t≥0, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
a) Số dân vào năm 2000 (t = 0) của thị trấn đó là: N0=25.0+100+5=2 nghìn người.
Sau 15 năm kể từ năm 2000 số dân của thị trấn đó là: N15=25.15+1015+5=19,25.
Vậy số dân của thị trấn đó vào năm 2015 là 19250 người.
b) Tính đạo hàm N'(t) và limt→+∞N(t). Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.
b) Có N't=25t+5−25t+10t+52=115t+52;
limt→+∞N(t)=limt→+∞25t+10t+5=limt→+∞25+10t1+5t=25.
Vì N'(t) > 0, ∀t do đó hàm số N(t) là hàm đồng biến hơn nữa limt→+∞Nt=25 do đó dân số của thị trấn đó sẽ không vượt quá 25 nghìn người.
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13.
a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau
a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 4) và (6; +∞).
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.
b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 6.
Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
Cho hàm số y = f(x) = |x|.
a) Tính các giới hạn limx→0+fx−f0x−0 và limx→0−fx−f0x−0.
Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4).
b) Theo định nghĩa, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (x0 – h; x0 + h) và x ≠ x0 .
Ở đây, x0 = 0. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– h; h).
Với mọi x ∈ (– h; h), ta có |x| < h.
Mà |x| > 0, với mọi x ≠ 0. Do đó f(x) = |x| > 0 = f(0), với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ 0.
Vậy ta chứng minh được rằng với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ x0, f(x) > f(0). Điều này chứng tỏ rằng hàm số có cực tiểu tại x = 0.
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới(trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số ft=50001+5e−t,t≥0,trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
