Giải SBT Toán 11 CTST Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác có đáp án
11 câu hỏi
Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:
Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến π4 (hoặc từ 0° đến 45°).
a) sin(‒1693°);
b) cos1003π3;
c) tan 885°;
d) cot−53π10.
a) sin(‒1693°) = ‒sin(1693°)
= ‒sin(4.360° + 180° + 73°)
= sin73°
= cos(90° ‒ 73°) = cos17°.
b) cos1003π3=cos334π+π3=cosπ3=sinπ6
c) tan 885° = tan(180.4 + 165°) = tan165° = tan(180° ‒ 15°) = ‒tan15°.
d) cot−53π10=−cot53π10=−cot50π10+3π10
=−cot5π+3π10=−cot3π10
−cotπ2−π5=−tanπ5.
Cho π<α<3π2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
a) cos(α + π);
Biết sinα=35 và π2<α<π. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A=3sinα2cosα−tanα;
b) B=cot2α−sinαtanα+2cosα.
Vì sinα=35 và π2<α<π nên cosα=−45,tanα=−34 và cotα=−43.
a) A=3⋅352⋅−45−−34=95−85+34=95−1720=−3617.
b) B=−432−35−34+2⋅−45=169−35−34−85=5345−4720=−212423.
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) sin4x + cos4x = 1 ‒ 2sin2xcos2x.
b) 1+cotx1−cotx=tanx+1tanx−1;
c) sinα+cosαsin3α=1−cot4α1−cotα;
d) tan2α+cos2α−1cot2α+sin2α−1=tan6α.
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin2605°+sin21645°+cot225°=1cos265°;
b) sin530°1+sin640°=1sin10°+cot10°.
a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.
sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.
cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.
sin2605° + sin21645° + cot225°
= (‒sin65°)2 + (‒cos65°)2 + (tan65°)2
= 1 + tan265°
=1cos265∘
b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.
sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin80° = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.
sin530°1+sin640°=sin10°1−cos10°=sin210°sin10°1−cos10°
=1−cos210°sin10°1−cos10°=1+cos10°1−cos10°sin10°1−cos10°
=1+cos10°sin10°=111sin10°+cot10° .
Rút gọn các biểu thức sau:
a) cosα+π+sinα+5π2−tanα+π2tanπ−α.
b) cosπ2−αsinβ+π−sin2π−αcosβ−π2.
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin 17°sin197° + sin73°cos163°;
b) 11−tan145°+11+tan55°.
a) Ta có:
sin197° = sin(180° + 17°) = ‒sin17°.
sin73° = sin(90° ‒ 17°) = cos17°.
cos163° = cos(180° ‒ 17°) = ‒cos17°.
Suy ra:
sin 17°sin197° + sin73°cos163°
= sin 17°.(‒sin17°) + cos17°.(‒cos17°)
= ‒(sin217° + cos217°) = ‒1.
a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan3α +cot3α.
b) Cho sinα+cosα=14. Tính giá trị của sinαcosα.
c) Cho sinα+cosα=12.Tính giá tị của biểu thức sin3α + cos3α.
a) tan3α + cot3α = (tanα + cotα)3 ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)
= (tanα + cotα)3 ‒ 3 (tanα + cotα) (*)
Thay tanα + cotα = 2 vào biểu thức (*) ta có: 23 ‒ 3.2 = 2.
b) (sinα + cosα)2 = sin2α + cos2α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.
Do đó sinαcosα=12(sinα+cosα)2−1=12142−1=−1532.
c) sin3α + cos3α
= (sinα + cosα)(sin2α ‒ sinαcosα + cos2α)
= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)
Mà sinαcosα=12(sinα+cosα)2−1=12122−1=−38, nên
sin3α+cos3α=12⋅1−−38=12⋅118=1116.
Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 3sinx−4cosx5sinx+2cosx;
b) sin3x−2cos3x2sinx+3cosx.
Vì tanx xác định nên cosx ≠ 0. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.
a) 3sinx−4cosx5sinx+2cosx=3⋅sinxcosx−45⋅sinxcosx+2=3tanx−45tanx+2=3.2−45.2+2=16.
b) sin3x+2cos3x2sinx+3cosx=sin3xcos3x+22sinxcosx+3⋅1cos2x=tan3x+22tanx+3tan2x+1
=23+22⋅2+322+1=27
Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:
dt=4sin2π365t−80+12 với t ∈ ℤ và 1 ≤ t ≤ 365.
Thành phố X vào ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Thay t = 31 vào công thức trên ta có:
d31=4sin2π36531−80+12≈9,01 (giờ)
Vậy thành phố X vào ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.
