Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án
13 câu hỏi
Số dân của một thị trấn sau x năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức
y=fx=26x+10x+5
(f(x) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem y = f(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; + ∞), đồ thị của hàm số đó là đường cong màu xanh ở Hình 10.
Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng nào?
Khi x → + ∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng y = 26.
Xét hàm số y = f(x) = 26x+10x+5 , với x ∈ [0; + ∞) có đồ thị là đường cong ở Hình 10 trong bài toán mở đầu. Tìm limx→+∞fx
Quan sát đồ thị ở Hình 10, ta thấy x → + ∞ thì y → 26.
Vậy limx→+∞fx=26 .
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3x−2x+1
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 1}.
Ta có: limx→+∞y=limx→+∞3x−2x+1=3,
limx→−∞y=limx→−∞3x−2x+1=3 .
Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Cho hàm số y = f(x) = 1x có đồ thị là đường cong như Hình 12.
Tìm limx→0+fx, limx→0−fx.
Quan sát đồ thị ở Hình 12, ta thấy:
+) x → 0+ thì f(x) → + ∞, do đó limx→0+fx=+∞ ;
+) x → 0– thì f(x) → – ∞, do đó limx→0−fx=−∞.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x2+3xx−5.
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{5}.
Ta có limx→5+y=limx→5+x2+3xx−5=+∞ (do limx→5+x2+3x=40>0, limx→5+x−5=0, khi x → 5+ thì x – 5 > 0).
Tương tự limx→5−y=limx→5−x2+3xx−5=−∞ .
Vậy đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Cho hàm số y=fx=x+1+1x−1 có đồ thị là (C) và đường thẳng y = x + 1 (Hình 15).
Tìm limx→+∞fx−x+1; limx→−∞fx−x+1 .
Ta có limx→+∞fx−x+1=limx→+∞1x−1=0 ;
limx→−∞fx−x+1=limx→−∞1x−1=0.
Chứng minh rằng đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=fx=−x2−2x+3x+2.
Do limx→+∞fx−−x=limx→+∞fx+x=limx→+∞−x2−2x+3x+2+x=limx→+∞3x+2=0 nên đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=fx=x2−3x+2x+3 .
Ta có: a=limx→+∞fxx=limx→+∞x2−3x+2xx+3=1
và b=limx→+∞fx−x=limx→+∞x2−3x+2x+3−x=limx→+∞−6x+2x+3=−6 .
Vậy đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).
Tương tự, do limx→−∞fxx=1 và limx→−∞fx−x=−6 nên đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x+2x+1 là:
A. x = – 1.
B. x = – 2.
C. x = 1.
D. x = 2.
Đáp án đúng là: A
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.
Ta có limx→1+y=limx→1+x+2x+1=+∞; limx→1−y=limx→1−x+2x+1=−∞ .
Vậy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=x2+3x+5x+2 là:
A. y = x.
B. y = x + 1.
C. y = x + 2.
D. y = x + 3.
Đáp án đúng là: B
Ta có: a=limx→+∞yx=limx→+∞x2+3x+5xx+2=1
và b=limx→+∞y−x=limx→+∞x2+3x+5x+2−x=limx→+∞x+5x+2=1
Vậy đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).
Tương tự, do limx→−∞yx=1 và limx→−∞y−x=1 nên đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).
Đồ thị hàm số ở Hình 18a, Hình 18b đều có đường tiệm cận ngang là đường thẳng màu đỏ. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
a) y=x2+2x−1x2+1;
b) y=2x2+x+1x−1;
c) y=2x2−2x2+2 .
Ta có limx→+∞x2+2x−1x2+1=1,limx→+∞2x2+x+1x−1=+∞, limx→+∞2x2−2x2+2=2;
Xét đồ thị ở Hình 18a, ta thấy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị này.
Lại có limx→+∞2x2−2x2+2=2, vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x2−2x2+2. Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18a là đồ thị của hàm số y=2x2−2x2+2.
Xét đồ thị ở Hình 18b, ta thấy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị này.
Lại có limx→+∞x2+2x−1x2+1=1, vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x2+2x−1x2+1. Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18b là đồ thị của hàm số y=x2+2x−1x2+1.
Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức Sx=2005−92+x, trong đó x ≥ 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Xem y = S(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [1; + ∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
a) Xét hàm số y = Sx=2005−92+x với x ∈ [1; + ∞).
Ta có limx→+∞y=limx→+∞2005−92+x=1 000 ; limx→−∞y=limx→−∞2005−92+x=1 000.
Do đó, đường thẳng y = 1 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng [1; + ∞).
b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn.
b) Ta có đồ thị hàm số y = S(x) với x ∈ [1; + ∞) nhận đường thẳng y = 1 000 làm tiệm cận ngang, tức là khi x càng lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) sẽ tiến gần đến 1 000 sản phẩm.
