Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2: Cấp số cộng có đáp án

Tiến hành đếm, ta có được kết quả sau:

Hàng 1: có 14 ghế;

Hàng 2: có 17 ghế;

Hàng 3: có 20 ghế;

Hàng 4: có 23 ghế;

Hàng 5: có 26 ghế.

Dựa vào số ghế của 5 hàng ghế đầu ta thấy hàng sau hơn hàng trước 3 ghế.

Sau bài học này ta biết số ghế của mỗi hàng ghế lập thành một cấp số cộng, có công thức tổng quát là: u_n = u₁ + (n – 1)d; trong đó u₁ = 14 là số ghế của hàng đầu tiên, d = 3 là công sai.

Nhận xét: Điểm giống nhau của các dãy số là:

Dãy số trên đều là các dãy số tăng.

Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi.

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng với công sai d = 4.

b) Ta có: u₁ = 9.1 – 9 = 0.

u_n+1 = 9(n + 1) – 9 = 9n – 9 + 9 = u_n + 9, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 0 và công sai d = – 3.

c) Ta có: v₁ = a.1 + b = a + b.

v_n+1 = a(n + 1) + b = an + a + b = an + b + a = v_n + a, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số cộng với số hạng đầu v₁ = a + b và công sai là d = a.

Giả sử tam giác vuông thỏa mãn điều kiện bài toán là tam giác ABC vuông tại A.

Đặt  $\widehat{B}=\alpha ,\widehat{C}=\beta ,\widehat{A}=90°\left(\alpha <\beta <90°\right)$.

Ta có: α, β, 90° là một cấp số cộng nên ta có:  $\beta =\frac{\alpha +90°}{2}$

Mặt khác, ta có: α + β + 90° = 180°

 $\iff \alpha +\frac{\alpha +90°}{2}+90°=180°$

 $\iff 3\alpha =90°$

 $\iff \alpha =30°$

 $\Rightarrow \beta =\frac{30°+90°}{2}=60°$.

Vậy  $\widehat{B}=30°,\widehat{C}=60°,\widehat{A}=90°$.

Vòng 1: Có 6 ô;

Vòng 2: Có 12 ô;

Vòng 3: Có 18 ô;

...

Ta có dãy số: 6; 12; 18; ...

Từ số hạng thứ 2 trở đi số hạng sau hơn số hạng trước 6 đơn vị nên đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là 6 và công sai là 6.

Ta có:

u₂ – u₁ = d;

u₃ – u₁ = 2d;

u₄ – u₁ = 3d;

...

u_n – u₁ = (n – 1)d.

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5

Số hạng tổng quát là:  a_n = a₁ + (n – 1).d = 5 + (n – 1).(– 5) = 5 + – 5n + 5 = – 5n + 10.

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Số hạng tổng quát là: b_n = b₁ + (n – 1)d

Khi đó b₁₀ = 2 + (10 – 1).d = 2 + 9d = 20

⇒ d = 2

Vậy số hạng tổng quát là: b_n = 2 + (n – 1).2 = 2n.

Ta có: c₄ = c₁ + 3d = 80 và c₆ = c₁ + 5d = 40. Khi đó ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}{c}_1+3d=80\\ c_1+5d=40\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{c}_1=140\\ d=-20\end{array}\right.$.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

c_n = 140 + (n – 1).(– 20) = – 20n +160.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) là: c_n = – 20n + 160.

a) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d, u_n-1 = u₁ + (n – 1 – 1)d = u₁ + (n – 2)d

Khi đó:

u₁ + u_n = u₁ + u₁ + (n – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₂ + u_n-1 = u₁ + d + u₁ + (n – 2)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₃ + u_n-2 = u₁ + 2d + u₁ + (n – 3)d = 2u₁ + (n – 1)d;

...

u_k + u_n-k+1 = u₁ + (k – 1)d + u₁ + (n – k + 1 – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

Vậy u₁ + u_n = u₂ + u_n-1 = u₃ + u_n-2 = ... = u_k + u_n-k+1.

b) Ta có: 2(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n)

= 2[(u₁ + u_n) + (u₂ + u_n-1) + (u₃ + u_n-2) + ... + (u_k + u_n-k+1)]

= 2[(u₁ + u_n)  + (u₁ + u_n) + ... + (u₁ + u_n)]

=  $2.\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$ = n(u₁ + u_n) .

a) 50 số tự nhiên chẵn lập thành một cấp số cộng, có u₁ = 0, công sai d = 2.

Khi đó tổng của 50 số này là:

 $S_{50}=\frac{50(0+50)}{2}=1250$.

b) Ta có: u₃ + u₂₈ = u₁ + 2d + u₁ + 27d = 2u₁ + 29d = 100

Tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

 $S_{30}=\frac{30\left(u_1+u_{30}\right)}{2}=\frac{30.\left(u_1+u_1+29d\right)}{2}=\frac{30\left(2u_1+29d\right)}{2}=\frac{30.100}{2}=1500$.

c) Ta có:  $S_6=\frac{6\left(u_1+u_6\right)}{2}=\frac{6.\left(u_1+u_1+5d\right)}{2}=\frac{6\left(2u_1+5d\right)}{2}=18\iff 2u_1+5d=6$

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

 $S_{10}=\frac{10\left(u_1+u_{10}\right)}{2}=\frac{10.\left(u_1+u_1+9d\right)}{2}=\frac{10\left(2u_1+9d\right)}{2}=110\iff 2u_1+9d=22$.

Khi đó ta có hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}2u_1+5d=6\\ 2u_1+9d=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-7\\ d=4\end{array}\right.$.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Số ghế của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng, có số hạng đầu là u₁ = 7, công sai d = 3. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n – 1)d = 7 + (n – 1).3.

a) Số ghế có ở hàng cuối cùng (hàng số 20) là: u₂₀ = 17 + (20 – 1).3 = 74.

b) Tổng số ghế có trong rạp là tổng của 20 số hạng đầu trong cấp số cộng và bằng:

 $S_{20}=\frac{20\left(17+74\right)}{2}=910$.

Vậy tổng số ghế trong rạp là 910 ghế.

Dãy số 1; – 3; – 7; – 11; – 15 có số hạng đầu là u₁ = 1, từ số hạng thứ hai trở đi ta thấy số hạng sau hơn số hạng trước – 4 đơn vị nên đây là một cấp số cộng có công sai d = – 4.

Công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) có số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = – 10 là:

u_n = 4 + (n – 1).10 = 10n – 6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 3 và công sai d = 2 là:

u_n = – 3 + (n – 1).2 = 2n – 5.

a) Ta có u₁₂ = 2.12 – 5 = 19.

b) Xét u_n = 195

⇔ 2n – 5 = 195

⇔ n = 100

Vậy số 195 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

a) Ta có:

u₁ = 3 – 4.1 = – 1;

u_n+1 = 3 – 4(n + 1) = 3 – 4n – 4 = u_n – 4, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là  – 1 và công sai d = – 4.

b) Ta có:

u₁ =  $\frac{1}{2}-4=\frac{-7}{2}$;

u_n+1 =  $\frac{n+1}{2}-4=\frac{n}{2}-4+\frac{1}{2}=u_n+\frac{1}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là  $-\frac{7}{2}$ và công sai  $d=\frac{1}{2}$.

c) Dãy số (u_n) không phải cấp số cộng vì:

u₁ = 5¹ = 5; u₂ = 5² = 25; u₂ = 5³ = 125 và  $u_2\ne \frac{1}{2}\left(u_1+u_3\right)$.

d) Ta có:

u₁ =  $\frac{9-5.1}{3}=\frac{4}{3}$

u_n+1 =  $\frac{9-5\left(n+1\right)}{3}=\frac{9-5n-5}{3}=\frac{9-5n}{3}-\frac{5}{3}=u_n-\frac{5}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Vậy (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là  $\frac{4}{3}$ và công sai  $d=-\frac{5}{3}$.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 10.

b)  $\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_3=0\\ u_2+u_5=80\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+d+u_1+2d=0\\ u_1+d+u_1+4d=80\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+3d=0\\ 2u_1+5d=80\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+3d=0\\ 2u_1+5d=80\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-60\\ d=40\end{array}\right.$.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 60 và công sai d = 40.

c)  $\left\{\begin{array}{l}{u}_5-u_2=3\\ u_8.u_3=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+4d-u_1-d=3\\ \left(u_1+7d\right).\left(u_1+2d\right)=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3d=3\\ \left(u_1+7d\right).\left(u_1+2d\right)=24\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}d=1\\ \left(u_1+7\right).\left(u_1+2\right)=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}d=1\\ u_1^2+9u_1-10=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}d=1\\ \left[\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_1=-10\end{array}\right.\end{array}\right.$.

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 1 hoặc số hạng đầu u₁ = – 10 và công sai d = 1.   

a) Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 45 và công sai d = 2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

u_n = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀n ∈ ℕ^*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có u_n = 47 – 2n = 31

⇔ n = 8

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) Chiều dài thanh gỗ cần mua là tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số cộng và bằng  $S_8=\frac{8\left(45+31\right)}{2}=304\left(cm\right)$.

a) Các quãng đường tạo thành cấp số cộng có công sai d = 48 – 16 = 32.

b) Cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u₁ = 16 và công sai d = 32, khi đó công thức số hạng tổng quát là: u_n = 16 + (n – 1).32 = 32n – 16.

Sau 10 giây buông dù quãng đường người đó rơi tự do là:

u₁₀ = 32.10 – 16 = 304 (feet).

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên cũng chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng và bằng:

 $S_{10}=\frac{10\left(16+304\right)}{2}=1600$ (feet).

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1 600 feet.

Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng u_n

Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u₁ = 100.

Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.

Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là 100 + 5.4 = 120 (cm).