Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án

Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng y = 26.

Quan sát đồ thị ở Hình 10, ta thấy x → + ∞ thì y → 26.

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=26$ .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 1}.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3$,

         $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3$ .

Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Quan sát đồ thị ở Hình 12, ta thấy:

+) x → 0⁺ thì f(x) → + ∞, do đó $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ;

+) x → 0^– thì f(x) → – ∞, do đó $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{5}.

Ta có $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{x^2+3x}{x-5}=+\infty$ (do $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\left(x^2+3x\right)=40>0,\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\left(x-5\right)=0$, khi x → 5⁺ thì x – 5 > 0).

Tương tự $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{x^2+3x}{x-5}=-\infty$ .

Vậy đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$ ;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$.

Ta có:   $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x\left(x+3\right)}=1$

và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2-3x+2}{x+3}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-6x+2}{x+3}=-6$ .

Vậy đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=-6$ nên đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x+1}=-\infty$ .

Vậy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}=1,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+x+1}{x-1}=+\infty , \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-2}{x^2+2}=2$;

Xét đồ thị ở Hình 18a, ta thấy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị này.

Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-2}{x^2+2}=2$, vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}$. Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18a là đồ thị của hàm số $y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}$.

Xét đồ thị ở Hình 18b, ta thấy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị này.

Lại có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}=1$, vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}$. Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18b là đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}$.

a) Xét hàm số y = $S\left(x\right)=200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)$  với x ∈ [1; + ∞).

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)=1000$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)=1000$.

Do đó, đường thẳng y = 1 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng [1; + ∞).

b) Ta có đồ thị hàm số y = S(x) với x ∈ [1; + ∞) nhận đường thẳng y = 1 000 làm tiệm cận ngang, tức là khi x càng lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) sẽ tiến gần đến 1 000 sản phẩm.