Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = 4x³ – 32;

          y' = 0 ⇔ 4x³ – 32 = 0 ⇔ x³ – 8 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

b)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {1}.

Ta có

 với x ≠ 1;

          y' < 0 với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng biến thiên ta thấy f'(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (0; 1).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1).

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng – 4.

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = – 3x² + 4x;

          y' = 0 ⇔ – 3x² + 4x = 0 ⇔ x(3x – 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{4}{3}$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0, \frac{4}{3}\right)$  và nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và $\left(\frac{4}{3}, +\infty \right)$  .

b) y = x⁴ + 2x² + 5

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = 4x² + 4x;

          y' = 0 ⇔ 4x² + 4x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; + ∞) và nghịch biến trên khoảng (– 1; 0).

c)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\frac{3x+1}{2-x}\right)}^{\text{'}}=\frac{3\left(2-x\right)+\left(3x+1\right)}{{\left(2-x\right)}^2}=\frac{7}{{\left(2-x\right)}^2}$  với x ≠ 2;

          y' > 0 với mọi x ≠ 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\frac{x^2-2x}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-\left(x^2-2x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{{\left(x+1\right)}^2}$   với x ≠ – 1;

          y' = 0 ⇔ x² + 2x – 2 = 0 ⇔ x = $-1-\sqrt{3}$   hoặc x = $-1+\sqrt{3}$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-1-\sqrt{3}\right)$  và $\left(-1+\sqrt{3};+\infty \right)$ ; nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1\right)$  và $\left(-1;-1+\sqrt{3}\right)$ .

a)

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = 6x² + 6x – 36;

          y' = 0 ⇔ 6x² + 6x – 36 = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = – 3.

b) y = – x⁴ – 2x² + 9

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

Ta có y' = – 4x³ – 4x;

          y' = 0 ⇔ – 4x³ – 4x = 0 ⇔ x³ + x = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.

c) $y=x-\frac{1}{x}$

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

Ta có y' = $1+\frac{1}{x^2}$  với x ≠ 0;

          y' > 0 với mọi x ≠ 0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

Hình 6a:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞), đồ thị hàm số y = f(x) đi lên từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1), (0; 1), (2; + ∞).

+ Trên các khoảng (– 1; 0), (1; 2), đồ thị hàm số y = f(x) đi xuống từ trái qua phải, do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 0) và (1; 2).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 1. Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ở Hình 6a, ta thấy f(x) < f(– 1) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 1. Do đó, x = – 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

Tương tự, ta thấy f(x) < f(1) với mọi x ∈ (0; 2) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x).

+ Xét khoảng (– 1; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– 1; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

Tương tự, ta thấy f(x) > f(2) với mọi x ∈ (1; + ∞) và x ≠ 2. Vậy x = 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

Hình 6b:

– Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+ Trên các khoảng (– 2; 0), (1; + ∞), đồ thị hàm số y = g(x) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên mỗi khoảng (– 2; 0) và (1; + ∞).

+ Trên các khoảng (– ∞; – 2), (0; 1), đồ thị hàm số y = g(x) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; 1).

– Điểm cực trị:

+ Xét khoảng (– ∞; 0) chứa điểm x = – 2. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) > g(– 2) với mọi x ∈ (– ∞; 0) và x ≠ – 2. Vậy x = – 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).

Tương tự, ta thấy g(x) > g(1) với mọi x ∈ (0; + ∞) và x ≠ 1. Do đó, x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = g(x).

+ Xét khoảng (– 2; 1) chứa điểm x = 0. Quan sát đồ thị hàm số y = g(x) ở Hình 6b ta thấy g(x) < g(0) với mọi x ∈ (– 2; 1) và x ≠ 0. Do đó, x = 0 là điểm cực đại của hàm số y = g(x).

Ta có V(T) = 999,87 – 0,06426T + 0,0085043T² – 0,0000679T³ với T ∈ [0; 30].

V'(T) = – 0,06426 + 0,0170086T – 0,0002037T²

V'(T) = 0 ⇔ T ≈ 4 hoặc T ≈ 79,5. Vì T ∈ [0; 30] nên T ≈ 4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy thể tích V(T) giảm trong khoảng nhiệt độ (0 ℃; 4 ℃).

Xét hàm số vận tốc của tàu con thoi v(t) = 0,001302t³ – 0,09029t² + 23 với t ∈ [0; 126].

Gia tốc của tàu con thoi là a(t) = v'(t) = 0,003906t² – 0,18058t.

Ta có a'(t) = 0,007812t – 0,18058

a'(t) = 0 ⇔ t ≈ 23.

Bảng biến thiên của hàm số a(t) như sau:

Vậy gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian (23 s; 126 s) tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.