Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác có đáp án
29 câu hỏi
Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A’ là hình chiếu của A lên Ox. Tọa độ s của A’ trên trục Ox được gọi là li độ của A và (IO, IA) = α được gọi là li độ góc của A. Làm cách nào để tính li độ dựa vào li độ góc?
Kẻ AH vuông góc với IO tại H
Xét tam giác AHI vuông tại H, có:
AH = sinα . IA = 2sinα (m).
AH cũng chính là li độ của A nên s = 2sinα.
Trong Hình 1, M và N là điểm biểu diễn của các góc lượng giác 2π3 và -π4 trên đường tròn lượng giác. Xác định tọa độ của M và N trong hệ trục tọa độ Oxy.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M xuống trục Ox và Oy; gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm N trên trục Ox và Oy.
Đặt (OA,OM)=α,(OA,ON)=β.
+) Xét tam giác MHO vuông tại H, có:
MH = sinMOH^.MO=sinMOH^
Ta có MOH^+AOM^=180° nên sinMOH^=sinAOM^.
⇒ MH = sinAOM^ = sinα.
Mà MH = OK nên OK = sinα hay tung độ điểm M bằng sinα.
Ta lại có: OH = cosMOH^.MO=cosMOH^
Mà MOH^+AOM^=180° nên cosMOH^=−cosAOM^
⇒ OH = −cosAOM^ = – cosα do đó hoành độ của điểm M bằng cosα.
Vậy tọa độ điểm M là (cosα; sinα) = cos2π3;sin2π3=−12;32.
+) Xét tam giác ONE vuông tại E, có:
NE = sinNOE^.ON=sinNOE^
Mà NOE^=−β
⇒ NE = – sinβ.
Mà NE = OF nên OF = – sinβ do đó tung độ điểm N bằng sinβ.
Ta lại có: OE = cosNOE^.ON=cosNOE^
⇒ OE = cosβ nên hoành độ của điểm M bằng cosβ.
Vậy tọa độ điểm N là (cosβ; sinβ) = cos−π4;sin−π4=22;−22
Tính sin−2π3 và tan495°.
Ta có: sin−2π3=−sin2π3=−32.
Ta có tan495° = – tan135° = – tan45° = −cos45°sin45°=−1.
Sử dụng máy tính cầm tay để tính cos75° và tan−19π6 .
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:
cos75° = 6−24;
tan−19π6=−33.
a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao sin2α + cos2α = 1.
a) M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác nên tọa độ điểm M là (cosα; sinα) nên MH = sinα, OH = cosα.
Ta lại có: MH2 + OH2 = 1 (định lí Pythagore)
Hay sin2α + cos2α = 1.
b) Chia cả hai vễ của biểu thức ở câu a) cho cos2α ta được đẳng thức nào?
b) Vì OH = cosα > 0 nên cos2α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho cos2α, ta được:
sin2αcos2α+1=1cos2α⇔tan2α+1=1cos2α.
c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho sin2α ta được đẳng thức nào?
c) Vì MH = sinα > 0 nên sin2α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho sin2α, ta được:
1+cos2αsin2α=1sin2α⇔1+cot2α=1sin2α.
Cho tanα=23 với π<α<3π2. Tính cosα và sinα.
Ta có: tan2α+1=1cos2α
⇔232+1=1cos2α
⇔139=1cos2α
⇔cos2α=913
⇔cosα=313cosα=−313
Vì π<α<3π2 nên điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III, do đó cosα < 0 nên cosα=−313.
⇒ sinα = tanα.cosα = tanα.cosα=23.−313=−213.
Cho α=π3. Biểu diễn các góc lượng giác – α, α + π, π – α, π2−α trên đường tròn lượng giác và rút ra mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc này với giá trị lượng giác của góc α.
Biểu diễn góc lượng giác −π3:
Biểu diễn góc lượng giác π3+π=4π3:
Biểu diễn góc lượng giác π−π3=2π3:
Biểu diễn góc lượng giác π2−π3=π6
a) Biểu diễn cos638° qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0° đến 45°.
a) Ta có: cos638° = cos(2.360° + (– 82°)) = cos(– 82°) = cos82° = cos(90° – 8°) = sin8°.
b) Biểu diễn cot19π5 qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến π4.
b) Ta có: cot19π5=cot4π−π5=cot−π5=−cotπ5.
Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu bởi điểm B và C.
a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10sinα) mét với α là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so với mặt đất khi α = – 30°.
a) Ta có điểm B là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo góc là α trên đường tròn lượng giác có bán kính bằng 10 nên tọa độ điểm B(10cosα; 10sinα).
Vì vậy chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sinα (mét).
Với α = – 30° ta có chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sin.(– 30°) = 8 (mét).
b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
b) Đặt (OA, OC) = β = α – 90°
Nếu điểm B cách mặt đất 4m thì 13 + 10sinα = 4
⇔ sinα = −910
Ta có sinα = cos(α – 90°) = −910
⇒ cos(α – 90°) = −910
⇒ cosβ = −910
⇒ sinβ = −12−9102=−1910
Vì vậy chiều cao từ điểm C đến mặt đất là: 13 + 10sinβ = 13 + 10 −1910 ≈ 8,64 (mét).
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a) sinα = 35 và cosα = -45;
a) Với – 1 ≤ sinα = 35 ≤ 1 và – 1 ≤ cosα = −45 ≤ 1, ta có:
sin2α + cos2α = 352+−452=1.
Vậy sinα = 35 và cosα = −45 có thể đồng thời xảy ra.
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
b) sinα = 13 và cotα = 12;
b) Với – 1 ≤ sinα = 13 ≤ 1 và cotα = 12, ta có:
1 + cot2α = 1+122=1+14=54
1sin2α=1132=9
Do đó 1 + cot2α ≠ 1sin2α.
Vì vậy sinα = 13 và cotα = 12 không đồng thời xảy ra.
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
c) tanα = 3 và cotα = 13.
c) Với tanα = 3 và cotα = 13, ta có:
tanα . cotα = 3. 13 = 1.
Vì vậy tanα = 3 và cotα = 13 đồng thời xảy ra.
Cho sinα = 1213 và cosα = −513. Tính sin−15π2−α−cos13π+α.
Ta có: sin−15π2−α−cos13π+α
=sin−16π2+π2−α−cos12π+π+α
=sinπ2−α−cosπ+α
=cosα+cosα
=2cosα
=2.−513=−1013.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
a) sinα=513 và π2<α<π;
a) Ta có: cosα=−1−5132=−1213 (vì π2<α<π)
⇒tanα=sinαcosα=513−1213=−512⇒cotα=−125.
Vậy cosα=−1213,tanα=−512,cotα=−125.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
b) cosα=25 và 0°<α<90°;
b) Ta có: sinα=1−252=215 (vì 0°<α<90°)
⇒tanα=sinαcosα=21525=212⇒cotα=221.
Vậy sinα=215,tanα=212,cotα=221.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
c) tanα=3 và π<α<3π2;
c) Ta có: tanα=3⇒cotα=13
Ta lại có: 1cos2α=1+tan2α=1+32=4
⇒cos2α=14⇒cosα=−12 (vì π<α<3π2).
⇒sinα=tanα.cosα=3.−12=−32.
Vậy sinα=−32,cosα=−12,cotα=13.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
d, cotα=12 và 270°<α<360°
d) Ta có: cotα=−12⇒tanα=−2
Ta lại có: 1cos2α=1+tan2α=1+−22=5
⇒cos2α=15⇒cosα=15(vì 270°<α<360°)
⇒sinα=tanα.cosα=−2.15=−25.
Vậy sinα=−25,cosα=15,tanα=−2.
Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến π4 hoặc từ 0 đến 45° và tính:
a) cos21π6;
b) sin129π4;
c) tan1 020°.
a) Ta có: cos21π6=cos24π6−π2=cos−π2=cosπ2=sin0.
b) sin129π4=sin32π+π4=sinπ4.
c) tan1 020° = tan(3.180° – 60°) = tan(180° – 60°) = – tan60° = – cot30°.
Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) sin4α – cos4α = 1 – 2cos2α;
a) Ta có: sin4α – cos4α = (sin2α – cos2α).(sin2α + cos2α ) = sin2α + cos2α – 2cos2α = 1 – 2cos2α.
Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
b) tanα + cotα = 1sinα.cosα.
b) Ta có: tanα + cotα = sinαcosα+cosαsinα=sin2αsinα.cosα+cos2αsinα.cosα=sin2α+cos2αsinα.cosα=1sinα.cosα.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) 1tanα+1+1cotα+1;
Lời giải
a) 1tanα+1+1cotα+1=cotα+1tanα+1cotα+1+tanα+1tanα+1cotα+1
=cotα+1+tanα+1tanα.cotα+tanα+cotα+1=cotα+tanα+21+tanα+cotα+1=1.
Rút gọn các biểu thức sau:
b) cosπ2−α−sinπ+α;
b, cosπ2−α−sinπ+α=cosα−sinα
Rút gọn các biểu thức sau:
c) sinα−π2+cos−α+6π−tanα+πcot3π−α.
c) sinα−π2+cos−α+6π−tanα+πcot3π−α
=−sinπ2−α+cos3.2π−α−tanα+πcot2π+π−α
=−sinα+cosα−tanαcotα
=−sinα+cosα.
Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được 3110 vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Kẻ MH vuông góc với Ox.
Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác α
Ta có: α=3110.360°=1 116°
Khi đó M(cos1116°.15; sin1116°.15)
Suy ra OH = |cos1116°|.15 ≈12,1.
Vậy độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được 3110 vòng là 12,1 cm.
Khi đạp xe di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển , khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dàu của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Sau một phút di chuyển, van V đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: α = 11.60 = 660 (rad).
Khi đó tọa độ điểm V biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:
V(58.cosα; 58.sinα) ≈ (56; 15,2)
Khi đó khoảng cách từ van đến mặt đất khoảng 58 – 15,2 = 42,8 cm.
