Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác có đáp án

a) Ta có: cos638° = cos(2.360° + (– 82°)) = cos(– 82°) = cos82° = cos(90° – 8°) = sin8°.

b) Ta có: $\cot \frac{19\pi }{5}=\cot \left(4\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)=-\cot \frac{\pi }{5}$.

a) Ta có điểm B là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo góc là α trên đường tròn lượng giác có bán kính bằng 10 nên tọa độ điểm B(10cosα; 10sinα).

Vì vậy chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sinα (mét).

Với α = – 30° ta có chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sin.(– 30°) = 8 (mét).

b) Đặt (OA, OC) = β = α – 90°

Nếu điểm B cách mặt đất 4m thì 13 + 10sinα = 4

⇔ sinα = $-\frac{9}{10}$

Ta có sinα = cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cosβ = $-\frac{9}{10}$

⇒ sinβ = $-\sqrt{1^2-{\left(\frac{9}{10}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{19}}{10}$

Vì vậy chiều cao từ điểm C đến mặt đất là: 13 + 10sinβ = 13 + 10 $\left(-\frac{\sqrt{19}}{10}\right)$ ≈ 8,64 (mét).

a) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{3}{5}$ ≤ 1 và – 1 ≤ cosα = $-\frac{4}{5}$ ≤ 1, ta có:

 sin²α + cos²α = ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1$.

Vậy sinα = $\frac{3}{5}$ và cosα = $-\frac{4}{5}$ có thể đồng thời xảy ra.

b) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{1}{3}$ ≤ 1 và cotα = $\frac{1}{2}$, ta có:

1 + cot²α = $1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=9$

Do đó 1 + cot²α ≠ $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

Vì vậy sinα = $\frac{1}{3}$ và cotα = $\frac{1}{2}$ không đồng thời xảy ra.

c) Với tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$, ta có:

tanα . cotα = 3. $\frac{1}{3}$ = 1.

Vì vậy tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$ đồng thời xảy ra.

a) Ta có: $\text{cos}\alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=-\frac{12}{13}$ (vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$)

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}\Rightarrow \cot \alpha =-\frac{12}{5}$.

b) Ta có: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{21}}{5}$ (vì $0°<\alpha <90°$)

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow \cot \alpha =\frac{2}{\sqrt{21}}$.

c) Ta có: $\tan \alpha =\sqrt{3}\Rightarrow \cot \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

Ta lại có: $\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4$ 

$\Rightarrow {\text{cos}}^2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow \text{cos}\alpha =-\frac{1}{2}$ (vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$).

$\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\text{cos}\alpha \text{=}\sqrt{3}.\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2},\text{cos}\alpha =-\frac{1}{2},\cot \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.

d) Ta có: $\text{cot}\alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{tan}\alpha =-2$ 

Ta lại có: $\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(-2\right)}^2=5$ 

$\Rightarrow {\text{cos}}^2\alpha =\frac{1}{5}\Rightarrow \text{cos}\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$(vì $270°<\alpha <360°$)

$\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\text{cos}\alpha =-2.\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}},\text{cos}\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}},\tan \alpha =-2$.

a) Ta có: $\text{cos}\frac{21\pi }{6}=\text{cos}\left(\frac{24\pi }{6}-\frac{\pi }{2}\right)=\text{cos}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\text{cos}\frac{\pi }{2}=\sin 0$.

b) $\text{sin}\frac{129\pi }{4}=\text{sin}\left(32\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\text{sin}\frac{\pi }{4}$.

c) tan1 020° = tan(3.180° – 60°) = tan(180° – 60°) = – tan60° = – cot30°.

a) Ta có: sin⁴α – cos⁴α = (sin²α – cos²α).(sin²α + cos²α ) = sin²α + cos²α – 2cos²α = 1 – 2cos²α.

b) Ta có: tanα + cotα = $\frac{\sin \alpha }{\text{cos}\alpha }+\frac{\text{cos}\alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha .\text{cos}\alpha }+\frac{{\text{cos}}^2\alpha }{\sin \alpha .\text{cos}\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha }{\sin \alpha .\text{cos}\alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\text{cos}\alpha }$.

Lời giải

a) $\frac{1}{\tan \alpha +1}+\frac{1}{\cot \alpha +1}=\frac{\cot \alpha +1}{\left(\tan \alpha +1\right)\left(\cot \alpha +1\right)}+\frac{\tan \alpha +1}{\left(\tan \alpha +1\right)\left(\cot \alpha +1\right)}$

c) $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+\text{cos}\left(-\alpha +6\pi \right)-\tan \left(\alpha +\pi \right)\cot \left(3\pi -\alpha \right)$

$=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\text{cos}\left(3.2\pi -\alpha \right)-\tan \left(\alpha +\pi \right)\cot \left(2\pi +\pi -\alpha \right)$

$=-\sin \alpha +\text{cos}\alpha -\tan \alpha \cot \alpha$

$=-\sin \alpha +\text{cos}\alpha$.

Kẻ MH vuông góc với Ox.

Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác α

Ta có: $\alpha =3\frac{1}{10}.360°=1116°$

Khi đó M(cos1116°.15; sin1116°.15)

Suy ra OH = |cos1116°|.15 ≈12,1.

Vậy độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là 12,1 cm.

Sau một phút di chuyển, van V đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: α = 11.60 = 660 (rad).

Khi đó tọa độ điểm V biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:

V(58.cosα; 58.sinα) ≈ (56; 15,2)

Khi đó khoảng cách từ van đến mặt đất khoảng 58 – 15,2 = 42,8 cm.