Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số có đáp án
22 câu hỏi
Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm (0 ≤ x ≤ 300) được cho bởi hàm số y = – x3 + 300x2 (đơn vị: nghìn đồng) và được minh họa bằng đồ thị ở Hình 1.
Sự thay đổi lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra và dấu của đạo hàm y' có mối liên hệ với nhau như thế nào?
Ta có y = – x3 + 300x2 với x ∈ [0; 300].
y' = – 3x2 + 600x;
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 200.
Bảng xét dấu của y' trên đoạn [0; 300] như sau:
Kết hợp với đồ thị ở Hình 1, ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y' mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y' mang dấu âm.
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K ⊂ ℝ, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
b) Cho hàm số y = f(x) = x2 có đồ thị như Hình 2.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 2x.
Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 và dấu của đạo hàm f'(x) = 2x trên mỗi khoảng (– ∞; 0), (0; + ∞).
Hoàn thành bảng biến thiên sau
a) Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên K. Ta nói
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Lưu ý: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên từ trái qua phải; nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống từ trái qua phải.
b)
Quan sát Hình 2 ta thấy
+ Trên khoảng (– ∞; 0), đồ thị hàm số y = f(x) = x2 đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
+ Trên khoảng (0; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) = x2 đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (0; + ∞).
Ta có 2x > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và 2x < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).
Do đó, f'(x) > 0 với mọi x ∈ (0; + ∞) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; 0).
Mối liên hệ:
+ Trên khoảng (– ∞; 0), hàm số f(x) nghịch biến và f'(x) < 0.
+ Trên khoảng (0; + ∞), hàm số f(x) đồng biến và f'(x) > 0.
Với x = 0, ta có f(0) = 02 = 0 và f'(0) = 2 ∙ 0 = 0.
Bảng biến thiên:
Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 4x2 – 4x + 1;
y' = 0 ⇔ 4x2 – 4x + 1 = 0 ⇔ (2x – 1)2 = 0 ⇔ x = 12.
Ta có bảng xét dấu của y' như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
y = x4 + 2x2 – 3.
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 4x3 + 4x;
y' = 0 ⇔ 4x3 + 4x = 0 ⇔ x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0 (do x2 + 1 > 0 với mọi x).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x3.
b) Xét dấu của đạo hàm f'(x) = 3x2.
c) Phương trình f'(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?
a)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có f'(x) = 3x2;
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 = 0 ⇔ x = 0.
Ta có bảng xét dấu của f'(x) như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).
b) Ta có f'(x) = 3x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
c) Phương trình f'(x) = 0 có 1 nghiệm.
Chứng minh rằng hàm số y =x2+1 nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = xx2+1;
y' = 0 ⇔ xx2+1 = 0 ⇔ x = 0.
Ta có bảng xét dấu của y' như sau:
![Chứng minh rằng hàm số y= căn x^2+1 nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/04/blobid10-1713187664.png)
Ta có với x ∈ (– ∞; 0], thì y' ≤ 0, với x ∈ [0; + ∞), thì y' ≥ 0.
Vậy hàm số y =x2+1 nghịch biến trên nửa khoảng (– ∞; 0] và đồng biến trên nửa khoảng [0; + ∞).
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y= 2x-1x+2 .
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 2}.
Ta có
với x ≠ – 2.
y' > 0 với mọi x ≠ – 2 (do (x + 2)2 > 0 với mọi x ≠ – 2).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2), (– 2; + ∞).
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) = – x3 – 3x2 + 3 ở Hình 3, hãy so sánh:
a) f(– 2) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2;
b) f(0) với mỗi giá trị f(x), ở đó x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.
a) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy
f(– 2) = – 1
f(x) > – 1 với x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2
Do đó, f(x) > f(– 2) với mọi x ∈ (– 3; – 1) và x ≠ – 2.
b) Dựa vào đồ thị Hình 3, ta thấy
f(0) = 3
f(x) < 3 với x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0
Do đó, f(x) < f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0.
Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết:
a) x0 có là điểm cực đại của hàm số f(x) hay không;
b) x1 có là điểm cực tiểu của hàm số h(x) hay không.
a) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x0. Quan sát bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thấy f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x0. Vậy x = x0 là điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Xét khoảng (a; b) chứa điểm x1. Quan sát bảng biến thiên của hàm số h(x) ta thấy h(x) > h(x1) với mọi x ∈ (a; b) và x ≠ x1. Vậy x = x1 là là điểm cực tiểu của hàm số h(x).
Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) y = x4 – 32x + 1;
b) y=3x+5x-1 .
a)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 4x3 – 32;
y' = 0 ⇔ 4x3 – 32 = 0 ⇔ x3 – 8 = 0 ⇔ x = 2.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
b)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {1}.
Ta có
với x ≠ 1;
y' < 0 với mọi x ≠ 1.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số không có cực trị.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; + ∞).
B. (– 1; 0).
C. (– 1; 1).
D. (0; 1).
Đáp án đúng là: D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy f'(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (0; 1).
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1).
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2.
B. 3.
C. – 4.
D. 0.
Đáp án đúng là: C
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng – 4.
Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y = – x3 + 2x2 – 3;
a)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = – 3x2 + 4x;
y' = 0 ⇔ – 3x2 + 4x = 0 ⇔ x(3x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 43.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0, 43 và nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và 43, +∞ .
Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
b) y = x4 + 2x2 + 5;
b) y = x4 + 2x2 + 5
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 4x2 + 4x;
y' = 0 ⇔ 4x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– 1; 0).
Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
c) y=3x+12−x ;
c)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.
Ta có y'=3x+12−x'=32−x+3x+12−x2=72−x2 với x ≠ 2;
y' > 0 với mọi x ≠ 2.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).
Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
d) y=x2−2xx+1.
d) y=x2−2xx+1
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.
Ta có y'=x2−2xx+1'=2x−2x+1−x2−2xx+12=x2+2x−2x+12 với x ≠ – 1;
y' = 0 ⇔ x2 + 2x – 2 = 0 ⇔ x = −1−3 hoặc x = −1+3.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞; −1−3 và −1+3; +∞; nghịch biến trên mỗi khoảng −1−3; −1 và −1; −1+3.
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10;
a)
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 6x2 + 6x – 36;
y' = 0 ⇔ 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = – 3.
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
b) y = – x4 – 2x2 + 9;
b) y = – x4 – 2x2 + 9
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = – 4x3 – 4x;
y' = 0 ⇔ – 4x3 – 4x = 0 ⇔ x3 + x = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
c) y=x−1x.
c) y=x−1x
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.
Ta có y' = 1+1x2 với x ≠ 0;
y' > 0 với mọi x ≠ 0.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số không có cực trị.
Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.
Hình 6a:
– Khoảng đồng biến, nghịch biến:
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+ Trên các khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) đi lên từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞).
+ Trên các khoảng (– 1; 0), (1; 2), đồ thị hàm số y = f(x) đi xuống từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; 2).
– Điểm cực trị:
+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 1. Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ở Hình 6a, ta thấy f(x) < f(– 1) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 1. Do đó, x = – 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).
Tương tự, ta thấy f(x) < f(1) với mọi x ∈ (0; 2) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).
+ Xét khoảng (– 1; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).
Tương tự, ta thấy f(x) > f(2) với mọi x ∈ (1; + ∞) và x ≠ 2. Vậy x = 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).
Hình 6b:
– Khoảng đồng biến, nghịch biến:
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+ Trên các khoảng (– 2; 0), (1; + ∞), đồ thị hàm số y = g(x) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (1; + ∞).
+ Trên các khoảng (– ∞; – 2), (0; 1), đồ thị hàm số y = g(x) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; 1).
– Điểm cực trị:
+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 2. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) > g(– 2) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 2. Vậy x = – 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).
Tương tự, ta thấy g(x) > g(1) với mọi x ∈ (0; + ∞) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).
+ Xét khoảng (– 2; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) < g(0) với mọi x ∈ (– 2; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là điểm cực đại của hàm số y = g(x).
Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (0 °C ≤ T ≤ 30 °C) được tính bởi công thức sau:
V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T2 – 0,0000679T3.
(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)
Hỏi thể tích V(T), 0 °C ≤ T ≤ 30 °C, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Ta có V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T2 – 0,0000679T3 với T ∈ [0; 30].
V'(T) = – 0,06426 + 0,0170086T – 0,0002037T2
V'(T) = 0 ⇔ T ≈ 4 hoặc T ≈ 79,5. Vì T ∈ [0; 30] nên T ≈ 4.
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy thể tích V(T) giảm trong khoảng nhiệt độ (0 ℃; 4 ℃).
Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t = 126 (s), cho bởi hàm số sau:
v(t) = 0,001302t3 – 0,09029t2 + 23,
(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)
(Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi v(t) = 0,001302t3 – 0,09029t2 + 23 với t ∈ [0; 126].
Gia tốc của tàu con thoi là a(t) = v'(t) = 0,003906t2 – 0,18058t.
Ta có a'(t) = 0,007812t – 0,18058
a'(t) = 0 ⇔ t ≈ 23.
Bảng biến thiên của hàm số a(t) như sau:
Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian (23 s; 126 s) tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.
