12 bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị có đáp án

Ta có y' = f'(5 – 2x) = −2f'(5 −2x).

Có y' = 0 Û −2f'(5 – 2x) = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}5 - 2x = - 3\\5 - 2x = - 1\\5 - 2x = 1\end{array} \right.\)Û \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 3\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có f'(5 – 2x) < 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}5 - 2x < - 3\\ - 1 < 5 - 2x < 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\2 < x < 3\end{array} \right.\).

f'(5 – 2x) > 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}5 - 2x > 1\\ - 3 < 5 - 2x < - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 2\\3 < x < 4\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số y = f(5 – 2x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(5 – 2x) đồng biến trên khoảng (2; 3) và (4; +∞).

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có g'(x) = −f'(3 – x).

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có

g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – x) < 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x < - 1\\1 < 3 - x < 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.\).

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có 1 điểm cực đại.

Đáp án đúng là: B

Có y' = −2x.f'(2 – x²).

Có y' > 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.\].

Do đó hàm số đồng biến trên (0; 1). Khi đó a = 0; b = 1 và a + 2b = 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = −2f'(3 – 2x).

Có g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – 2x) < 0 ⇔ 1 < 3 – 2x < 2 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số trên, ta có bảng biến thiên như sau:

Þ f(x) < 0,∀x ≠ ±2.

Ta có g'(x) = 2f(x).f'(x).

\[g'\left( x \right) = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x < - 2\end{array} \right.\].

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Đáp án đúng là: B

Ta có f'(x) = x²(x – 9)(x – 4)² Þ g'(x) = 2x.x⁴(x² – 9)(x² – 4)².

Có g'(x) = 0 ⇔2x⁵(x² – 9)(x² – 4)² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±3 hoặc x = ±2.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f(x²) đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Đáp án đúng là: C

Ta có: g'(x) = 2x.f'(x² - 2); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = - 1\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\).

Ta có g'(x) > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - 2 < x < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\ - 2 < x < 0\end{array} \right.\).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = (2x – 2)f'(x² – 2x).

Có g'(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 2 = 0}\\{{x^2} - 2x = - 1}\\{{x^2} - 2x = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Do g'(x) đổi dấu khi qua các nghiệm x = 1 và \(x = 1 + \sqrt 3 \) nên g(x) = f(x² – 2x) có 2 điểm cực trị trên khoảng (0; +∞).

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có g(x) = f(3 – x) ⇒ g'(x) = −f'(3 – x).

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có

g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – x) < 0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x < - 1\\1 < 3 - x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.\].

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\quad \left( 1 \right)\end{array} \right.\).

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = a < - 1\quad \quad \quad \left( 2 \right)\\{x^2} + 2x = b \in \left( { - 1;1} \right)\quad \quad \left( 3 \right)\\{x^2} + 2x = c > 1\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số y = x² + 2x có dạng

Từ đồ thị hàm số y = x² + 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó y' = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f(x² + 2x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Do hàm số y = f(x) có đúng hai điểm cực trị x = −1; x = 1nên phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1; x = 1.

Ta có y' = (2x – 2)f'(x² – 2x + 1) .

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\{x^2} - 2x + 1 = - 1\\{x^2} - 2x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

 Ta có

\[y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\f'({x^2} - 2x + 1) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 < 0\\f'({x^2} - 2x + 1) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 1\\{x^2} - 2x + 1 < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\ - 1 < {x^2} - 2x + 1 < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\0 < x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\0 < x < 1\end{array} \right.\].

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f(x² – 2x + 1) có 3 cực trị.

Đáp án đúng là: D

Ta có y = f(x² – 4x + 1)

Þ g'(x) = 2(x – 2)f'(x² – 4x + 1).

Ta có g'(x) = 2(x – 2)f'(x² – 4x + 1) = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + 1 = - 1\\{x^2} - 4x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2 - \sqrt 2 \\x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2 - \sqrt 6 \\x = 2 + \sqrt 6 \end{array} \right.\].

Ta có bảng xét dấu của g'(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) = f(x² – 4x + 1 ) có 5 điểm cực trị.