Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số có đáp án
24 câu hỏi
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h(t) = 6t3 – 81t2 + 324t. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào thì khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Dựa vào đồ thị ta thấy:
+) Trong khoảng thời gian từ 0 – 3 giây và 6 – 8 giây thì khinh khí cầu tăng dần độ cao.
+) Trong khoảng thời gian từ 3 – 6 giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.
+) Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăng dần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.
+) Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ giảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−1; 0).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (0; +∞).
Cho hàm số y = f(x) = x2.
a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f'(x) và xét dấu f'(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của f'(x).
a) Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0).
b) f'(x) = 2x; f'(x) = 0 Û x = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số
c) Hàm đồng đống biến khi f'(x) > 0 và nghịch biến khi f'(x) < 0.
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 6x2 + 9x;
a) Tập xác định: D = ℝ.
Ta có f'(x) = 3x2 – 12x + 9; f'(x) = 0 Û 3x2 – 12x + 9 = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 3).
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
b) gx=1x.
Ta có g'x=−1x2<0,∀x≠0.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).
Chứng minh rằng hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có f'(x) = 3 – cosx.
Vì −1 £ cosx £ 1 nên −1 £ −cosx £ 1.
Do đó 2 £ 3 −cosx £ 4 hay 2 £ f'(x) £ 4.
Hay f'(x) luôn dương. Do đó hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.
Hãy trả lời câu hỏi trong phần khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số h(t) = 6t3 – 81t2 + 324t với 0 £ t £ 8.
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có h'(t) = 18t2 – 162t + 324; h'(t) = 0 Û18t2 – 162t + 324 = 0 Û t = 3 hoặc t = 6.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Trong khoảng thời gian (0; 3) và (6; 8) thì khinh khí cầu tăng dần độ cao và trong khoảng (3; 6) thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.
Quan sát đồ thị của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 1 trong Hình 5.
a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi x ≠ 0.
b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi x ≠ 2.
c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi x ≠ 1 hoặc f(x) < f(1) với mọi x ≠ 1.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
a) Với x ∈ (−1; 1) thì f(x) < f(0) với mọi x ≠ 0.
b) Với x ∈ (1; 3) thì f(x) > f(2) với mọi x ≠ 2.
c) Tồn tại khoảng (0; 2) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi x ≠ 1 hoặc f(x) < f(1) với mọi x ≠ 1.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8.
Dựa vào đồ thị ta có:
+) x = 5 là điểm cực đại của hàm số vì f(x) < f(5) với mọi x ∈ (3; 7)\{5}, yCĐ = y(5) = 5.
+) x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(3) với mọi x ∈ (1; 5)\{3}, yCT = y(3) = 2.
+) x = 7 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(7) với mọi x ∈ (5; 9)\{7}, yCT = y(7) = 1.
Đồ thị của hàm số y=x2 khi x≤12−x khi x>1 được cho ở Hình 9.
a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.
b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?
c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, −) thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
a) Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:
+) x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
+) x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
b) Tại x = 1 hàm số không có đạo hàm.
c)
Dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại sẽ đổi từ dương sang âm.
Dấu của y' khi x đi qua điểm cực tiểu sẽ đổi từ âm sang dương.
Tìm cực trị của hàm số gx=x2+x+4x+1.
Tập xác định: D = ℝ\{−1}.
Có g'x=2x+1x+1−x2+x+4x+12=x2+2x−3x+12.
Có g'(x) = 0 Û x2 + 2x – 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −3.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và yCĐ = y(−3) = −5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3.
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số y=hx=−11320000x3+93520x2−8144x+840 với 0 £ x £ 2000.
Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đọan [0; 2000].
(Theo: Tập bản đồ bài tập và bài thực hành Địa lí 8, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011).
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.
a) Dựa vào đồ thị ta có:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (2; 4).
Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 2) và (4; 5).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; x = 4 và yCT = −1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = 2.
b) Dựa vào đồ thị ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 3).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và yCĐ = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = −1.
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 4x3 + 3x2 – 36x + 6;
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
b) y=x2−2x−7x−4.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 – 36x + 1;
a) Tập xác định: D = ℝ.
Có y' = 6x2 + 6x – 36; y' = 0 Û6x2 + 6x – 36 = 0 Û x = −3 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và yCĐ = 82.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −43.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
b) y=x2−8x+10x−2;
b) Tập xác định: D = ℝ\{2}.
Có y'=2x−8x−2−x2−8x+10x−22=x2−4x+6x−22=x−22+2x−22>0,∀x≠2.
Bảng biến thiên
Hàm số không có cực trị.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
c) y=−x2+4.
c) Tập xác định: D = [−2; 2].
Có y'=−x2+4'2−x2+4=−x−x2+4; y' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2.
Hàm số không có cực tiểu.
Chứng minh rằng hàm số y=2x+1x−3 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Tập xác định: D = ℝ\{3}.
Có y'=2x−3−2x+1x−32=−7x−32 < 0, ∀ x ≠ 3.
Do đó hàm số nghịch biến trên (−∞; 3) và (3; +∞).
Vậy hàm số y=2x+1x−3 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 và 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức f(x) = 0,01x3 – 0,04x2 + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 £ x £ 7).
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
a) f'(x) = 0,03x2 – 0,08x + 0,25.
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
b) Có f'(x) = 0,03x2 – 0,08x + 0,25
= 0,03x2−83x+0,25
=0,03x−432+59300>0,∀x.
Do đó f(x) là hàm đồng biến. Điều này chứng tỏ kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t3 – 6t2 + 9t với t ³ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t); v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t).
a) Tìm các hàm v(t) và a(t).
a) Ta có v(t) = x'(t) = 3t2 −12t + 9;
a(t) = v'(t) = 6t – 12.
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
b) Để tìm khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm ta đi xét sự biến thiên của hàm v(t).
Có v'(t) = 0 Û 6t – 12 = 0 Û t = 2.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Vận tốc của chất điểm tăng khi t > 2 và vận tốc của chất điểm giảm khi 0 < t < 2.
Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (4; 5).
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (2; 4).
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 4.
Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.
